Реферат: К решению теоремы Ферма

Крешению теоремы Ферма

/> <td/>

Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат  других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.

 

 

Более 350 лет профессиональные математики илюбители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени  нетобщепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме неугасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрениюпростой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn<sup/>+ xn<sup/>=zn<sup/>(1)

на два подмножества, из которых первое содержит толькоте x и yдлявсех показателей степени n, которыемогут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x,y,z,а второе подмножество содержит тольконецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножествапредставляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биномуНьютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений дляпоиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном дляразложения:

(x — a)n + xn –(x+b)n= 0                                                                           (2)

Здесь: x– переменное число, а < x– целое число; n– целое число, показатель степени; b– целое или нецелое число, взависимости от соотношения x,a, и n.

Сущностьдоказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений (1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решаетсяприменительно к 450сектору I  квадранта вплоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7секторов плоскости<sup/>(x,y), определяя тем самым область распространения условийтеоремы Ферма.

Итак,применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)n +xn  = 2xn — nxn-1 a  + cn2 xn-2 a2  — cn3  xn-3   a3…+an           

 (x+b)n      =  xn  +nxn-1 b  + cn2 xn-2 b2  + cn3 xn-3 b3  .......+bn                    

D          =  xn — nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2)- cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn)=0

                                                                                                                (3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целыхрешений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x–a),z=(x+b),удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1.Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая   a =b, уравнение (3) преобразуем к виду:

  xn — 2nxn-1 a — 2cn3 xn-3 a3  — 2cn5 xn-5 a5  — … (an+ an )=0                (4)

Обозначим через  P(a,n) =  2cn3  xn-3 a3+ 2cn5 xn-5 a5 +… ( an<sup/>+an<sup/>) - добавкупосле первых двух членов  уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xn — 2nxn-1 a — P(a,n) = 0

Разделиввсе члены уравнения  на  xn-1, получимвыражение для искомого x

 x=2na+P(a,n)/xn-1,<sup/>где  P(a,n)/xn-1 ³0<sup/>                                            (5)

 При  a= b= 1 выражение  (5) примет  вид:

 x=2n+P(1,n)/xn-1                                                                           (6)

Подходящиезначения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6)становится ясным, что при  n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1)и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .

Исходя изизложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следуетоднозначно отнести ко второму подмножеству yn<sup/>+ xn<sup/>=zn

Ниже, втаблице приведены результаты расчетов согласования  для n=2,3,4и 5.

n

x

y=x-1

z=x+1

xn

yn

xn+ yn

zn

D%

2 4 3 5 16 9 25 25 - 3 6,055 5,055 7,055 221 129 350 350 - 4 8,125 7,125 9,125 4350 2540 6890 6890 - 5 10,200 9,200 11,200 107000 66000 173000 175000 1,25

Наосновании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1.    Согласование левых и правых частей уравнений (1) и(2)  невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.

2.    Если уравнение  yn<sup/>+ xn<sup/>=znсучетом добавки P(a,n) выразить вчисловых отрезках и спроектировать на плоскость (х, у), то на ней при n>2образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1; у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+ P(1,n)/хn-1, чтонаходит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хn-1 .

Для выяснения этого вопросапредставим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/хn-1=2cn3/<sup/>x2+ 2cn5 /<sup/>x4 +2cn7/<sup/>x6… ( 1<sup/>+1<sup/>)/xn-1

В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияcnk, распределение которых симметрично, наподобиегаусовскому, относительно центра (n+1)/2.В знаменателе функция x2, возрастающаяс каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-замалости x2 имеетнаибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами послезапятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; ит.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяxn-1(для n=3 – 2/62; для n=15– порядка2/3014 ; для n=25– 2/5024  и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительнопревышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложениявторой половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшеговозрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра.В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целымичислами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми,что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

3.    Известно, что уравнение второй степени  y2 + x2 =z2решается в целых числах, а её проекцией на плоскость(х, у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для болеевысоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решениеуравнения Ферма будет происходить при целых x,y,z.Такое предположение оправдано длястепени n=3 в объемных прямоугольных координатах x,y,z,в которых для уравнения (x-2a)3 +(x-a)3+x3 =(x+<sup/>b)3, существуютцелые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33+43 +53 =63.

Физическиэти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, гдесумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый варианттеоремы Ферма.

4.    Искажения проекций (треугольников) по мере возрастанияn обусловлены отражением на плоскости (х, у)несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, чторешения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций,а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольныхтреугольников.

/>
Это подтверждается следующими математическимивыкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусовотносительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a2+b2 -c2)/2ab. Подставимвместо сторон а, bис их аналоги из треугольных проекций при а = b  =1:

а→ x; b → y=x-1; c →z=x+1, где x=2n+P(1,n)/xn-1

После выполнения операцийпреобразования получим:

cosCn= 0,5-1,5/ xn-1                                        (7)

По полученной формуле проведены расчетыn 2 3 4 5 10 ∞ x-1 3 5.054 7.125 9.200 19.0.. ∞

cosC

0.202 0.289 0.337 0.421 0.5

Co

90 78 73 70 65 60

Из которых следует :

-     искажение треугольников при n>2обусловлено изменением угла С от 90о  при n=2 до 60о  приn→∞при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе– в равносторонние.

-     В остроугольных треугольниках нетцелых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

-     Решение теоремы Ферма в целыхчислах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х, у) числовыхотрезков уравнений y2 +x2 =z2

5.    Второй сектор квадранта является аналогом первого-зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающимииз этого результатами.

6.    В процессе проведения анализа по доказательствутеоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремыпри целых x, y, когда требуется показать, что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольноготреугольника, для которого Z2= x2+y2 –2xycosc. Требуется доказать, что Z<sup/>является нецелым числом. В нем известны x и y –целые числа, а coscопределенс учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc< 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на  стр.3) и является функцией нецелого,иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числомсо множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становитсявыражение 2xycosc, что в своюочередь делает нецелым Z2 и извлеченный из него квадратный корень Z0.

В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольноготреугольника. Его Z2= x2+y2 –2xycoscвсегдаменьше соответствующего Zп2= x2+y2прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z2 находится внутри числового отрезкаZп2=x2+y2.

Учитывая, что при принятыхограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченныйиз Z2 будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 иx нет других целых чисел.

Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключаетсяв следующем.

Для последовательности целыхчисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:

1    4    9   16   25   36   49   64    81   100  121    144    169   196  и т.д.

   2    4    6     8   10   12   14    16    18    20      22      24     26 и т.д.

Между числами первого рядаразмещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковыхномеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1.Эти целые (и нецелые) числа z1 не могутиметь при извлечении из них  корней целых значений, т.к. находятся междучислами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z1/Dx2

Учитывая, что при n>2для остроугольных треугольников z02 всегда меньше zп2 илисоответствующего Dx2 в рядуквадратов, необходимо вставить числовой отрезок z02 вчисловой отрезок Dx2  и убедиться,что извлеченный корень из числа z02 является нецелым числом.

Рассмотрим доказательство напримере для  n=5.

Примем: x=2n=10;y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).

z02 =102  +92-2*10*9*0,337=120,34.

В ряду квадратов это числонаходится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.

Кв. корень из числа 120,34равен 10.97 – нецелое число.

Проверка: 105  +95 =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случаенеобходимости z02 может быть уточнено путем повторного (многократного)определения cos C по трем известным сторонамтреугольника.

Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольнымтреугольникам различных степеней n. Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом иподеленные на 4, указывают на степень n, к которой относится парачисел, выбранная из условия ограничения a=b=1,в соответсвии с формулой (6).

Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могутбыть построены для любых n. Тогда для произвольно выбранной степени n=k  представляетсявозможным непосредственно убедиться в том, что извлеченный корень степени k изчисла zk =xk+yk является нецелым числом.

P.S. Встает вопрос: при каких условиях нецелое число10,97…, возведенное в степень n=5, превратится в целое число 159049? Напрашиваетсяответ: число 10.97… должно быть иррациональным т.е иметь после запятойнеограниченное количество значащих цифр.

Остановимся на обосновании принятых в статье допущений(ограничений).

Принятие a=1 обусловлено получением максимальных  />, (*) прикоторых для всех  a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а zn   наиболее близок к 2xn./>
 

/>Принятие  b=1 обусловленотем, что 1 является единственным для всех n целымчислом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем:                       ,откуда b£x(nÖ2-1). Подставляявместо х его близкое целое значение 2n, получимформулуb£ 2n(nÖ2-1) дляпрактических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи началакоординат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяетсяот 1,65 при n=2 до 0 привозрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 450  секторавсюду b являетсянецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решенииуравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которуюследует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и былопроделано выше с отрицательным результатом.

Расчеты при a=b=2,3,4….относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратнымкоэффициентам a=2,3,4….

Результатырасчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, заисключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числомзначащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициентпропорциональности а умножение на который нецелых чисел х, у,zсделает их целыми числами, для которых будет справедливо (x*a)n<sup/>+(y*a)n=(z*a)n.

В этом случае теорема Ферма станет недостовернойили имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Фермаможет считаться достоверной, если добавка P(a,n)/xn-1является иррациональным числом. Тогда невозможноиспользовать коэффициент пропорциональности a.

В иррациональности добавкиP(1,n)/xn-1можно убедиться, если проводить  многократноеуточнение  величины х методом последовательных приближений, ибо приделении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемыезнаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результатделения, который превратит всю добавку в иррациональное число.

Наконец, анализируя расположение секторов наплоскости (x,y) и,учитывая, что нечетные функции xn<sup/>и ynмогутпринимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующуюсхему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. вобласти распостранения условий теоремы Ферма:

-     всяплоскость (x,y) — длячетных показателей степени n

-     квадрантI — дляположительных x и y

-     квадрантIII- дляотрицательных x и y

-     вквадрантах II и IV длянечетных n будут иметьместо разности типа xn<sup/>— ynили yn— xn, рассмотрениекоторых теоремой Ферма не предусмотрено.

ВЫВОДЫ

1.   Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определеныосновное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведенияанализа и расчетов.

2.   Решение уравнений Ферма в нецелыхчислах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y)искаженных (остроугольных) проекций функции yn<sup/>+ xn<sup/>=zn<sup/>. При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются вцелых числах.

3.    Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y),кроме II и IV квадрантовпри нечетных n.

НиколайИванович Пичугин, ветеран ВОВ иВС,

Москва2001 – 2004 год

Т.396 –90-24

e–meil:hrendy@rumbler.ru