Реферат: Уравнения Курамото-Цузуки
Дубровский А.Д., Заверняева Е.В.
Введение
На текущий момент разработано ряд математических моделей вида реакции-диффузии:
| (1) |
в областях:
Химии
Пример. Автокаталитическая реакция.
Для этой реакции соответствует задача: |
Экологии
Теории морфогенеза
Физики плазмы
Теории горения
Другие
Требуется:
классифицировать качественное поведение решения уравнений (1) в зависимости от различных правых частей
классифицировать системы вида (1)
В работе 1975 года Курамото и Цудзуки сделали вывод, что у большинства диссипативных систем существует аналог термодинамической ветви. При всех значениях параметра, исследуемые уравнения имеют однородное по пространству стационарное решение. Это решение устойчиво при λ<λ0. Поведение решений после потери устойчивости термодинамической ветви (λ>λ0) определяется спектром линеаризованной задачи для уравнения (1) в окрестности точки бифуркации λ0. Уравнение, предложенное Курамото и Цудзуки, описывает поведение в окрестностиλ0, вида:
(2) |
Функция W(R, T) — характеристика отклонения решений системы (1) от пространственно-однородного решения. Таким образом, уравнение (2) описывает только случаи, когда при λ>λ0решение остается в малой окрестности термодинамической ветви.
Без ограничения общности, в уравнении (2) можно положить с0=0, в этом можно убедится сделав замену переменных W=W´exp(i c0t). И так получается, вторая краевая задача при условии, что потоки на границе равны нулю:
(3) |
Упрощенная модель
Предположим, что в изучаемом решении системы (3) есть только две моды:
(4) |
Остальными пренебрежем, поскольку коэффициенты Фурье решений быстро убывают с ростом их номера. Коэффициент k будем выбирать так, чтобы выполнялись граничные условия задачи (3), например: k=π/l. Подставим (4) в (3) и отбросим все члены, куда входит cos(πmx/l), m>1, считая, что они пренебрежимо малы.
(5) |
Пусть (для удобства), то получается соотношения:
(6) |
Сделаем замену переменных в (6)
(7) |
Двухмодовая система
Рассмотрим систему (7).
Простейшие решения
ξ=0, η=0, θ=2c1 k2 t+const – неустойчивый узел в системе (5).
ξ=0, η=0, θ= θ(t), c12 k4 +2c1 c2 k2 -1=0 – две особых точки седло и устойчивый узел. Узел теряет устойчивость на линии (c12 +1)k4 +2k2 (1+c1 c2 )=0.
ξ=0, P(c1 ,c2 ,k)=(9c12 +6c1 c2 -4-3c22 )k4 -2k2 (3c1 c2 -4-3c22 )-(4+3c22 )
P(c1 ,c2 ,k)≤0, k<1 – пара особых точек. Одна из них устойчива при P(c1 ,c2 ,k)>-(4k2 -1)2.
P(c1 ,c2 ,k)>0 – инвариантная прямая, при k<1/2 – устойчива.
Свойства системы
Ограниченность решений.
Из системы (7): Следовательно: Так как z(t) ограничена и, то ξ(t) и η(t) — ограничены. |
Особые точки
ξ=0 или η=0 — уже рассматривались.
Другие особые точки определяются из уравнений
Система может иметь:
Двукратный корень, если выполнены равенства
Трехкратный при
Ограниченная двухмодовая система
Мы перешли к системе (7) трех уравнений, в которой переменная θ играет роль угла и может неограниченно расти при t>∞. Сделаем замену переменных следующим образом:, получаем
(8) |
Систему (8) имеет ограниченное решение при z>0. Особые точки и решения, которые возникают при x=0 или y=0, рассмотрены выше.
Далее ограничим задачу, будем рассматривать систему (8) только при k=1.
Режимы
Система (8) — модель, в которой возникают различные режимы:
Стационарный
Простой предельный цикл
Пример. c1 =3,c2 =-4;k=1;
Сложный предельный цикл
Атрактор
Не исключено проявление квазиатрактора
Данное проявление связанно с существованием нескольких различных в пространстве предельных областей, эти области могут находиться на очень близком расстоянии. В результате при численном анализе, траектория может скакать с одного решения на другое. Пример, существования двух областей притяжения на рис. при c1 =1.21, c2 =-9, k=1.0.
Бифуркации
На рисунке показана карта бифуркаций в области обцыса c1 =[1; 8], ордината c2 =[-5; -5.67], k=1 с шагом 0.01 по параметрам c1 и c2 .
Каждой точке соответствует пара c1, c2 и цвет, обозначающий
красный — хаотическое поведение
синим — бифуркация удвоения периода
черным — остальные бифуркации пер
Список литературы
Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. «Введение в синергетику»: Учеб. руководство. — М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990. — 272с. — ISBN 5-02-014475-4
Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. «О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации». — УДК 517.958
Малинецкий Г.Г. «Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику.» — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 256 с. — ISBN 5-8360-0132-4