Реферат: Математический анализ

Введение

Еслизадана функция y(x), тоэто означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Нонередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например,у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет рольпараметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислитьнебольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большомчисле значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) можетучаствовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах,где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функциюу(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле ку(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)»j(х).

Большаячасть классического численного анализа основывается на приближении многочленами,так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другиеклассы функций.

Выбравузловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать однуопределённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия —некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мыдолжны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мыизберём для измерения этой точности.

Всёизложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

Какиеузлы мы будем использовать?

Какойкласс приближающих функций мы будем использовать?

Какойкритерий согласия мы применим?

Какуюточность мы хотим?

Существуют3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группавключает в себя линейные комбинации функций 1, х, х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos aix, sin aix. Этоткласс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуетсяфункциями e-az. Этифункции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачинакопления и распада.

Чтокасается критерия согласия, то классическим критерием согласия является «точноесовпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теориии выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума(погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловыхточках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Онозначает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна бытьнаименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерийиспользует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума.Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том,чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны идругие критерии.

Болееконкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий ицели каждой отдельной задачи.

Интерполяция многочленами

Цельзадачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительнозаменить некоторой функцией j(х),свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области былонаименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при заменеграфически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

Одиниз подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого методасостоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, сто функция

   />

являетсятребуемым многочленом степени n; он равен 1,если x=xj и 0,когда x=xi, i¹j. Многочлен Lj(x)×yj принимает значения yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этогоследует, что /> есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi).

Другойподход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяетполучить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующегополинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x):

P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+

(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn);

   /> — разделённая разность 1-го порядка;

   /> — разделённаяразность 2-го порядка и т.д.

ЗначенияPn(x) вузлах совпадают со значениями f(x)

Фактическиформулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритмеего построения.

Сплайн-аппроксимация

Другойметод аппроксимации — сплайн-аппроксимация — отличается от полиномиальной аппроксимацииЛагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькимипроизводными непрерывна на отрезке [a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [xi, xi+1] в отдельности являются некоторым многочленом невысокойстепени. В настоящее время применяют кубический сплайн, то есть на каждомлокальном интервале функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудноститакой аппроксимации связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохоаппроксимируется с большой первой производной. Сплайновая интерполяциянапоминает лагранжевую тем, что требует только значения в узлах, но не еёпроизводных.

Метод наименьших квадратов

Предположим,что требуется заменить некоторую величину и делается n измерений, результаты которых равны xi=x+ei (i=1, 2, …, n), где ei — это ошибки (или шум) измерений, а х —истинное значение. Метод наименьших квадратов утверждает, что наилучшее приближённоезначение /> естьтакое число, для которого минимальна сумма квадратов отклонений от />:

   />

Одиниз наиболее общих случаев применения этого метода состоит в том, что имеющиеся n наблюдений (xi, yi) (i=1, 2, …, n) требуетсяприблизить многочленом степени m<n 

   y(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

Вычисленнаякривая у(х) в некотором смысле даёт сложное множество значений уi. Метод наименьших квадратов утверждает, что следуетвыбирать многочлен, минимизирующий функцию.

   />           

Длянахождения минимума дифференцируем  по каждой из неизвестных ak. В результате получим:

   />

Определительэтой системы отличен от нуля и задача имеет единственное решение. Но система степенейне ортогональна, и при больших значениях n задача плохо обусловлена. Эту трудность можно обойти, используямногочлены ортогональные с заданным весом на заданной системе точек, но к этомуприбегают только в задачах, связанных с особенно тщательной статическойобработкой эксперимента.

Полиномы Чебышева

Критериисогласия данного метода — минимизация максимальной ошибки.

ПолиномыЧебышева определяются следующим образом: Tn(x)=cos(n×arccos(x))

Например:        T0(x)=cos(0)=1,

   T1(x)=cos(q)=x,

   T2(x)=cos(2q)=cos2(q)-sin2(q)=2x2-1.

Можнобыло бы и дальше использовать тригонометрические соотношения для нахожденияполиномов Чебышева любого порядка, но будет лучше установить для них рекурентноесоотношение, связывающее Tn+1(x), Tn(x) и Tn-1(x):

   Tn+1(x)=cos(nq+q)=cos(nq)cos(q)-sin(nq)sin(q),

   Tn-1(x)=cos(nq-q)=cos(nq)cos(q)-sin(nq)sin(q).

Складываяэти неравенства, получим:

   Tn+1(x)+Tn-1(x)=2cos(nq)cos(q)=2xTn(x);

   Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x).

Рис.1

/>

Применяяполученные формулы можно найти любой полином Чебышева. Например, Т3(x)=2xT2(x)-T1(x). Подставляя значения T2(х) и Т1(х) имеем Т3(х)=2х(2х2-1)-х=4х3-3х. Графически первые 10полиномов Чебышева изображены ниже. Последующие полиномы по-прежнему колеблютсямежду +1 и -1, причём период колебания уменьшаются с ростом порядка полинома.

Преобразованияq=arccos(x) можно рассматривать как проекцию пересечения полукруга смножеством прямых, имеющих равные углы между собой (рис.1). Таким образом,множество точек xj, на котором система чебышевскихмногочленов Tn(x)ортогональна, таково:

   />, (j=0, 1, 2, …,N-1)

Таккак Tn(x) есть,по существу, cos(nq), то они являются равноколеблющимеся функциями, и так как онимногочлены, то обладают всеми свойствами ортогональных многочленов.

Чебышевпоказал, что из всех многочленов Рn(x) степени n старшимкоэффициентом 1, у многочлена /> точная верхняя грань абсолютныхзначений на интервале -1£x£1 наименьшая. Так как верхняя грань Tn(x)=1,указанная верхняя грань равна />.

Практическое задание

Напрактике нам нужно было изучить приближение нашей функции полиномами Тейлора.

Какуже упоминалось выше, многочлены Тейлора легко вычислять, а так же превращать встепенные ряды. В этом мы и убедились на практике.

Нижепредставлена таблица коэффициенты первых 12-и полиномов Чебышева, а такжетаблица коэффициентов перед полиномами Чебышева, выражающие первые 12 степенейх.

Этиданные мы получили, используя программы на страницах

Вэтих программах использовались следующие алгоритмы:

Преобразованиекоэффициентов полинома Чебышева в коэффициенты традиционного многочлена.

Вводимкоэффициенты a0, a1, …, an многочлена T(x) и образуем массив ai.

Дляj=2, 3, …, n и k=n, n-1, …, j в первомслучае поднимаясь, а во втором спускаясь, проводим преобразование коэффициентовпо следующим формулам:

а) ak-1=ak-2-ak

б) ak=2ak

Врезультате получаем коэффициенты полинома Pn(x)

Преобразованиекоэффициентов полинома Pn(x) в коэффициенты полинома Tn(x)

Вводимкоэффициенты полинома Pn(x) — аi

Дляj=n, n-1, …, 2 и k=j, j+1, …, n  в первом случае спускаясь, а во втором поднимаясь,проводим преобразование коэффициентов по следующим формулам:

а)ak=ak/2

б) ak-2=ak-2+ak

с)a0=2a0

Врезультате получим коэффициенты полинома Тn(x). Любопытно было бы узнать, какую ошибкумы получаем при разложении степенной функции по полиномам Чебышева. Для этого,используя выше описанные алгоритмы, я сначала  представлял функцию y=xn (где n брал от 1 до 10) через полиномы Чебышева (Tn), а затем чтобы оценить ошибкучебышевское разложение снова превращал в многочлен. Выполнив эти операции, яполучил достаточно интересные результаты. Для нечётных n ошибка настолько мала, что её едва можно различить на графиках(стр. ). Для чётных же степеней мы наблюдаем смещение графика, полученного врезультате преобразования, вниз относительно оригинала. Это можно объяснитьследующим образом. За смещение графика несёт ответственность коэффициент перед x0. Вспомним алгоритмы, они построены так, что каждыйпредыдущий коэффициент вычисляется через последующий. То есть в результатенакапливающаяся ошибка вычисления больше всего влияет на коэффициент при x0. Следствием этого является смещение графиков чётныхстепеней, так как в их разложении присутствует этот коэффициент. Заметим также,что смещение при разложении функции y=x2 больше, чем при разложении функции y=x10. Этот тожелегко объяснить, так как при увеличении степени вклад T0 в разложении степенной функции уменьшается. Что же касаетсянечётных степеней, то мы получили такое хорошее совпадение так как чётныекоэффициенты в разложении нечётных степеней равны 0, а коэффициенты при всехстепенях x, кроме нулевой влияют лишь на отклонениеветвей. Подтверждением этого служат графики на странице  .

Следующимэтапом работы являлось приближение полиномами Чебышева произвольной функции. Вкачестве исходной функции я взял функцию y=sin(4x/3). Используемая в работе программа представлена на странице .Для её написания был использован следующий алгоритм:

Приближениефункции f(x) поЧебышеву.

Задаёмстепень n многочлена Tn(x) и пределы [a; b] изменения аргумента функции f(x).

Дляi=0, 1, …, n на отрезке [-1; 1] формируем сетку оптимальных значений аргументав узлах чебышевской интерполяции:

   />.

Переводим/> в отрезок[a; b]:

   /> и вычисляем f(xi)

Дляk=0, 1, …, n и i=0, 1, …, n вычисляем:

   />.

Врезультате получаем коэффициенты a0, a1, …, an многочлена T(/>), приближающего функцию f(x).

Вычислениезначений T(x)выполняется по следующему алгоритму:

Считаязаданным массив ak, задаём память под массив из n+2 вспомогательных коэффициентов bk. Полагаем bn+2=0, bn+1=0.

Задаёмзначения x на [a; b] и переводим их в отрезок [-1; 1] спомощью преобразований:

   />.

Дляk=n, n-1, …, 1 вычисляем bk=ak-bk+2+2xbk+1.

НаходимT(/>)=a0/2 — b2 +xb1

Такжев программе было использовано разложение в ряд Тейлора для сравнения сразложением по полиномам Чебышева. Прежде всего я рассмотрел приближение наинтервале [-1; 1]. Наложив на график sin(4x/3) график его приближения полиномами Чебышева и график,построенный с помощью разложения в ряд Тейлора, я получил очень точноесовпадение. Визуально нельзя различить три кривых. Рассмотрим график ошибок. Всоответствии с теорией ошибка Чебышева знакопеременна и распределена более илименее равномерно по всему интервалу. Ошибка же Тейлора небольшая около 0 исильно увеличивается при приближении к 1 (заметим, что в этом и в другихслучаях ряд Тейлора содержит те же степени x, но с другими коэффициентами). Интереснее рассмотреть приближениена более длинных интервалах. На интервале [-1; 1] приближение полиномамиЧебышева 7-й степени достаточно хорошее, но уже на интервале [-10; 10]приближение этой же степенью очень плохое (стр.  ). Рассмотрим приближение наэтом же интервале полиномом более высокой степени (T11). Получим неплохое приближение, причём на графике очень чётковидно, что ошибка распределена равномерно. Здесь опять хотелось бы сравнить сразложением в ряд Тейлора. Если посмотреть на графики на странице , мы увидим,что приближение с помощью рядов Тейлора очень хорошее в середине интервала, носильно отклоняется от эталона на концах. Сравним ошибки чебышевскогоприближения и приближения с помощью рядов Тейлора. При этом сравнении ясно проявляютсясвойства полиномов Чебышева — максимальная ошибка меньше, чем при использованииряда Тейлора.

Итак,мы получили, что на большом интервале хорошее приближение можно построитьтолько используя достаточно большие степени. Действительно, трудно представитьсебе приближение нескольких периодов синуса с помощью полиномов 3-й, 4-й, 5-йстепеней и уж совсем невозможно 1-й и 2-й.

ПолиномыЧебышева дают очень хорошее приближение функции в том смысле, что максимальнаяошибка этого приближения мала, но эти приближения довольно сложно вычислять.Обычно относительно малое уменьшение ошибки не стоит того труда, которыйприходится тратить на нахождение этого приближения. Поэтому полиномы Чебышеваиспользуют для корректировки разложения в ряд Тейлора. Нахождение исправленныхкоэффициентов не представляет большой сложности, поэтому этот метод, называемыйэкономизацией степенного ряда может применяться для повседневногопрограммирования.

Список литературы

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/