Реферат: Записать задачу двойственную к данной, решить одну из пары задач и отыскать оптимальное решение второй
Министерствообразования и науки Украины
Днепропетровский Национальный Университет
Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем
Кафедра АСОИ
Расчётная задача №4
«Исследование операций»
г. Днепропетровск
2007г.
Задача
Записать задачу двойственную к данной, решить одну из пары задач и отыскать оптимальное решение второй
Прямая задача имеет вид:
Общая постановка двойственной задачи
Двойственная задача – это вспомогательная задача линейного программирования, она формулируется из прямой задачи.
Идея метода основана на связи между решениями прямой и двойственной задачи.
Двойственная задача формируется непосредственно из условий прямой задачи за следующими правилами:
Если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации;
Коэффициенты целевой функции прямой задачи С1, С2, …., Сn становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;
Свободные члены ограничений прямой задачи b1, b2, ….,bn становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
Матрицу ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы ограничений прямой задачи;
Если прямая задача является задачей максимизации, то во всех неравенствах двойственной задачи будут стоять знаки ≥, и знаки ≤, если прямая задача является задачей минимизации.
Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи.
Прямая задача в канонической форме
Двойственная к ней задача будет иметь вид
Двойственная задача решается симплекс-методом до достижения оптимального решения.
Решение прямой задачи
Все ограничения прямой задачи — это равенства с неотрицательными правыми частями, когда все переменные неотрицательны.
Приведем прямую задачу к стандартному виду:
Подставим значение в целевую функцию:
Таким образом, прямая задача в стандартной форме имеет следующий вид:
Строим симплекс таблицу:
Итерация №1
Базис | Решение | Оценка | ||||||
5 | -2 | 1 | 4 | - | ||||
-1 | 2 | 1 | 4 | 2 | ||||
1 | 1 | -1 | 1 | 4 | 4 |
— ведущий столбец
— ведущая строка
Итерация №2
Базис |
| Решение | Оценка | |||||
4 | 1 | 1 | 8 | 2 | ||||
1 | 2 | - | ||||||
-1 | 1 | 2 |
— ведущий столбец
— ведущая строка
Итерация №3
Базис |
| Решение | Оценка | |||||
1 | ||||||||
1 | - | |||||||
1 | - |
— ведущий столбец
— ведущая строка
Итерация №4
Базис | Решение | ||||||
8 | |||||||
1 | -1 | 1 | |||||
1 | 3 | ||||||
1 | 2 |
Оптимальное решение прямой задачи:
, Х = {2, 3}
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Мы получили двойственную задачу и будем решать ее М-методом. Приведем систему линейных неравенств к стандартному виду, перед этим сделав замену:
,
,
Подставим значения в функцию:
Таким образом, двойственная задача в стандартной форме имеет следующий вид:
Симплекс-таблица, итерация 1
Базис | Решение | Оценка | |||||||||
-5 | 5 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | ||||
2 | -2 | -2 | 2 | -1 | -1 | 1 | 2 | - |
— ведущий столбец
— ведущая строка
Симплекс-таблица, итерация 2
Базис | Решение | Оценка | |||||||||
-1 | 1 | - | |||||||||
-1 | 1 |
— ведущий столбец
— ведущая строка
Симплекс-таблица, итерация 3
Базис | Решение | |||||||||
1 | 1 | 2 | 3 | -8 | ||||||
1 | 1 | |||||||||
-1 | 1 |
Оптимальное решение двойственной задачи:
, , ,
Ответ
Оптимальное решение прямой задачи: , X = { 2, 3 }
Для двойственной задачи: , , ,