Реферат: Геометрия чисел

Министерство Образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯХабаровскийГосударственный Педагогический УниверситетКафедра математического анализа и информатикиКурсовая работа“Геометрия чисел”

                           

                                                                      Выполнил:  =PeppeR=

                                                                      Научный руководитель:  доцент кафедры                                                                                             мат. анализа и информатики

                                                                                                 кандидат физ.-мат. наук

                                                                                                

Хабаровск – 2004Содержание.

1. Введение.                                                                                 2

2. Постановказадачи.                                                                 3

3. Основная задачагеометрии чисел.                                        4

4. ТеоремаМинковского.                                                            6

5. Доказательствотеоремы Минковского.                                7

6. Решётки.                                                                                 10

7. Критическиерешётки.                                                                   13

8. «Неоднороднаязадача».                                                        17

9. Список литературы.                                                              18

Введение.Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому.Минковский (Minkowski), Герман — выдающийся математик (1864 — 1909),еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе иГеттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о«геометрии чисел» («Geometrie der Zahlen», 1896 — 1910;«Diophantische Approzimationen», 1907, и др.). Последняя его работа:«Raum und Zeit» (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесьдана смелая математическая формулировка так называемого «принципаотносительности». Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге,в 1911 г.; биография Минковского в русском издании «Пространство ивремя». Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитиематематики как науки. В частности, он сумелупростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также   упростил   и   развил теорию аппроксимациииррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Поддиофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел,изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные срешением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительнымикоэффициентами. Это новое направление,которое  Минковский назвал  „геометрией   чисел",   развилось в независимый   раздел   теории   чисел,  имеющий   много   приложений в самыхразличных вопросах и вместе  с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

Постановказадачи.

Для начала я хочурассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основнуюроль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногдазначительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данномувопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств,сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивноясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью радиточности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводитсятеорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометриичисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится такназываемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основнаязадача геометрии чисел.

Основной   и   типичной  задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х1,…,xn)— функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть ïf(u1,…,un)ï приподходящем выборе целых чисел u1,…,un? Может встретиться тривиальныйслучай f(0,…,0)=0, например, если f(х1,…,xn)является однородной формой; в этом случаесовокупность значений u1 = u2 =… = un = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретныхфункций f, но и для целых классовфункций. Так, типичным результатом такого рода является следующеепредложение. Пусть

f(x1,x2) = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22         (1)

— положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такиецелые числа u1,u2, не равные одновременно нулю, чтосправедливо неравенство

f(u1,u2)£ (4D/3)1/2                                        (2)

где D = a11a22 – a122– определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он являетсянаилучшим. Действительно,

u12 + u1u2 + u22 ³ 1

для всех пар целых чисел u1,u2, неравных одновременно нулю; здесь D =3/4.

Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных формкрайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновениягеометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичныхформах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел,так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результатможно выразить на­глядно. Неравенство типа

f(x1,x2) £ k,

где   f(x1,x2) —форма   (1),   а   k — некоторое  положительноечисло, задает область Âплоскости{x1,x2}, ограниченную эллипсом. Таким образом,  наше   предложение   утверждает,   что  если k ³ (4D/3)1/2,то область Âсодержит точку  (u1,u2) с целыми координатами u1 и u2, неравными одновременно нулю.

Теорема Минковского.

Аналогичный, но, правда, не настолько точный результатнемедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае этатеорема утверждает, что область Â всегда содержит точку (u1,u2) сцелыми координатами, отличную от начала, если эта областьудовлетворяет следующим трем условиям:

1)  область  симметрична  относительно начала координат; т. е. если  точка   (x1,x2)   находится   в  Â,   то  точка (-x1,-x2)также содержится в Â;

2)область Âвыпукла; т. е. если (x1,x2), (y1,y2) —две какие-нибудь точки области Â, тои весь отрезок

{lx1 + (1-l)y1, lx2 + (1-l)y2},          0 £ l £ 1,

соединяющий эти точки, такжесодержится в Â;

    3)площадь Â больше 4.

Любой   эллипс   f(x1,x2) £ k  удовлетворяет   условиям   1)   и   2). Так как его площадь равна

kp / (a11a22– a12)1/2 = kp / D1/2,

то он удовлетворяет   условию   3),   если  kp >4D1/2. Таким образом, мыимеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если  в   (2)   константу (4/3)1/2 заменить любым числом, большим  4/p.

Доказательство теоремы Минковского.

Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основедоказательства теоремыМинковского, потому что вформальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильныхтеорем, имеющих наиболее широкие приложения.

/>

Вместообласти Â Минковскийрассматривает область j = Â/2, которая состоит из точек (x1/2,x2/2),где (x1,x2) — точки области Â. Таким образом,область j симметричнаотносительно начала координат и выпукла, её площадь равна четвертиплощади области Âи,следовательно, больше 1. В общем случае Минковскийрассматривает совокупность областей j (u1,u2) сцентрами в целочисленных точках (u1,u2), полученных из тела j параллельными переносами.

Для начала справедливо отметить, что если j и j(u1,u2) пересекаются, то точка (u1,u2) находится в Â. Обратное утверждениетривиально. Если точка (u1,u2) находится в Â, то точка (u1/2,u2/2) содержится как в j, так и в j(u1,u2).  Действительно, пусть (ξ1,ξ2) – точка, лежащаяв пересечении. Так как точка (ξ1, ξ2) лежит в области j(u1,u2), то тогда точка (ξ1– u1, ξ2 – u2) лежит вобласти j; следовательно, ввиду симметрии области jточка(u1 — ξ1, u2 — ξ2) находится в j. Наконец,в силу выпуклости тела jсередина отрезка,соединяющего точку (u1 — ξ1, u2 — ξ2) с точкой (ξ1,ξ2), то есть точка (u1/2,u2/2), лежит в j, а потому точка (u1,u2) находится в Â. Что, собственно, и требовалосьдоказать. Ясно, что область j(u1,u2) тогда и только тогда пересекается собластью j(u1’,u2’), когдаобласть jпересекается с об­ластьюj(u1 — u1’,u2 — u2’).

Таким образом, чтобы теоремаМинковского была доказана, достаточно показать, что если области j(u1,u2)непересекаются, то площадь областиj(u1,u2)непревышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область jцеликомсодержится в квадрате

‌x1‌≤ X,  |x2| ≤ X,

при этом нужно учитывать то, что выпуклаяобласть конечной площади ограничена.

Пусть U — достаточно большое целоечисло. Существует (2U + 1)2 областей j(u1,u2), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам

‌u1‌≤ U,  |u2| ≤ U.

Все эти области целиком находятся в квадрате

‌x1‌≤ U + X,  |x2| ≤ U + X,

площадь которого равна

4 (U + X)2.

Так как предполагается, чтообласти j(u1,u2)  не пересекаются, то имеет  место неравенство

(2U+ 1)2V £4(U + X)2,

где V – площадь области j, а значит, и любой области j(u1,u2). Устремляя теперь U кбесконечности, мы получаем неравенство V £ 1, что и требовалосьдоказать.

Решётки.

Преобразованиекоординат в приведённом примере с определённой бинарной квадратичной формойможет привести и к другой точке зрения. Мы можем   представить   форму f(x1,x2) каксумму квадратов двух линейных форм

f(x1, x2) =Х12 + Х22,                 (3)

где

Х1 = ax1 + bx2, X2 = gx1 + dx2,    (4)

a,b,g,d — некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить

a = a111/2, b = a11-1/2a12,

g =0, d = a11-1/2D1/2.

Обратно, если a,b,g,d- такие вещественные числа, что ab — gd ¹ 0, и формы Х1,Х2 заданы равенствами (4), то выражение

Х12 + Х22 = a11x12+ 2a12x1x2 + a22x22,

/>где

a11 = a2 + g2,

a12 = ad + bg,            (5)

a22 = b2 + d2,

являетсяположительно определен­ной квадратичной формой с определителем

D = a11a22– a122 = (ad — bg)2.     (6)

Теперь будем рассматривать пару(Х1, Х2)как систему пря­моугольныхдекартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х1,Х2), соответствующие целым (x1, x2) ввыражениях (4), образуют (двумерную) решетку L. Ввекторных обозначениях решетка L естьсовокупность точек

(Х1, Х2) = u1(a,g) + u2(b,d),                (7)

/>где u1, u2  пробегаютвсе целые числа; точки (векторы) (a,g) и (b,d)образуют базис решётки L.

Рассмотрим теперь более подробно свойстварешеток. Ввиду того, что мы рассматриваем решетку L просто как   множество точек, мы можемеё описать с помощью различных базисов.  Например,  пара

(α – β, γ – δ),  (- β, — δ)                                                

являетсядругим базисом решётки L.Фиксированный базис (α, β), (γ, δ) решётки L определяет разбиение плоскости двумясемействами равноудалённых параллельных прямых; первое семейство состоит из техточек (Х1, Х2), которые имеют координаты вида (7), где u2 – любое целое число, а u1 – любое вещественное. Для линий второгопорядка семейства u1 и u2 меняются ролями. Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы,вершинами которых являются как раз точки решётки L.

Разумеется, что это разбиение зависит отвыбора базиса. Однако, можно показать, что площадь получаемых параллелограммов,именно число

|αδ – βγ|,

не зависит от выбора базиса. Этостановится возможным, если показать, что число N(X) точек решётки вдостаточно большом квадрате

ζ (Х): |Х1| ≤ Х, |Х2| ≤ Х

удовлетворяетсоотношению

N(X) / 4X2 → 1 / |αδ — βγ|   (X → ∞).

Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремыМинковского о выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше,показывает, что число точек решётки L в квадрате ζ (Х), грубо говоря, равно числупараллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь,приблизительно равно площади квадрата ζ (Х), делённой на площадь |αδ — βγ| одногопараллелограмма. Строго положительное число

d(L) = |αδ — βγ|           (8)

называется определителем решётки L. Как было только что показано, это число не зависит отвыбора базиса.

Критическиерешётки.

Используявведённые выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о существованиицелых решений неравенства f(х1, х2)£ (4D/3)1/2эквивалентно утверждению о том, что любая решётка L в области

Х12 + Х22≤ (4/3)1/2 d(L)                    (9)

имеетточки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою очередьэквивалентно утверждению, что открытый круг

Đ: Х12 + Х22< 1       (10)

содержит точку каждой решётки L, для которой d(L) < (3/4)1/2. А тотфакт, что существуют такие формы, для которых  в (2) знак равенства необходим,эквивалентен существованию решётки Lс с определителем d(Lс) = (3/4)1/2,не имеющей точек в круге Đ. Таким образом, задача о произвольнойопределённой бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированнойобласти Đ и произвольной решётке. Аналогично исследование решёток сточками в области

| Х1 Х2| < 1

даётинформацию о минимумах inf |f(u1,u2)| неопределённых бинарных квадратичных форм f(x1,x2). Здесь точная нижняя граница берётся по всем целымчислам u1 и u2, не равнымодновременно нулю. Примеры можно продолжить.

Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям.Говорят, что решётка L допустима дляобласти (точечного множества) Â в плоскости {Х1, Х2} если она несодержит никаких других точек Â, кроме, может быть, начала координат. Последний случайвозможен, когда начало координат является точкой области Â. Тогда мы говорим, что эта решётка Â-допустима. Точная нижняя граньΔ(Â) определителей d(Λ) всех Â-допустимых решёток являетсяконстантой области Â. Если Â-допустимыхрешёток не существует, то полагаем, что Δ(Â) = ∞. Тогда любая решётка Λ, для которой d(Λ) < Δ(Â), обязательно содержит точку области Â, отличную от начала координат. Â-допустимая решётка Λ, длякоторой d(Λ) = Δ(Â), называется критической (для Â). Конечно, критические решётки,вообще говоря, существуют не всегда.

Важностькритических решёток была замечена уже Минковским. Если Lс – критическая решётка области Â, а решётка Λ получена из Λснебольшой деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), толибо решётка Λ имеет точку, отличную от начала координат и лежащую вобласти Â, либо d(Λ) ≥ d(Λс). Либо и то, идругое вместе.

В качествепримера можно снова рассмотреть открытый круг

Đ: Х12 + Х22< 1.

Предположим,что Λс –критическая решётка области Đ. Ниже будет дан набросок доказательства того, что есликритическая решётка существует, то она должна иметь три пары точек ±(А1, А2), ±(В1, В2), ±(С1, С2) награнице Х12 + Х22 = 1 круга Đ.

Если Λс не имеетточек на окружности Х12 + Х22= 1, то можно будет получить Đ-допустимуюрешетку с меньшим определителем, гомотетически сжимая решетку Λс к началу координат, то есть рассматривая решетку L = tΛс точек (tX1, tX2),где (Х1, Х2) ÎΛс, а t —это фикси­рованное число с условием 0 < t< 1. Тогда d(L) = t2d(Lc) < d(Lc) и,очевидно, L будет Đ-допустимойрешеткой, если t достаточно близкок 1. Таким образом, решетка Lc содержит пару точек на окружности Х12 + Х22= 1, координаты которыхпосле надлежащего поворотаосей мы можем считать равными ± (1, 0).

Если бы на окружности Х12+ Х22 = 1 не было бы больше точекрешетки Lc, томы смогли бы получить Đ-допустимую решетку L с меньшим определителем,сжимая решетку Lc в направлении, пер­пендикулярном оси X1, то есть принимая за L решетку точек (Х1, tХ2), где (Х1,Х2) ÎΛс, а tдостаточно близко к 1.

Наконец,если бы Λс имела бы только две пары точек ±(1,0), ± (В1, В2)на границе, то решетку можно было бы слегка деформиро­вать так, чтобы точка (1, 0) осталась на месте, а точка с координатами (В1,В2) продви­нуласьбы вдоль окружности Х12+ Х22 = 1 ближе к оси Х1. Наглядно это представлено на рисунке:

/>

Даннаяоперация, как легко проверить, уменьшает определитель, и при небольшихдеформациях получающаяся решётка Λостаётся Đ-допустимой. Действительно, (1,0) и (В1,В2) можно рассматривать как базис решётки Λс, таккак треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (В1, В2), аследовательно, и параллелограмм, отвечающий базису (1, 0), (В1, В2)не содержит внутри себя точек Λс. Тогда критическая решёткаΛс (если она существует) должна иметь три пары точек наокружности Х12+ Х22 = 1. Легко увидеть, что единственной решеткой, у которой три пары точек лежат на   окружности Х12 + Х22= 1, а одна из пар есть пара ± (1, 0), является решетка Λ́ с базисом

(1, 0),  (1/2, √3/4).

Она содержит вершиныправильного шестиугольника

± (1, 0),      ± (1/2, √3/4),     ±(-1/2, √3/4),

лежащие на окружности Х12+ Х22 = 1, но не содержит ни одной точки (кроме (0, 0)) в круге Х12 + Х22 < 1. Таким образом, мы по­казали, что если Đ имеет критическуюрешетку, то Δ(Đ) = d(Λ ́) = (3/4)1/2.Минковский показал, что критическиерешетки существуют для довольно широкого класса областей   Â, показав,   грубо говоря, что любую Â-допустимую решетку Λ можно постепенно деформи­ровать до тех пор, пока она не станет критической.

“Неоднороднаязадача”

Другим общим типом проблемы являетсяследующая типичная «неоднородная задача». Пусть f(х1,…,xn)— некоторая вещественнозначная функция вещественных аргументов х1,… ., хn. Требуется подобрать постоянноечисло k со следующим свойством: еслиξ1, ...,ξn —любые вещественные числа, то найдутся такие целые числа u1,…,un, что

│f(ξ1 – u1,…, ξn<sub/>– un)│≤ k.

Подобные вопросы естественно возникают,например, в теории алгебраических чисел. И на этот раз имеетсяпростая геометрическая интерпретация. Для наглядности положим n = 2. Пусть Â — мно­жество таких точек (х1, х2)двумерной евклидовой плоскости, что

│f(x1, …, xn)│≤ k.

Пусть u1, u2 — любые целые числа; обозначим через Â(u1, u2) об­ласть, полученную из Â параллельным переносом на вектор (u1, u2);иными словами, Â(u1, u2) естьмножество таких точек х1, х2,что

│f(х1 – u1, х2<sub/>–u2)│≤ k.

Неоднородная проблема состоит в выборе k таким образом, чтобы области Â(u1, u2) покрывали всю плоскость.Желательно выбрать k, азначит и Â, наименьшим из всехвозможных (но так, чтобы свой­ство покрывать всю плоскостьсохранилось). Здесь мы имеем про­тивоположность постановкеоднородной задачи, приведённой выше, где цель состояла в том, чтобы сделатьобласти наибольшими, но все еще не пересекающимися одна сдругой.

Список литературы.

1.   Касселс, Дж. В.С. Геометрия чисел – М., Мир, 1965г.

2.   Минковский Г.Геометрия чисел – Лейпциг, 1911г. (переиздание 1996г.)

3.   Марков А. А. Обинарных квадратичных формах положительного определителя – СПб., 1948г.

4.   Чеботарёв М. Г.Заметки по алгебре и теории чисел – УЧ Зап. Каз. Унив-та, 1934г. (переиздание1994г.)

5.   Чеботарёв М. Г.Доказательство теоремы Минковского о неоднородных линейных формах – М., Мир,1949г.

еще рефераты
Еще работы по математике