Реферат: Алгебраическая проблема собственных значений
Пусть А — квадратная матрица размером; если существуют такие векторы, что
, (5.1)
то l называется собственным значением, а X — собственным вектором матрицы A, соответствующим этому собственному значению.
В иной записи,
. (5.2)
Очевидно, что система линейных однородных алгебраических уравнений (5.2) имеет нетривиальное решение лишь в случае
.
Понятно, что характеристический многочлен является полиномом степени n от переменной l. Это, в свою очередь, означает, что существует n корней характеристического многочлена, и, следовательно, имеется n собственных значений и соответствующих им собственных векторов для матрицы A.
Пример 5.1. Пусть задана матрица
.
Требуется определить собственные значения и векторы этой матрицы.
Характеристический многочлен:
.
Собственные значения:
.
Определим первый собственный вектор, соответствующий ,
Здесь обозначено: — компоненты вектора .
Очевидно, что последняя система содержит линейно зависимые уравнения (как это и следовало ожидать при ). Используя любое из уравнений этой системы, получим .
Примем для однозначности определения собственных векторов условие нормирования, то есть
,
, .
Теперь найдем второй собственный вектор, соответствующий ,
Отсюда получаем связь компонент второго собственного вектора: .
Из условия нормирования следует:
,
, .