Реферат: Высшая математика

Задача1

Провестиполное исследование функций и построить их графики

/>

Решение:

1)Область определения />, функция общего вида, т.к.

 y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

2)/> =>x=-4

точкаразрыва 2-го рода

3)Нули функции />

4)Интервалы монотонности

/>

/> возможные точки экстремума

/>не существует при />

/>

/>

-12

/>

4

/>

/>

/>

/>

/>

-

/>

/>

/>

/>

-27

/>

-

/>

/>

Функциявозрастает при

/>.

Функцияубывает при />.

/>– точка максимума.

5.Выпуклость и вогнутость кривой.

/>

/> при />

/>не существует при />

при/> кривая выпукла

при/> кривая вогнута

/> тч. перегиба

6)Асимптоты.

а)вертикальные: х=-4.

б)наклонные:

/>, />=>

/>

 –наклонная асимптота

7)График функции

/> 

/>

Задача 2

Фирма планирует собирать Sшт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиямиразмером q, шт./партию. Издержки по поставке не зависят отразмера партии и равны СП, руб./поставку. Хранение одного кинескопана складе в течение года обходится в СХ. руб./шт. год. Сборкателевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуетсяопределить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которыхсуммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 — Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

№ S

СП

СХ

12 62000 1650 68

 

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП(q), издержек хранения ИХ(q)и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо,период между поставками То, издержки пополнения ИПо,издержки хранения ИХо, суммарные издержки Ио);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размерапартииq и постройте графики этих функций на новомрисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить какпроизведение числа поставок N на стоимость однойпоставки СП.

ИП = N * СП

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N = />

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов взависимости от размера партии:

ИП(q) = СП * />

Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить какпроизведение стоимости хранения единицы СХ на среднее числокинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется какполусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальныйуровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровеньбудет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержекхранения:

ИХ(q) = CX* /> = CX* />

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = ИП(q) +ИХ(q) = СП * /> + CX * />

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим изусловия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимумусуммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (СП * /> + CX * />)’= – /> + />

Составим и решим уравнение:

– /> + /> = 0 ;       /> = /> ;       q2 = /> ;     q = />.

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размерапартии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q = /> = /> » 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

Nо = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз

Найдем период между поставками:

То = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

ИПо = СП * N =1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

ИХо = CX * /> = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

Ио = ИПо + ИХо =59400 + 58990 = 118390 руб.

Построим график запасов:

/>

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов ИП(q)= СП * /> являются обратной гиперболическойфункцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убыванияпадает.

Годовые издержки хранения ИХ(q) = CX * /> являютсялинейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого,функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержекхранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когдаиздержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержекимеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

/>

Рис..2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi) за 6 последних месяцев (Xi=1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставленазадача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использоватьее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj<sub/>=7, 8).

Таблица 1 — Данные о помесячных объемах продаж фирмы

№

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

12 14 13 11 14 13 16

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0x + a1;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейнойфункции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейнойфункции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьтетаблицу.

Таблица.2 — Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1 2 3 4 5 6 Сумма

5) запишите выражение для аппроксимирующейлинейной функции и рассчитайте ее значения о точках Xi =1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6)изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейнойфункции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимациюэмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a0x + a1

Сущностьметода наименьших квадратов состоит в подборе таких a1 и a0, чтобысумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависитот отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией Fэтих параметров: F(a0, a1) = /> или F(a0, a1) = />

Дляотыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

/>= />

/>= />

Выполнивэлементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравненийотносительно a1 и a0:

/>

Решимданную систему методом Крамера:

/>

/>

/>

Тогдаможно вывести формулы расчета параметров:

/>

/>

Построимрасчетную таблицу

Таблица3 – Расчетная таблица

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1 1 14 1 14 2 2 13 4 26 3 3 11 9 33 4 4 14 16 56 5 5 13 25 65 6 6 16 36 96 Сумма 21 81 91 290

Найдемзначения параметров:

/>

/>

Тогдаформула аппроксимирующей линейной функции будет равна

/> = 0,3714·Xi + 12,2

Найдемзначения аппроксимирующей функции:

Таблица4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

i

Xi

/>

1 1 12,5714 2 2 12,9428 3 3 13,3142 4 4 13,6856 5 5 14,057 6 6 14,4284 7 7 14,7998 8 8 15,1712

Построимграфик аппроксимирующей функции

/>

Рис.1

Задача4

Найтиприращение и дифференциал функции y=a0x3+a1x2+a2x (таблица). Рассчитать абсолютноеи относительное отклонения dy от Δy.

Решение:

y=4x3–2x2–3x

Приращениефункции

y(x+Δx)–y(x)=4(x+Δx)3–2(x+Δx)2–3(x+Δx) –(4x3–2x2–3x)=

=4(x3+3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3)<sup/>–2(x2+2 xΔx +Δx2)–3x–3Δx –4x3+2x2+3x=

=4x3+12x2Δx +12xΔx2 +4Δx3 –2x2–4 xΔx –2Δx2–3Δx –4x3+2x2=

=12x2Δx + 12xΔx2 +4Δx3–4 xΔx–2Δx2–3Δx =

=(12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)

Линейная поΔx часть приращения есть дифференциал,то есть

dy=(12x2–4 x–3)Δx или заменяя Δx на dxполучим dy=(12x2–4 x–3)dx

Абсолютноеотклонение:

Δy– dy =(12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)– (12x2–4 x–3)Δx =(12x–2)Δx2 + 4Δx3

Относительноеотклонение:

/>

Задача5

Используядифференциал, рассчитайте приближенное значение функции />,оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

/>

Возьмем

/>=64

/>

/>=>/>

Тогда/>

/>

Относительнаяпогрешность

/>

Задача6. Найти неопределенные интегралы,используя метод разложения.

Решение:

1)/>

2)/>

Задача7

Найтинеопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1)/>2)/>

Задача8

Найтинеопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1)/>

2)/>

Задача9. Нарисуйте прямоугольный треугольник свершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используяопределенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнениегипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:

/>

/> => />

Тогдаплощадь треугольника равна:

/>

Задача10. Нарисуйте треугольник произвольнойформы, расположив его вершины в точках А1(а1,0), А2(а2,0),В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулуплощади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнениесторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:

/>

А1В:/> => />

А2В:/> => />

Тогдаплощадь треугольника равна:

/>

Задача11. Начертите четверть круга радиуса R сцентром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулуплощади круга. (Уравнение окружности x2+y2=R2)

Решение:

 

R

 

y

  />/>

Изуравнения окружности:

/>

Тогдачетверти круга равна:

/>

Тогдаплощадь круга равна:

/>

Задача12

Используяопределенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx,осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдемточки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>/>,тогда искомая площадь:

/>

/>

Задача13

Вычислитеплощадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x2. Нарисуйте чертеж.

 Решение:

Найдемточки пересечения y= x2 =3–2x => x2 +2x–3=0 =>/>, тогда искомая площадь:

/>

/>

Задача14

Вычислитьплощадь между кривой y=1/x2 и осьюОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомаяплощадь:

/>

/>

Вычислить приближенное значениеинтеграла /> по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

/>

Длина интервала

/>

Для удобства вычислений составимтаблицу:

N

/>

/>

1 1,0000 1 2 0,2500 2 3 0,1111 3 4 0,0625 4 5 0,0400 5 6 0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

/>

Точноезначение

 />

Относительнаяпогрешность

/>

Повторимвычисления для 10 отрезков.

Длинаинтервала

/>

Дляудобства вычислений составим таблицу:

N

/>

/>

1 1,0000 1 1,5 0,4444 2 2 0,2500 3 2,5 0,1600 4 3 0,1111 5 3,5 0,0816 6 4 0,0625 7 4,5 0,0494 8 5 0,0400 9 5,5 0,0331 10 6 0,0278

Тогдапо формуле трапеций имеем:

/>

Относительнаяпогрешность

/>

Каквидно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача15. Решить дифференциальные уравнения сразделяющимися переменными.

Решение:

1)/>

Разделимпеременные

/>

2)/>

Разделимпеременные

/>

Задача16

Преобразоватьдифференциальные уравнения к однородному вида />.Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1)/>

Разделимобе части на xy

/>

/>2) />

Разделимобе части на x

/>

/>

или />

Задача17

Привестилинейное дифференциальное уравнение к виду /> и решитьего применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:

1)/>

Преобразуем

/> => />

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> />=>/>, />,

/>

/>/>

2)/>

Преобразуем

/> => />

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> />=>/>, />,

/>/>/>

2)/>

Разделимобе части на x

/>

/>

или />

Задача18

Решитьлинейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1)/>

Запишемхарактеристическое уравнение:

λ2–λ–6=0=> λ1,2=3;-2 =>

Тогдаобщее решение дифференциального уравнения:

 y = C1e3x + C2e–2x

2)/>

 

Найдемрешение однородного дифференциального уравнения:

/>

запишемхарактеристическое уравнение

:λ2–6λ+9=0 => λ1,2= 3 =>

y0= (C1+ C2x)e3x

Запишемчастное решение по виду правой части:

 ŷ= C3x2+ C4x+ C5

Найдем

 ŷ′ = 2C3x–C4

ŷ′′ = 2C3

Подставимв исходное уравнение, получим:

2C3 – 6(2C3x–C4)+9(C3x2+ C4x+ C5) =9C3x2+(9C4–12C3)x+(2C3 + 6C4+9C5)= x2

=> C3 = 1/9, =>C4 = 4/27, => C5 = –10/81       

/>

y = y0+ ŷ = (C1+ C2x)e3x + />