Реферат: Теория случайных функций
МосковскийГосударственный Институт Электроники и Математики
(ТехническийУниверситет)
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу
“Теорияслучайных функций“
Студент: ФеренецД.А.
Преподаватель:Медведев А.И.
Вариант: 2.4.5.б
Москва, 1995
Дано:
Восстанавливаемая, резервированнаясистема (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУравна
Время невыхода из строя (т.е.безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально спараметром .
Время восстановления вышедшего из строяэлемента распределено экспоненциально с параметром .
Тип резервироавния — ненагруженный.
Для описания состояния системы введемдвумерный случайный поцесс (t) = ((t), (t)) скоординатами, описывающими:
— функционирование элементов
(t) {0, 1, 2} — число неисправных элементов;
— функционирование КПУ
(t) {0,1} — 1, еслиисправен, 0 — если нет.
Так как времена безотказной работы ивосстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойствэкспоненциального распределения, получим, что (t) — однородныйМарковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит всостояние 2 процесса (t) (т.е. отказ какого-либоэлемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находитсяв состоянии 0 процесса (t) (т.е. отказ какого-либоэлемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить графсостояний системы:
/>
/>
/>
/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>П
/>
/>
/>
/>
0 — состояние, при котором 0неисправных элементов,
т.е. состояние (t) = (0, (t))
1 — состояние, при котором 1неисправный элемент,
т.е. состояние (t) = (1, 1)
П — состояние, при котором либо 2неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний (t) = (1, 1), (t) =(2, 0) — поглощающее состояние.
Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого изэлементов — события независимые, то получим:
вероятность выхода из строя элемента:1-exp(-5h) 5h + o(h)
вероятность восстановления элемента:1-exp(-h) h + o(h)
/>
Пусть />
Получим системудифференциальных уравнений Колмогорова:
/>
/>
Пусть />,
т.е. применим преобразование Лапласа к />.
Т.к. />,то, подставляя значения интенсивностей, получаем:
/>
/>
/>
/>корни />
Представляя каждую из полученных функцийв виде суммы двух правильных дробей, получаем:
/>
Применяя обратное преобразованиеЛапласа, получаем выражения для функций />:
/>
/>
Искомаявероятность невыхода системы из строя за время t:
/>
где
/>,
/>
Итак,
/>
где
/>
Определим теперь среднее время жизнитакой системы, т.е. MT
(T — время жизни системы):
/>
/>