Реферат: Теория случайных функций

МосковскийГосударственный Институт Электроники и Математики

(ТехническийУниверситет)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

“Теорияслучайных функций“


Студент: ФеренецД.А.

Преподаватель:Медведев А.И.

Вариант: 2.4.5.б

Москва, 1995

Дано:

Восстанавливаемая, резервированнаясистема (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУравна 

Время невыхода из строя (т.е.безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально спараметром .

Время восстановления вышедшего из строяэлемента распределено экспоненциально с параметром .

Тип резервироавния — ненагруженный.

Для описания состояния системы введемдвумерный случайный поцесс (t) = ((t), (t)) скоординатами, описывающими:

— функционирование элементов

(t)  {0, 1, 2}  — число неисправных элементов;

— функционирование КПУ

(t)  {0,1} — 1, еслиисправен, 0 — если нет.

Так как времена безотказной работы ивосстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойствэкспоненциального распределения, получим, что (t) — однородныйМарковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит всостояние 2 процесса (t) (т.е. отказ какого-либоэлемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находитсяв состоянии  0 процесса (t) (т.е. отказ какого-либоэлемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить графсостояний системы:

/>

 

/>


/>

/>/>

 

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>П

/>

/>

 

/>

 

/> 



0 — состояние, при котором 0неисправных элементов,
т.е. состояние (t) = (0, (t))

1 — состояние, при котором 1неисправный элемент,
т.е. состояние (t) = (1, 1)

П — состояние, при котором либо 2неисправных  элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний (t) = (1, 1), (t) =(2, 0) — поглощающее состояние.

 

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого изэлементов — события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента:1-exp(-5h) 5h + o(h)

вероятность восстановления элемента:1-exp(-h) h + o(h)

/>

Пусть />

Получим системудифференциальных уравнений Колмогорова:

/>

 

/>

 

Пусть />,

т.е. применим преобразование Лапласа к />.

Т.к. />,то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

 

/>

 

/>

/>

 

/>корни  />

 

Представляя каждую из полученных функцийв виде суммы двух правильных дробей, получаем:

/>

Применяя обратное преобразованиеЛапласа, получаем выражения для функций />:

/>

/>

Искомаявероятность невыхода системы из строя за время t:

/>

где

/>,

/>

Итак,

/>
где
/>

Определим теперь среднее время жизнитакой системы, т.е. MT
(T — время жизни системы):

/>

/>

еще рефераты
Еще работы по математике