Реферат: Элементарная теория сумм Гаусса

Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :

где D – целое положительное и (a, D)= 1.

Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда х=qD+k, где k =0, 1, …, D-1, q є Z

Будем иметь :

что и требовалось.

Лемма 1.

Пусть (a, D)=1. Тогда:

Доказательство:

По свойству модуля комплексного числа:

Имеем:

Сделаем замену x = x + t. Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D, от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D. Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1, q є Z

х = pD + i i=0, 1, …, D-1, p є Z

Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l D + m, где m=0, 1, …, D-1, l є Z

а) Пусть D – нечетное, т.е. (2а, D)=1

если D делит t.

Если же D не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :

Получили :

Тогда

Отсюда

б) Пусть D делится на 4, т.е. возможно представление: D = 2D, где D – четное и ( a, D )=1 .

Получим :

Так как D четное, то

Следовательно

в) Пусть D = 2 (mod 4), т.е. D = 4q + 2, q є Z

Тогда из предыдущего случая имеем: D = 2 (2q+1)= 2D, D — нечетное. Имеем :

Что и требовалось.

Лемма 2.

Если D и D взаимно простые числа, то

S ( aD1, D2 ) S ( aD2, D1 ) = S ( a, D1 D2 )

Доказательство:

В этих суммах t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2, а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2. При этом D1 t1 + D2 t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1 D2 . Действительно, всего членов в сумме D1 D2 и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное: пусть D1 t1 + D2 t2 = D1 t1 + D2 t2 ( mod D1 D2 )

Отсюда D1 (t1 – t1 ) = D2 (t2 – t2 ) (mod D1 D2 ) Тогда

D1 (t1 – t1 ) = D2 (t2 – t2 ) (mod D2 ) А так как D2 (t2 – t2 ) = 0 (mod D2 )

То по свойству сравнений имеем D1 (t1 – t1 ) = 0 (mod D2 ) Отсюда так как (D1, D2 )=1, то t1 – t1 = 0 (mod D2 ) Аналогично получим t2 – t2 = 0 (mod D1 )

Т.е. имеем t1 = t1 (mod D2 ) и t2 = t2 (mod D1 ). Но это противоречит тому, что t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2, а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2, так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D1 t1 + D2 t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1 D2 .

Поэтому

Лемма 3.

Пусть p простое нечетное число и не делит a. Тогда

Доказательство: