Реферат: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U ' и U '' и умножения равенства a ^ n + b ^ n – c ^ n = 0 на 11^ n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a , b , c на 11 ) ( k +3) -я цифра в числе a ^ n + b ^ n – c ^ n (где k – число нулей на конце числа a + b – c ) не равна (числа U ' и U '' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.
Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).
В.С.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
ВИКТОР СОРОКИН
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10 .
[Все случаи с составным n, кроме n = 2 k (который сводится к случаю n = 4 ), сводятся к случаю
простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
ak – k -я цифра от конца в числе a (a 1 – последняя цифра).
[Пример для a = 1043: 1043 = 1 x53 + x52 + 4 x51 + 3 x50; a1 = 3, a2 = 4, a3 = , a4 = 1 .]
a(k) – окончание (число) из k цифр числа a (a (1) = a 1 ; 1043(3) = 043 ). Везде в тексте a 1 № .
[Если все три числа a, b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn .]
(ain )1 = ai и(ain — 1 )1 = 1 (см. Малую теорему Ферма для ai № ). (0.1°)
( n + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = …101 (см. Бином Ньютона для простого n ).
Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s № 1 [a 1 № ]:
если цифра as увеличивается/уменьшается на 0 < d < n,
то цифра ans +1 увеличивается/уменьшается на d (или d + n, или d – n ). (0.2°)
[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]
***
(1°) Допустим, что an + bn – cn = 0.
Случай 1 : ( bc )1 ? 0.
(2°) Пусть u = a + b – c, где u ( k ) = 0, uk +1 ? ,k > 0 [известно, что в 1° u > 0 иk > 0 ].
(3°) Умножим равенство 1° на число d 1 n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить
цифру uk +1 в 5. После этой операции обозначения чисел не меняются
и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).
Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b – c, u ( k ) = 0 ,uk +1 = 5 .
(1*°) И пусть a * n + b * n – c * n = 0, где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на11 n .
(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u ,u ' = a ( k ) + b ( k ) – c ( k ) ,
u'' = u – u' = (a – a(k) ) + (b – b(k) ) – (c – c(k) ), v = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1, u*' = a*(k) + b*(k) – c*(k) ,
u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k) ) + (b* – b*(k) ) – (c* – c*(k) ), 11u' ,11u'' ,v* = (a*k+2 + b*k+2 – c*k+2 )1 ,
и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:
(3a°) uk+1 = (u'k+1 + u''k+1 )1 =5 ;
(5°) u'k+1 = (–1 ,или1 ) – таккак – nk < a'(k) < nk, – nk < b'(k) < nk, – nk < c'(k) < nk
и числа a, b, c имеют различные знаки;
(6°) u '' k +1 = (4 ,5 или6 )(см. 3a° и 5°) [важно :1 < u '' k +1 < n – 1 ];
(7°) u ' k +2 = 0 [всегда!] – так как \ u '\ < 2 nk ;
(8°) u '' k +2 = uk +2 [всегда!];
(9°) u '' k +2 = [ v + ( ak +1 + bk +1 – ck +1 )2 ]1, где ( ak +1 + bk +1 – ck +1 )2 = (–1 ,или1 );
(10°) v = [ uk +2 – ( a ( k +1) + b ( k +1) – c ( k +1) ) k +2 ]1 [где ( a ( k +1) + b ( k +1) – c ( k +1) ) k +2 = (–1 ,или1 )] =
= [ uk +2 – (–1 ,или1 )]1 ;
(11°) u * k +1 = uk +1 = 5 – т.к. u * k +1 иuk +1 – последние значащие цифры в числах u * и u ;
(12°) u *' k +1 = u ' k +1 – т.к. u *' k +1 иu ' k +1 – последние значащие цифры в числах u *' и u ' ;
(13°) u*''k+1 = (u*k+1 – u*'k+1 )1 = (3 – u*'k+1 )1 = (4 ,5 или6 )[важно : 1 < u*''k+1 < n – 1 ];
(14°) (11 u ') k +2 = ( u ' k +2 + u ' k +1 )1 (затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –
величина u ' k +1 «уходит» в u *'' k +2, поскольку u *' k +2 = );
(14a°) важно: числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k +2 -ми цифрами, а именно:
u *' k +2 = , но (11 u ') k +2 № 0 в общем случае;
(15°) (11 u '') k +2 = ( u '' k +2 + u '' k +1 )1 ;
(16°) u*k+2 = (uk+2 + uk+1 )1 = (u''k+2 + uk+1 )1 = (u''k+2 + 5)1 ;
(16а°) к сведению: u *' k +2 = 0 (см. 7°);
(17°) u*''k+2 = (u*k+2 +1 ,u*k+2 илиu*k+2 – 1 )1 = (см. 9°) = (u''k+2 + 4 ,u''k+2 + 5 илиu''k+2 + 6)1 ;
(18°) v* = [u*k+2 – (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1) )k+2 ]1
[гдеu*k+2 = (uk+2 + uk+1 )1 (см. 16°), а(a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1) )k+2 = (–1 ,или1 ) – см. 10°] =
= [(uk+2 + uk+1 )1 – (–1 ,или1 )]1 .
(19°) ВведемчислаU' = (ak+1 )n + (bk+1 )n – (ck+1 )n, U'' = (an + bn – cn ) – U', U = U' + U'' ,
U*' = (a*k+1 )n + (b*k+1 )n – (c*k+1 )n, U*'' = (a*n + b*n – c*n ) – U*', U* = U*' + U*'' ;
(19а°) к сведению: U '(k+1) = U *'(k+1) = 0 .
(20°) Лемма: U(k+2) = U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2) = U*''(k+2) = 0 [всегда!].
Действительно, из 1° мы имеем:U = an + bn – cn =
= (a(k+1) + nk+1 ak+2 + nk+2 Pa )n + (b(k+1) + nk+1 bk+2 + nk+2 Pb )n – (c(k+1) + nk+1 ck+2 + nk+2 Pc )n =
= (a(k+1)n + b(k+1)n – c(k+1)n ) + nk+2 (ak+2 a(k+1)n — 1 + bk+2b(k+1)n — 1 – ck+2c(k+1)n — 1 ) + nk+3 P =
= U' + U'' = 0, где
U' = a(k+1)n + b(k+1)n – c(k+1)n ,
(20a°)U'' = nk+2 (ak+2 a(k+1)n -1 + bk+2b(k+1)n -1 – ck+2c(k+1)n -1 ) + nk+3 P,
где(ak+2 a(k+1)n -1 + bk+2 b(k+1)n -1 – ck+2 c(k+1)n -1 )1 = (см. 0.1°)=
(20b°) = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1 = U''k+3 = v (см. 4°).
(21°) Следствие: (U'k+3 + U''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 )1 = 0 .
(22°) Вычислимцифру(11n U')k+3:
[так как числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k+2-ми цифрами на величину
(11 u ') k +2 ), то на эту величину будут отличаться и цифры (11 n U ') k +3 и U *' k +3, это означает,
что цифра (11 n U ') k +3 будет на (11 u ') k +2 превышать цифру U *' k +3 (см. 0.2°)]
(11n U')k+3 = U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2 )1 = (U*'k+3 + u'k+1 )1 .
(23°) ОткудаU*'k+3 = U'k+3 – u'k+1 .
(24°) Вычислим цифру U *'' k +3:
U*''k+3 = v* = (uk+2 + uk+1 )1 – (–1 ,или1 ) – см. (18°);
(25°) Наконец, вычислим цифру ( U *' k +3 + U *'' k +3 )1:
(U*'k+3 + U*''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 – U'k+3 – U''k+3 )1 = (U*'k+3 – U'k+3 + U*''k+3 – U''k+3 )1 =
(см. 23° и 24°) = (– u ' k +1 + v* – v) = (см. 18° и 10°) =
= (– u'k+1 +[uk+2 + uk+1 – (–1 ,или1 )] – [uk+2 – (–1 ,или1 )])1 =
= (– u ' k +1 +uk +1 + (–2, –1, , 1, или2 ))1 = (см. 3a°) =
( u '' k +1 + (–2, –1, , 1, или2))1 = (см. 6°) = (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 или 8 ) № ,
что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство.
Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c ) = nt b ', где b 1 = 0 и bt +1 = b '1 № .
(26°) Введем число u = c – a > 0, где u ( nt – 1) = 0, а unt ? 0 (см. §1 в Приложении).
(27°) После умножения равенства 1° на число d 1 n (с целью превратить цифру unt в 5 )
(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u ' = a ( nt – 1) – c ( nt – 1), u '' = ( a – a ( nt – 1) ) – ( c – c ( nt – 1) ) (где, очевидно, u '' nt = ( a nt – c nt )1 );
U ' = a ( nt ) n + bn – c ( nt ) n (гдеU '( nt + 1) = 0 – см. 1° и 26°),U '' = ( an – a ( nt ) n ) – ( cn – c ( nt ) n ) ,
U *' = a *( nt ) n + b * n – c *( nt ) n (гдеU *'( nt + 1) = 0 ),U *'' = ( a * n – a *( nt ) n ) – ( c * n – c *( nt ) n ),
v = ant+1 – cnt+1.
Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bn nt +1 и bn nt +2 при умножении равенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n(3) = 101).
Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.
==================
ПРИЛОЖЕНИЕ
§1. Если числа a , b , c не имеют общих сомножителей и b 1 = ( c – a )1 = 0,
тогда из числа R = ( cn – an )/( c – a ) =
= cn –1 + cn –2 a + cn –3 a2 + … c2 an — 3 + can — 2 + an — 1 =
= (cn –1 + an –1 ) + ca(cn –3 + an –3 ) + … + c(n –1)/2 a(n –1)/2 =
= (cn –1 – 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 ) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 ) +
+ … + c ( n –1)/2 a ( n –1)/2 = ( c – a )2 P + nc ( n –1)/2 a ( n –1)/2 следует, что:
c – a делится на n 2, следовательно R делится на n и не делится на n 2 ;
так как R > n , то число R имеет простой сомножитель r не равный n ;
c – a не делится на r ;
если b = nt b ', где b '1 № , то число c – a делится на ntn – 1 и не делится ntn .
§2. Лемма . Все n цифр ( a 1 di )1, где di = 0, 1, … n – 1, различны.
Действительно, допустив, что ( a 1 d 1 *)1 = ( a 1 d 1 **)1, мы находим: (( d 1 * – d 1 **) a 1 )1 = 0 .
Откуда d 1 * = d 1 **. Следовательно, множества цифр a 1 (здесь вместе с a 1 = 0 ) и d 1 совпадают.
[Пример для a 1 = 2: 0: 2 x0 = ; 1: 2 x3 = 11; 2: 2 x1 = 2; 3: 2 x4 = 13; 4: 2 x2 = 4.
При составном nЛемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)1 = 4, и (2х7)1 = 4 .]
§2a. Следствие . Для любой цифры a 1 № 0 cуществует такая цифра di , что ( a 1 di )1 = 1 .
[Пример для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1; 2x3 = 11; 3x2 = 11; 4x4 = 31 .]
ВИКТОР СОРОКИН
e - mail : victor.sorokine@wanadoo.fr
4 ноября 2004, Франция
P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра uk +1 превращается не в 5, а в 1, и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11 n, а на некоторое hn, где h – некоторое однозначное число.