Реферат: Преобразование Фурье

Анатолий Карташкин

Воснове преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительноплодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммойотдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различнымиамплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами ω). Пример одной изтаких функций S(t), состоящей из гармоник Сi(t), приведен на рис.1.

/>

Рис.1. Представление прямоугольного импульса суммой гармонических составляющих

Понятия«изобразить в частотной области некую функцию от времени» и «нарисовать спектрэтой функции» – равнозначны. Если скользнуть по рис.1 взглядом по горизонталислева направо, то свершится переход от какой-либо функции времени к ее спектру– благодаря «магическому стеклу» ПФ. А нижняя часть рисунка есть иллюстрацияодного из основных принципов ПФ – спектр суммарной функции времени равен суммеспектров ее гармонических составляющих.

Неоспоримымдостоинством ПФ является его гибкость – преобразование может использоваться какдля непрерывных функций времени, так и для дискретных. В последнем случае ононазывается дискретным ПФ – ДПФ.

Дляполучения дискретной функции времени надо подвергнуть процессу дискретизациинепрерывную функцию времени. Это изображено на рис.2. Вырезаем отдельныезначения из непрерывной функции, выстраивая дискретную функцию времени. Периододного цикла его работы Tд называется «периодом дискретизации», или«интервалом дискретности».

/>

Рис.2. Дискретное представление непрерывной функции

ПФчасто применяется при решении задач, возникающих в теории автоматическогорегулирования и управления, в теории фильтрации и т.д. Разберем один изпримеров. Имеется некий линейный фильтр – изготовленный то ли в виде набораспаянных между собой резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, то ли ввиде модульной конструкции интегральных микросхем. Известен также входнойсигнал (на рис.3 в качестве входного сигнала изображена дельта-функция, то естьимпульс исчезающе короткой длительности и бесконечно большой амплитуды).Необходимо определить, какой сигнал появится на выходе нашего фильтра.

/>

Рис.3. Исследование линейного фильтра

Ходрешения этой задачи зависит от того, какую позицию мы предпочтем. Выберемвременной путь решения (верхняя половина рис.4) – придется входной сигналзаписать как функцию времени SBX(t) и использовать импульснуюхарактеристику фильтра h(t), то есть математическую запись его работы вовремени. Отправимся по частотному пути (нижняя половина рис.4) – нужно будетоперировать уже не с самим входным сигналом, а с его спектром gbx(ω).Δа и алгоритм работы нашего фильтра потребуется представить в частотнойобласти – в виде частотной характеристики K(ω). Δля этого воспользуемсяпомощью опять-таки «магического стекла» ПФ.

/>

Рис.4. Быстрое преобразование Фурье

Итак,два пути – какой из них избрать? По-видимому, тот, который проще. Во всякомслучае, в большинстве практических задач предпочтение отдается частотномунаправлению.

Есливыполнять ДПФ входной последовательности, так сказать, впрямую – строго поисходной формуле, то потребуется много времени (особенно если количествовходных отсчетов велико). Конструктивнее использовать принцип «разделяй ивластвуй», лежащий в основе алгоритма БПФ. Согласно ему входнаяпоследовательность делится на группы (например, четные и нечетные отсчеты), идля каждой из них выполняется ДПФ, а затем полученные результаты объединяются.В итоге получается ДПФ входной последовательности – и существенная экономиявремени. Поэтому описанный алгоритм так и назвали – быстрое преобразованиеФурье.

Список литературы

ЛаврусВ.С. Практика измерений в телевизионной технике. – К.: НиТ, 1996.

КарташкинА. Уйти, чтобы вернуться.