Реферат: Иррациональные уравнения

Курсоваяработа

Иррациональныеуравнения


Содержание:

Введение

1. Основные определения и теоремы

2. Стандартные иррациональныеуравнения и методы их решения

2.1 Уравнения вида />

2.2. Уравнения вида />

2.3 Иррациональные уравнения, которыерешаются введением новой переменной

2.4 Уравнения вида />, />, />

3. Нестандартные методы решенияиррациональных уравнений

3.1 Применение основных свойствфункции

3.1.1 Использование областиопределения уравнения

3.1.2 Использование области значенийфункции

3.1.3 Использование монотонностифункции

3.1.4 Использование ограниченностифункции

3.2 Применение производной

3.2.1 Использование монотонностифункции

3.2.2 Использование наибольшего инаименьшего значений функций

4. Смешанные иррациональные уравненияи методы их решения

4.1 Иррациональные уравнения,содержащие двойную иррациональность

4.2 Иррациональные показательныеуравнения

4.3 Иррациональные логарифмическиеуравнения

Заключение

Литература


Введение

Тема моей курсовой работы− «иррациональные уравнения». Я выбрала её потому, что в учебном курсе,этому материалу посвящено мало часов, а в задачниках большое количествопримеров посвящено именно этой теме.

Поэтому в изучении«иррациональных уравнений» я преследую цель — дать основные определение иррациональнымуравнениям и теоремам. Определить какие бывают виды уравнений. Рассмотретьправила решения иррациональных уравнений.

Задачи моей работы –изучить научную и методическую литературу, подобрать и рассмотреть задачи дляданной темы, включая олимпиадные.

В моей курсовой работепоказаны решения иррациональных уравнений как стандартного метода, так и нестандартного метода решения. Я старалась как можно доступнее охватить проблемыэтой темы. Конечно, всё нельзя учесть в курсовой работе, но я постараюсь нижеизложить основные моменты. Я хотела бы сделать данную работу вспомогательнымпособием при изучении темы «Иррациональные уравнения».


1. Основные определения итеоремы

Определение 1. Уравнение– это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входит однаили несколько переменных, называемых неизвестными.

Пример 1. />-является уравнением с одной неизвестной.

Пример 2. /> - является уравнением с двумянеизвестными.

Определение 2. Равенствовида /> называется уравнением содной переменной />.

Пример 1. /> -является уравнением с одной переменной х.

Далее рассматриваемуравнения с одной переменной.

Определение 3. Всякоезначение переменной, при котором выражения /> и/> принимают равные числовыезначения, называется корнем уравнения или его решением.

Пример 1. Уравнение /> имеет два корня: -1 и 1.

Определение 4. Решитьуравнение – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Пример 1. Уравнение /> имеет единственный корень4, так как при этом и только при этом значении переменной /> обращается в верноеравенство, таким образом, ответ записывается в следующем виде:

О т в е т: {4}.

Пример 2. Уравнение />/> неимеет действительных корней.

О т в е т:/>.

Пример 3. Уравнение /> имеет бесконечноемножество решений, так как после тождественных преобразований получилиравенство />. Т.е данное уравнение /> есть тождественноеравенство, верное для любого действительного значения />.

О т в е т: />.

Определение 5. Тождество(тождественное равенство) — это равенство двух выражений с переменными, верноепри всех допустимых значениях входящих в него переменных. Тождествами считаютсяи верные числовые равенства, а также равенства, превращающиеся в верноечисловое равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выраженияопределены.

Пример 1. Равенство />, справедливо для всехчисловых значений />и в, являетсятождественным.

Пример 2. Равенство 2=2 тождество.

Определение 6. Тождественноепреобразование выражения – это замена выражения на тождественно равное емувыражение, т. е. равное для всех числовых значений входящих в него переменных.

К тождественнымпреобразованиям относятся, например, приведение подобных слагаемых; разложениена множители; приведение алгебраических дробей к общему знаменателю; разложениеих на элементарные дроби и другие.

Определение 7. Иррациональнымназывают уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или подзнаком возведения в дробную степень.

Пример 1. /> -иррациональное уравнение (переменная содержится под знаком радикала).

Пример 2. /> иррациональноеуравнение (переменная содержится под знаком возведения в дробную степень).

Определение 8. Областьюопределения уравнения (или областью допустимых значений переменной — ОДЗ) />называют множество всех техзначений переменной />, при которых ивыражение />, и />имеют смысл.

Пример 1. /> Выражение(/> и /> определены при всех />. Значит, ОДЗ: />.

Пример 2. />. Выражение /> не определено при />, а выражение /> не определено при />.

Значит, ОДЗ: />.

Пример 3. />. Корень четной степени имеет смысллишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременнодолжны выполняться условия: /> т.е.ОДЗ: />

Определение 9. Пусть даныуравнения: /> (1), /> (2).

Если каждый кореньуравнения (1) является одновременно корнем уравнения (2), то уравнение (2)называется следствием уравнения (1). Следствие обозначается следующим образом: /> />

Пример 1. />

В процессе решенияуравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят куравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяютвсе корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь итакие решение, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые,«посторонние» корни. Чтобы выявить и отсеять «посторонние» корни, обычнопоступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой висходное уравнение.

Рассмотрим примерыпреобразований, которые могут привести к расширению ОДЗ, т.е. к появлению«посторонних» корней.

1.        Замена уравнения /> уравнением />

Если при некоторомзначении />, равном />, верно равенство />, то верным является такжеравенство />. Значит, уравнение /> является следствиемисходного уравнения. При этом может существовать такое значение />, равное />, при котором /> и />. Тогда число />, являющееся корнемуравнения />, не является корнемисходного уравнения, т.к. при /> исходноеуравнение не имеет смысла.

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. />. Тогда />.

Проверка.

При /> знаменатель уравнения необращается в ноль, а при /> - обращается.Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень: -10.

О т в е т: />.

2. Возведение обеихчастей уравнения в квадрат.

Пусть даны два уравнения /> (1) и />. Если /> — корень первого уравнения,то верно равенство />. Из равенствадвух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. />,а это означает, что /> — кореньуравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время изравенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут бытьпротивоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюдавытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частейуравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющееисключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. Возведем обечасти этого уравнения в квадрат.

/>; />.Тогда/>, />.

Проверка.

Если />, то />, равенство не верно,следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если />, то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнениеимеет единственный корень: 4.

О т в е т: {4}.

3. Выполнение в однойчасти (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих красширению области определения равнения.

Если некотороетождественное преобразование привело к расширению области определенияуравнения, то получаем уравнения — следствие. При этом могут существовать такиезначения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. Выполнивприведение подобных слагаемых, получим: />.Тогда />, />.

Проверка.

Если />, то выражение /> не имеет смысла.

Если />, то />, равенство верно.

Следовательно, уравнениеимеет единственный корень:5.

О т в е т: {5}.

Пример 2. Решить уравнение />.

Решение. /> или />. Тогда />, />.

Проверка.

Если />, то выражение /> не имеет смысла.

Если />, то />, равенство верно.

Следовательно, уравнениеимеет единственный корень:-2.

О т в е т: {-2}.

Если при решении уравнениямы заменили его уравнением — следствием, то указанная выше проверка являетсянеотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при какихпреобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение /> (3) и умножим обе частиего на одно и тоже выражение />,имеющее смысл при всех значениях />.Получим уравнение: /> (4), корнямикоторого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения />.

Значит, уравнение (4)есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если«постороннее» уравнение /> неимеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если обе частиуравнения умножить на />, то получитсяуравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение /> не имеет корней, тополученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений />не уже области допустимыхзначений переменной данного уравнения).

Пример 1. /> .

Заметим, что подобноепреобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеихчастей уравнения (4) на выражение />, какправило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случаемогут «потеряться» корни уравнения />.

Пример 2. Уравнение /> имеет два корня: 3 и 4.

Деление обеих частейуравнения на /> приводит к уравнению />, имеющий только одинкорень 4, т.е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение(3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: /> (5), корнями которогослужат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения />. Ясно, что уравнения (3) и(5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.

Пример 3. Уравнение /> имеет корень 4. Если обечасти этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение />, имеющие два корня: -2 и4. Значит, уравнение /> — следствиеуравнения />. При переходе от уравнения/>к уравнению /> появился «посторонний»корень: -2.

Теорема 2. При возведенииобеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получаетсяуравнение, являющееся следствием исходного.

Пример 1. />.

При решениииррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, норавносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.

Определение 10.Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями.Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами двауравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают.Равносильность обозначается следующим образом: />.

Пример 1. Уравнения /> и /> равносильны, т.к. каждоеиз них имеет единственный корень – число 3. />/>/>.

Пример 2. Уравнения /> и /> не равносильны, т.к.первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.

Пример 3. Уравнения /> и /> равносильны, т.к.множества их решений пусты. />/>/>.

Определение 11. Пустьданы уравнения /> и /> и некоторое множество М.Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяютвторому уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М,удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными намножестве М.

Пример 1. /> и/> не являются равносильнымина множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственныйкорень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны намножестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этоммножестве единственный корень: 1.

Отметим, что частомножество М совпадает либо с ОДЗ уравнения />,либо множеством всех действительных чисел.

Имеется ряд теорем оравносильности уравнений.

Теорема 3. При возведенииобеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение,равносильное исходному.

Пример 1. />.

Теорема 4. Если вуравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив егознак, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. />/>.

Теорема 5. Если обе частиуравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, тополучится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. /> (обечасти первого уравнения разделили на 2).

Теорема 6. Если в какойлибо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющиеобласти определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.

В школьной практике прирешении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:

1) обеих частей уравненияв одну и ту же степень;

2) введение новых(вспомогательных) переменных.

Эти методы будем считатьстандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами иограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы иискусственные приемы решения иррациональных уравнений.

Типичная ошибка прирешении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники бездополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность,что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.

При возведении обеихчастей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, чтоесли степень — не четное число, то получим равносильное уравнение, если жестепень — четное число, то получим уравнение — следствие. Поэтому при решениииррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденныхрешений.

Проверки можно избежать,если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этогополезно знать следующие теоремы.

Теорема 7. Уравнение вида/> равносильно смешаннойсистеме />

Уравнение вида />

Теорема 8. Уравнение вида/> или />.

Уравнение вида />.

Далее рассмотрим болееподробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.


2. Стандартныеиррациональные уравнения

Как правило, в школьномкурсе рассмотрение иррациональных уравнений сводится к разбору несколькихнесложных примеров. Они в большинстве случаев решаются возведением в квадратлевой и правой частей уравнения. После решения обязательно выполняетсяпроверка. Не обращается внимание на то, что иррациональные уравнения могутрешаться и с использованием понятия равносильности. В данном параграфепредставлены различные виды иррациональных уравнений, которые можно отнести кстандартным и решать одним из следующих методов, а именно:

1) метод перехода к уравнению- следствию с последующей проверкой полученных корней;

2) метод равносильногоперехода к уравнению или к смешанной системе;

3) метод введения новойпеременной.

2.1 Уравнения вида />

 

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. Возведем обечасти исходного уравнения в квадрат./>.

О т в е т: {6}.

Пример 2. Решить уравнение />.

Решение. В левой частиисходного уравнения стоит арифметический квадратный корень – он по определениюнеотрицателен, а в правой части – отрицательное число.

Следовательно, уравнениене имеет корней.

О т в е т:/>.

Запишем равносильность, спомощью которой решаются уравнения данного вида.

/> , если /> ине имеет решения, если />.

Пример 3. Решить уравнение />.

Решение. Возведем обечасти исходного уравнения в куб.

/>; />.

О т в е т: {-5}.

Запишем равносильность, спомощью которой решаются уравнения данного вида: />.

2.2 Уравнения вида />

Довольно часто прирешении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировкусвойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя быодин из них равен нулю». Заметим, что формулировку свойства произведения должнавыглядеть следующим образом: « произведение двух сомножителей равно нулю, когдахотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл».

Запишем равносильность, спомощью которой решаются уравнения данного вида:

/>/>

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение./> 

/>/>.

О т в е т: {-2;6}.

Пример 2. Решить уравнение />.

Решение. В данном случаеуравнение не имеет вида, указанного в заголовке. Следовательно, его необходимопреобразовать. Но сначала найдем ОДЗ переменной />.

/>ОДЗ:/>/>/>

Преобразуем уравнение квиду />

/>

При решении уравненияучащиеся часто необоснованно делят обе части уравнения на выражение, содержащеенеизвестное (в данном случае, на />), чтоприводит к потере корня и приобретению «постороннего». Подобные уравнения,содержащие в обеих частях общий множитель, следует решать переносом всех членовв одну часть и разложением полученного выражения на множители./> />

/>/>/>

Решим каждое уравнение изсовокупности.

/>; />.

/>/>/>                                                  (1).

Учитывая, что ОДЗ: /> получаем, что уравнение(1) равносильно совокупности: />

/>. Тогда />,/> не удовлетворяет условию />

/>/>, данное уравнение не имеет корней.

Следовательно,совокупность примет следующий вид: />

Вернемся к системе: />

О т в е т: {-3;6}.


2.3 Иррациональныеуравнения, которые решаются введением новой переменной

При решении различныхвидов уравнений: рациональных, тригонометрических, показательных частоиспользуется метод введения новой переменной. Новая переменная в уравненияхиногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявитьтолько лишь в процессе каких либо преобразований. Бывает полезно ввести неодну, а две переменные. Видим типичные случаи введения новых переменных виррациональных уравнениях.

Пример 1. Решить уравнение />

Решение. Введем новуюпеременную. Пусть />, />, где />. Получаем, что /> />.Тогда /> — не удовлетворяет условию />

Выполним обратную замену./>

О т в е т:{34}.

Пример 2. Решить уравнение />

Решение. Уединениерадикала и возведение в степень обеих частей уравнения привело бы к громоздкомууравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можнозаметить, что данное уравнение сводиться к квадратному. Действительно, умножимобе части заданного уравнения на 2, получим, что /> /> /> />

Введем новую переменную.Пусть /> Получаем, что />. Тогда /> - не удовлетворяет условию/>, />

Выполним обратную замену./> /> Тогда />, />

Т.к. исходное уравнениеравносильно уравнению /> то проверкаполученных корней не нужна.

О т в е т: {-2;3,5}.

Пример 3. Решить уравнение />

Решение. Преобразуемданное уравнение. />/>

Введем новую переменную.Пусть, /> а /> Получаем, что />. Тогда /> — не удовлетворяет условию />.

Выполним обратную замену./>.

О т в е т:{1}.

2.4 Уравнения вида />, />, />

Данные уравнения можнорешить при помощи основного метода решения иррациональных уравнений (возведениев квадрат обеих частей уравнения), но иногда их можно решить и другимиметодами.

Рассмотрим уравнение /> (1). Пусть /> - корень уравнения (1).Тогда справедливо числовое равенство />.Найдем разность чисел /> и />, обозначив ее />, и запишем данноеравенство в виде /> (2).

Используя, что />, запишем равенство (2) ввиде />. Данное равенствоозначает, что число /> есть кореньуравнения /> (3).

Таким образом, уравнение(3) является следствием уравнения (1). Складывая эти два уравнения и умножаяполученное уравнение на а, получим уравнение/> (4),также являющееся следствием уравнения (1). Возведя уравнение (4) в квадрат ирешив полученное уравнение, надо выполнить проверку найденных корней, т.е.проверить, являются ли его корни корнями уравнения (1).

Замечание. Отметим, чтоточно также доказывается, что уравнение (4) есть следствие уравнения />.

Пример 1. Решить уравнение /> (5).

Решение. Разностьподкоренных выражений /> и /> есть

/>. />,

то уравнение />(6) является следствиемисходного уравнения. Тогда, складывая уравнения (5) и (6), получим уравнение /> (7), также являющеесяследствием исходного уравнения (5). Возведем обе части уравнения (6) в квадрат,получим уравнение /> (8), такжеявляющееся следствием исходного уравнения. Решая уравнение (8), получаем, что />, />

Проверкой убеждаемся, чтооба этих числа являются корнями исходного уравнения.

О т в е т:/>.

Замечание. Уравнение вида/> можно решать умножениемобеих частей уравнения на некоторое выражение, не принимающее значение ноль (насопряженное левой части уравнения т.е. />

Пример 2. Решить уравнение /> (8).

Решение. Т.к. />, то умножим обе частиуравнения на выражение />,являющееся сопряженным левой части уравнения (8). /> />. После приведения подобныхслагаемых получаем уравнение /> (9),равносильное исходному, т.к. уравнение />действительныхкорней не имеет. Складывая уравнения (8) и (9) получаем, что />. Тогда />/>

О т в е т:/>.

Замечание. Такжеуравнения вида /> можно решать спомощью ОДЗ уравнения и равносильных переходов от одних уравнений к другим.

Пример 3. Решить уравнение />

Решение. Найдем ОДЗпеременной х.

ОДЗ:/>Следовательно, />

На ОДЗ обе частиуравнения положительны, поэтому после возведения в квадрат получим уравнение: />, равносильное для /> уравнению


/>

Иногда решения уравненияможно найти, решая его на разных числовых промежутках.

Для любого />имеем />, а />. Следовательно, среди />нет решений уравнения />.

Для /> имеем />. Следовательно, />/> для/>. />. Тогда />. Т.к. />, то /> является корнем уравнения />, равносильному уравнению /> для этих х.

О т в е т: />.

Пример 4. Решить уравнение />

Решение. Преобразуемисходное уравнение. />

Возведем обе частиданного уравнения в квадрат.

/>

Проверка показывает, что5 является корнем исходного уравнения.

Замечание. Иногдазначительно проще можно решать уравнения вида />,если воспользоваться свойствами монотонности функций, а именно тем, что суммадвух возрастающих функций является возрастающей функцией, и всякая монотоннаяфункция каждое свое значение принимает, лишь при одном значении аргумента.Действительно, функции /> и /> — возрастающие.Следовательно, их сумма — возрастающая функция.

Значит, исходноеуравнение, если имеет корень, то только один. В этом случае, учитывая, что />, подбором легко найти, что5 является корнем исходного уравнения.

О т в е т:{5}.

Пример 5. Решить уравнение />

Решение. Если обе частиисходного уравнения возвести в квадрат, то получится довольно сложноеуравнение. Поступим по-другому: преобразуем уравнение к виду:

/>

Решим неравенствосистемы.

/>/>/>

Решением системы являетсямножество:

/>.

Решим уравнение системы.

/>

Убеждаемся, что 2 принадлежитмножеству решений неравенства (рис.1).

Замечание. Если решатьданное уравнение возведением обеих частей в квадрат, то необходимо выполнитьпроверку. 2 — целое число, поэтому при выполнении проверки трудностей невозникает. А что касается значения />, топодстановка его в исходное уравнение приводит к весьма сложным вычислениям.Однако такой подстановки можно избежать, если заметить, что при этом значенииправая часть уравнения /> принимаетотрицательное значение: />. Тогдакак левая часть уравнения отрицательной быть не может. Таким образом, />не является корнем уравнения- следствия данного уравнения. Тем более, это значение не может быть корнемисходного уравнения. Итак, корень уравнения — число 2.

О т в е т:{2}.

Пример 6. Решить уравнение />

Решение. Найдем ОДЗпеременной х.

ОДЗ: /> 

Следовательно, />

Для любых значений /> из ОДЗ, удовлетворяющихусловию />, т.е. для /> из промежутка /> левая часть уравненияотрицательна, а первая – неотрицательна, значит, ни одно из этих /> решением уравнения быть неможет.

Пусть />. Для таких /> обе части уравнениянеотрицательны, и поэтому оно равносильно на этом множестве уравнению: />.

Введем новую переменную. />. Получаем, что />. Тогда /> - не удовлетворяет условию/>, />.

Выполним обратную замену.

/>; />;/>

/>.

Тогда /> — не удовлетворяет условию />,

/>

О т в е т: />.

Пример 7. Решить уравнение />

Решение. Найдем ОДЗпеременной х.

ОДЗ: /> 

Следовательно, что />

Легко видеть, что />, т.к. />.

Разделим обе частиуравнения на />. Получаем, что

/>


Преобразуем />. Введем новую переменную.Пусть />, а />. Тогда уравнение приметвид: />; />; />: />. Тогда /> — не удовлетворяет условию />, />. Выполним обратную замену.

/>

О т в е т: />.

Пример 8. Решить уравнение />

Решение. Преобразуем исходноеуравнение./> 

/>

Возведем обе частиполученного уравнения в квадрат.

/> 

Тогда />

Итак, проверкапоказывает, что -1,2 — не является корнем исходного уравнения, а 3 — является.

Замечание. Данноеуравнение можно решать и с помощью равносильных переходов, но тогда его решениибудет намного сложнее, чем приведенное выше.

О т в е т: {3}.

Пример 9. Решить уравнение />

Решение. Заметим, что всеквадратные трехчлены положительны относительно /> />. Перепишем уравнение ввиде:

/>

Обозначим для краткостиподкоренные выражения через /> соответственно.Умножим и разделим левую и правую часть уравнения на сопряженные сомножители.Получаем, что

/>

Вернемся к уравнению.

/>

Второе уравнениесовокупности решений не имеет, поскольку оба знаменателя положительны.Следовательно, />

Замечание. Также решениеданного уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Сначала выделим /> и /> соответственно в каждом изподкоренных выражений в правой части уравнения.

/>


Следовательно, исходноеуравнение имеет вид:

/>

Обозначим для краткостиподкоренные выражения через />, />, /> и /> соответственно. Т.к.выражение /> обращается в ноль при />, то рассмотрим решениеданного уравнения при />, /> и />.

Если />, то />>/>, />>/>/>/>+/>>/>+/>.

Следовательно, при /> исходное уравнение неимеет корней.

Если />, то /></>, /></>/>/>+/></>+/>.

Следовательно, при /> исходное уравнение неимеет корней.

Если />, то />=/>, />=/>/>/>+/>=/>+/>.

Следовательно, -1является единственным корнем исходного уравнения.

О т в е т:{-1}.

Замечание. Следовательно,при решении уравнений с радикалами надо уметь пользоваться любым из этихметодов и выбирать в каждом случае оптимальный.


3. Не стандартные методырешения иррациональных уравнений

Существуют иррациональныеуравнения, которые считаются для школьников обычных образовательных школзадачами повышенной трудности. Для решения таких уравнений лучше применять нетрадиционные методы, а приемы, которые не совсем привычны для учащихся. В этойглаве приводятся решения уравнений основанных на графических соображений,свойствах функции (таких, как монотонность, ограниченность, четность),применении производной и т.д.

3.1 Применение основныхсвойств функции

3.1.1 Использованиеобласти определения уравнения

Иногда знание областиопределения уравнения позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, аиногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел изнее.

Пример 1. Решить уравнение />.

/>Решение. Найдем область определенияуравнения.

ОДЗ: />.

Следовательно, даннаясистема решений не имеет.

Т.к. система решений неимеет, то и данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: />.

Пример 2. Решить уравнение />

Решение. Найдем ОДЗпеременной х.

ОДЗ: />.

Следовательно, /> или />.

Таким образом, решенияданного уравнения могут находиться среди найденных двух чисел.

Проверкой убеждаемся, чтотолько 2 является корнем исходного уравнения.

О т в е т: {2}.

3.1.2 Использованиеобласти значений уравнений

Пример 1. Решить уравнение />

Решение. Т.к. />, следовательно, />, но /> (правая часть уравненияотрицательна, а левая положительна), значит данное уравнение не имеет решений.

О т в е т: />

Пример 2. Решить уравнение />.

Решение. Т.к. />, то

/>; />;/>; />; />; />; />.

Следовательно, леваячасть уравнения принимает неотрицательное значение только при />. А это значит, что егокорнем может быть только значение 5, а может случиться, что уравнение вообще небудет иметь корней. Для решения этого вопроса выполним проверку.

Проверка показывает, что5 является корнем исходного уравнения.

О т в е т: {5}.

3.1.3 Использованиемонотонности функции

Решение уравнений инеравенств с использованием свойств монотонности основывается на следующихутверждениях.

1. Пусть f(x) — непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Q, тогда уравнение f(x)=c, где c — данная константа может иметь неболее одного решения на промежутке Q.

2. Пусть f(x) и g(x) — непрерывные на промежутке Q функции, f(x) — строговозрастает, а g(x)- строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x)= g(x) может иметь не более одного решенияна промежутке Q.

Отметим, что в каждом изслучаев промежутки Q могут иметь одиниз видов: />

Пример 1. Решим уравнение />

Решение. Найдем ОДЗпеременной х.

ОДЗ: />.

Следовательно, />.

На ОДЗ функции /> и /> непрерывны и строгоубывают, следовательно, непрерывна и убывает функция />. Поэтому каждое своезначение функция h(x) принимает только в одной точке.Т.к. h(2)=2, то 2 является единственнымкорнем исходного уравнения.

О т в е т: {2}.

3.1.4 Использованиеограниченности функции

Если при решенииуравнения /> удается показать, что длявсех /> из некоторого множества Мсправедливы неравенства /> и />, то на множестве Муравнение /> равносильно системеуравнений: />.

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. Функции, стоящиев разных частях уравнения, определены на />.Для любого /> />. Следовательно, данноеуравнение равносильно системе уравнений

/>.

Решим второе уравнениесистемы:

/>; /> ;/> 

Тогда /> />

Проверка показывает, что0 является корнем данного уравнения, а -1-не является.

О т в е т:{0}.

Пример 2. Решить уравнение />

Решение. Оценимподкоренные выражения.

/>

Следовательно, />, />

Т.к. первое слагаемоелевой части исходного уравнения ограничено снизу единицей, а второеслагаемое-3, то их сумма ограничена снизу 4. Тогда левая часть уравнениястановится равной правой части уравнения при />.

О т в е т:{2}.

3.2 Применениепроизводной

В вышеприведенныхуравнениях были рассмотрены применения некоторых свойств функции, входящих вуравнение. Например, свойства монотонности, ограниченности, существованиянаибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о монотонности, обограниченности и, в особенности, о нахождении наибольшего и наименьшегозначений функции элементарными методами требует трудоемких и тонкихисследований, однако он существенно упрощается при применении производной.(Например, не всегда можно догадаться, как и какое неравенство применить из«классических»).

Рассмотрим применениепроизводной при решении уравнений.

3.2.1 Использование монотонностифункции

В дальнейшем мы будемпользоваться следующими утверждениями:

1) если функция f(x) имеет положительную производную на промежутке М, /> то эта функция возрастаетна этом промежутке;

2) если функция /> непрерывна на промежутке /> /> и имеет внутри промежуткаположительную (отрицательную) производную, то эта функции возрастает ( убывает)на промежутке;

3) если функция /> имеет на интервале (а;b) тождественно равную нулюпроизводную, то эта функция /> естьпостоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение />

Решение. Рассмотримфункцию />


/>.

На этом промежутке /> непрерывна, внутри егоимеет производную:

/>

Эта производнаяположительна внутри промежутка />.Поэтому функция /> возрастает напромежутке М. Следовательно, она принимает каждое свое значение в одной точке.А это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Легко видеть,что -1 является корнем данного уравнения и по сказанному выше других корней неимеет.

О т в е т:/>

3.2.2 Использованиенаибольшего и наименьшего значений функции

Справедливы следующиеутверждения:

1)        наибольшее(наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое на интервале />/> можетдостигаться в тех точках интервала />, вкоторых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точканазывается критической точкой);

2)        чтобы найтинаибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке/> функции, имеющей наинтервале (а;b) конечное число критических точек,достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащихинтервалу (а;b), а также в концах отрезка и изполученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее;

3)        если вкритической точке /> функциянепрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса»на «плюс», то точка /> — точка минимума,а если ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то /> — точка максимума.

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. Найдем ОДЗпеременной x.

ОДЗ: />.

Рассмотрим непрерывнуюфункцию /> на отрезке [2;4], где D(f)=[2;4].

Функция f(x) на интервале (2;4) имеет производную:/>, обращаются в ноль толькопри х=3.

Т.к. функция f(x)непрерывна на отрезке [2;4], то ее наибольшее и наименьшеезначения находятся среди чисел f(3);f(2);f(4). Т.к. f(3)=2;f(2)=f(4)=/>, />, то наибольшее значение f(x) есть f(3)=2.

Следовательно, данноеуравнение имеет единственный корень: 3.

О т в е т:{3}.


4. Смешанныеиррациональные уравнения и методы их решения

4.1 Иррациональныеуравнения, содержащие двойную иррациональность

Пример 1. Решить уравнение />

Решение. Возведем обечасти уравнения в куб.

/> Возведем обе части полученного уравнения в квадрат. />

Введем новую переменную.Пусть />, тогда />. Получаем, что />. Тогда />.

Выполним обратную замену./> Или />.

Тогда /> или />

Проверка показывает, что /> не является корнем данногоуравнения, а 1- является.

О т в е т: {1}.

Пример 2. Решить уравнение />

Решение.

/>/>

Введем новую переменную.Пусть />. Тогда />

Тогда система приметследующий вид:


/>

/>

О т в е т: />

Пример 3. Решить уравнение />

Решение. Введем новуюпеременную. Пусть />. Тогда />. Получаем, что

/>/>.

Т.к. />, то данное уравнениеравносильно следующему: />

Получаем, что />. Учитывая, что />, то решения: />. Следовательно, />.

Выполним обратную замену./>. Тогда />

О т в е т: [-4;0].

Пример 4. Решить уравнение />

Решение. Преобразуемподкоренные выражения.


/>

Вернемся к исходномууравнению.

/>

Последнее уравнение решимметодом интервалов.

1.        Пусть />. Получаем, что

/>.

Т.к. />,то на данном промежутке уравнение не имеет корней.

2.        Пусть />. Получаем, что />Равенство верно. Найдем всезначения /> из данного промежутка./>. Следовательно, />

3.        Пусть />. Получаем, что />. Т.к. />, то на данном промежуткеуравнение не имеет корней.

Замечание. Данноеуравнение можно решать, выполнив замену переменной />.После решения исходного уравнения относительно переменной />, выполнив обратную замену,найдем корень уравнения.

О т в е т: [0;3].

Замечание. Выражение вида/> обычно называют двойным радикаломили сложным радикалом.

Если подкоренноевыражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикалеосвободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством />.

Преобразование двойныхрадикалов.

Упражнение 1. Освободиться от внешнего радикала ввыражении />.

Решение. Слагаемое /> можно рассматривать какудвоенное произведение чисел /> и /> или чисел /> и />. Число 7 должно быть равносумме квадратов этих чисел. Подбором находим, что это условие выполняется длячисел /> и />, т.е. />.

Получаем, что

/>

О т в е т:/>.

 4.2. Иррациональные показательныеуравнения

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. />; /> - решений нет.

О т в е т: />

Пример 2. Решить уравнение />

Решение.

/> /> 

— Решений нет, т.к. />

О т в е т: />

Пример 3. Решить уравнение />

Решение.

/>; />

О т в е т: />.

Приме 4. Решить уравнение />

Решение.

/>; />

Введем новую переменную.Пусть />. Получаем, что />. Тогда />

Выполним обратную замену./> Или />

/>;/> 

— решений нет.

/>;/>.

О т в е т:{3}.

Пример 5. Решить уравнение />

Решение. Множество М –общая часть (пересечение) областей существования функций /> — есть все />

На множестве М функции /> и /> положительны. Поэтому,логарифмируя обе части уравнения, получим уравнение, равносильное исходному наМ.

/>

/>

/>

Решим уравнениясовокупности.

/>. Введем новую переменную. Пусть />. Получаем, что />. Тогда />. Выполним обратную замену./> или />. Тогда /> или />.

Получаем, что исходноеуравнение равносильно системе:

/>

О т в е т: />.

Замечание. В задачахповышенной сложности встречаются уравнения вида />, где /> — некоторые положительныечисла. Такие уравнения не являются иррациональными уравнениями, т.к. несодержат переменной под знаком радикала, но все, же разберем их решение вданном пункте.

Пример 6. Решить уравнение />

Решение. Преобразуемвыражение />

/>

Тогда исходное уравнениепримет вид: />

Замечание. Можнозаметить, что />, следовательно, /> и /> — взаимно обратные числа.Тогда />. Введем новую переменную.Пусть />, а />Получаем, что исходноеуравнение равносильно следующему />. Тогда/>

Выполним обратную замену.

/>/> или />

/>; />;/>

Тогда />.

/>; />

Тогда />

О т в е т :{-2;2}.

4.3 Иррациональныелогарифмические уравнения

Пример 1. Решить уравнения />

Решение. />; />

Учитывая, что />, данное уравнениеравносильно системе:

/>

О т в е т:{32,75}.

Пример 2. Решить уравнения />

Решение. />. Преобразуем правую частьуравнения.

/>/>

Вернемся к исходномууравнению.

/>; />

Введем новую переменную.Пусть />. Получаем, что

/>.

Решим уравнение системы.

/>; />.

Тогда />

Вернемся к системе: />Следовательно, />

Выполним обратную замену:/>

Проверка показывает, что1 является корнем исходного уравнения.

О т в е т: {1}.

Пример 3. решить уравнение />

Решение. Найдем ОДЗпеременной х.

ОДЗ: />

/>.

На ОДЗ исходное уравнениеравносильно уравнению

/>; />;/>

Введем новую переменную.Пусть /> или />

/>; />

/>; />

О т в е т: {3;81}.


Заключение

Данная курсовая работапомогла мне научиться решать иррациональные уравнения следующих типов:стандартные, нестандартные, показательные, логарифмические, повышенного уровня.Применять основные свойства функции, область определения, область значенияфункции. Использовать наибольшее и наименьшее значения функции. Применениепроизводной. Я считаю, что цели которые поставлены перед выполнением курсовойработы выполнены.


Литература

О.В. Харькова «Иррациональныеуравнения».

А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа».

Е.Д. Куланин, В.П. Норин «3000конкурсных задач по математике».

В.А. Гусев, А.Г. Мордкович «Справочныематериалы по математике».

М.И. Сканави «Сборник задач поматематике».

еще рефераты
Еще работы по математике