Реферат: Высшая математика
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПООБРАЗОВАНИЮ РФ
НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»
Контрольная работа
подисциплине«Высшая математика»
Вариант 13.
Выполнила студентка
Проверил:
Красноярск, 2008г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙЗадание 1Коэффициентыиспользования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6.Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимодруг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы толькоодного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.А) Данное событие(работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:
A = B+ C,
гдеB: работает только 1-й (2-йпростаивает); C: работает только 2-й(1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимыхсобытий:
B = D/>;
C = />E,
гдеD, E– события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; />,/> -противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Ихвероятности:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P (/>) = 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2
P (/>) = 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4
Потеоремам сложения и умножения вероятностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P (/>) + P (/>) P (E) = 0,8 * 0,4 +0,2 * 0,6 = 0,44
Б)Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимыхсобытий:
F = />/>
Потеореме умножения вероятностей
P (F)= P (/>)P (/>)= 0,2 * 0,4 = 0,08
Задание 2Вероятностьтого, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболеевероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числаопоздавших.
Происходитn = 800 независимых испытаний, вкаждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностьюp = 0,01. Наиболее вероятное числонаступлений события удовлетворяет неравенствам
np – q≤k < np+ p,
гдеq = 1 – p= 1 – 0,01 = 0,99
800* 0,01 – 0,99 ≤ k< 800 * 0,01 + 0,01
7,01≤ k < 8,01
k = 8
Таккак n велико, pмала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:
Pn (k)= />,
гдеa = np= 800 * 0,01 = 8
P800 (8) = /> = 0,140Задание 3На двух автоматических станкахпроизводятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованныхизделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и длявторого.
X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Составить закон распределения случайнойвеличины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованныхизделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график.Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Величина Z можетпринимать значения:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Вероятности этих значений (по теоремамсложения и умножения вероятностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 *0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон распределения:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Проверка:
∑pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 =1.
Функцияраспределения
F (x)= P (X< x) = /> =/>
/>
Математическиеожидания:
M (x)= ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 +2 * 0,3 = 1,2
M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2+ 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2
M (z)= M (x)+ M (y)= 1,2 + 1 = 2,2
Задание 4
Случайнаявеличина X задана функциейраспределения
F (x)= />
Найти:1) вероятность попадания случайной величины Xв интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f(x); 3) математическое ожиданиеслучайной величины X; 4) построитьграфики F (x)и f (x).
1) Вероятностьпопадания случайной величины в интервал (a, b) равнаP (a< X < b) = F (b) – F (a)P (1/3< X < 2/3) = F (2/3) – F (1/3) = (2/3)3 – (1/3)3 = 8/27 – 1/27 = 7/272) Функцияплотностиf (x) = F`(x) = />
3) Математическоеожидание
M (X)= /> = /> = /> = /> = ¾ (14– 04) = ¾
4) Графики:
/>
/>
Задание 5Текущая цена акцииможет быть смоделирована с помощью нормального закона распределения сматематическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонениемσ = 0,7. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайнойвеличины X – цены акции и построить ее график; б) найти вероятностьтого, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу(25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X – 26| окажетсяменьше ε = 0,5.А) Функция плотности нормальногораспределения имеет видf (x)= /> = /> = />
/>Б)Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α;β), равна
P (α < X< β) = /> - /> =/> - /> =Ф (1,14) – Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значенияфункции Лапласа Ф (x) = />беремиз таблиц.
В) Вероятность того, чтоотклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε,равна
P (|X– a| < ε) = />
P (|X– 26| < 0,5) = /> = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 =0,5222
СТАТИСТИКАЗадание 1
Взадаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральнойсовокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочнуюсреднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестногоматематического ожидания признака Xгенеральной совокупности (генеральной средней), если признак Xраспределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ= 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальноераспределение выборки с шагом h= 200, взяв за начало первого интервала x1= 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретациюполученных результатов.
Проведеновыборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев иполучены следующие результаты (тыс. руб.):
750;950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400;1400; 1550
1) Выборочнаясредняя
/> =/> = (750 +950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 +1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс. руб.
2) Доверительныйинтервал
/> - /> <a < /> + />,
гдеФ (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49.По таблице функции Лапласа находим: t= 2,32.
1178,1- /> <a <1178,1 + />
1178,1 – 116,3 <a <1178,1 + 116,3
1061,8< a < 1294,4 тыс. руб.
3) Подсчитаемграницы интервалов:
x2 = x1+ h = 700 + 200 = 900 и т.д.
Подсчитаемчастоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших вданный интервал). Интервальное распределение выборки:
Интервал Частоты (700; 900) 1 (900; 1100) 4 (1100; 1300) 7 (1300; 1500) 3 (1500; 1700) 14) Гистограммачастот:
/>
5) Экономическаяинтерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объемпроизводства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшеечисло месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс.руб.
Задание 2Покорреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координатпостроить эмпирические ломаные регрессии Yна X и Xна Y, сделать предположение о видекорреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3)составить линейные уравнения регрессии Yна X и Xна Y, построить их графики в однойсистеме координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднеезначение признака Y при заданном x= 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
Втаблице дано распределение 200 заводов по основным фондам Xв млн. руб. и по готовой продукции Yв млн. руб.:
y\x 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ny 12 4 4 18 6 10 2 18 24 8 13 1 1 23 30 4 7 9 3 4 2 29 36 1 2 3 12 4 8 30 42 1 3 18 24 1 47 48 7 12 3 22 54 9 18 27 nx 10 23 24 14 19 26 41 22 21 n = 200