Реферат: Великая теорема Ферма
Валерий Петров
Более350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ливеликая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключенияразделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет ихна пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает… Однако спустянесколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ напоставленный вопрос».
Вдействительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал обусловии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, онрассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этойтеоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из карманааккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнеев кресло у камина и стал читать.
«Пустьимеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению:
z3 = x3 + y3
(1)Очевидно,эти числа попарно не должны иметь общих множителей. Также очевидно, что число zменьше суммы двух других чисел, т.е.
z < x + y (2)Пустьимеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силуизвестной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах.Предположим, что треугольник прямоугольный. Тогда для сторон этого треугольникасправедливы два соотношения:
z3= x3 + y3 и z2 = x2 + y2,
откудаследует:
/>
/>
(x3 + y3)2 = (x2 + y2)3;
x6 + 2x3y3 + y6 = x6+ 3x4y2 + 3x2y4 + y6;
2x3y3 = 3x4y2 + 3x2y4;
2x3y3 = 3x2y2(x2+ y2);
2xy = 3(x2 + y2).
Пустьx = y + b. Тогда:
2y(y + b) = 3(x2 + y2);
2y2 + 2yb = 3x2 + 3y2;
2y2 + 2yb – 3y2 = 3x2;
2yb – y2 = 3x2;
y(2b – y) = 3x2;
/>
Пусть2b – y = c, тогда y = 3x2/c.
Пусть3/c = d, тогда
y = dx2
(3)Такимобразом, число x является одним из сомножителей числа y, что недопустимо и,следовательно, уравнение (1) не имеет целочисленных решений удовлетворяющихусловию (2).
Применяябином Ньютона для возведения в степень суммы чисел x2+y2в степень, можно аналогичным образом доказать теорему для любых чисел n>3.
Известно,однако, что существует теорема, согласно которой треугольник, между сторонамикоторого имеется соотношение zn=xn+yn, приn>3 является остроугольным. Тогда для сторон этого треугольника справедливыдва соотношения:
zn= xn + yn и z2 = x2 + y2+ 2xy · cosα,
гдеα – угол между сторонами x и y.
Однакои в этом случае доказательство сводится к тому, что y оказывается равным dx2,так же, как это было показано для прямоугольного треугольника (3).
Флэггзадумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы этосделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу.Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответилФлэгг.
«Всамом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы наддоказательством этой теоремы».
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.n-t.org/