Реферат: Шпаргалки по высшей математике (1 курс)
Основныепонятия мат анализа. Матем-наука о простых формах и количествотношений окружающего нас мира. Переменой величиной наз величина dринимает различн числовые значения. величина значения d не меняется назпостоянной величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величиныназ областью изменения этой переменной. Окрестность х0 наз производныйинтервал (a;b) содержащий эту .If каждому значению переменной х э неd области соответствует 1 определенноезначение др переменой у, то у есть f(х)=у. способы задания f.1)таблица 2)графический совокупность M(х; у) не лежащих на прямой // оу, определяетзависимость у=f(х) 3)аналитический. Аналитическим выражением назсимволическое обознач совокупности известных матем операций d производятся вопредел последовательности над числами и буквами обозначающиеем постоянные ипеременные величины. if f зависимость у=f(х) такова, что f обозначаетсяаналитич выражением, то f задана аналитически. F f(х) наз периодическойif $ t: «х f(х+t)=f(x). Четная,нечетная, монотонная f. Элементарные f. 1)постоянная у=с, с-действительноечисло; 2)степенная у=х^а, а-д.ч. 3)показательная у= f^х a>x a≠14)логорифмическая у=loga x a>x a≠1,5)тригонометрические 6)обратные тригонометрические. Предел функции.(Коши) число а наз lim f f(х) в х0б if для » Е>0 $ б>0, такое что длявсех х0 х э Ω, х ≠ 0 и удовлетвор |х-х0|<б верно |f(х)-А|<Е. (Гейне) число А наз lim f f(х), if "последовательности хn(хnÎW, хn¹х0),сходящейся к · х0, соответствующаяпоследовательность значений f сходится к числу А. Оба определенияэквивалентна, т.е. if f f(х) имеет предел А в смысле определения I, то она имеет тот жепредел А в смысле определения II, и наоборот. Замечание. if f(х)èв при хèа, так что х<а, тоlim f(х)=в (хèа-0). Опр. If lim спрor сл =, то это будет lim в смысле данного выше опр. Для сущ lim fприемного отделения хèа не требуется чтобы fбыла опр в а. БМВ.F α(х) наз бмс хèа if α(х)=0 ifдля «Е $ б: |x-α|<бè |α(х)|<Е. св-ва 1) ifα(х) и β(х)-бм f при хèх0,то их Σ α(х)+β(х) и произвед=бм f при хèх0 2)f(х)-ограниченаяf α(х)*β(х)=бм f при хèх03)α(х)-бм при хèх0, f(х) имеет в х0 конечный предел,lim f(х)=А, то f α(х)*f(х) и α(х)/f(х)=бм при хèх0 4)if α(х) бмпри хèа но не обращ в 0, тоу=1/α(х)=∞. Основные Т о пределах. 1)lim Σконечного числа f= Σ их lim, if они сущ. Д. (хèа) α1,α2-бм lim u1=a1, lim u2=a2, u=u1+u2, u1=a1+α1, u2=a2+α2; lim u=lim(u1+u2)=lim (a1+a2 +α1+α2) =a1+a2 2)limпроизведения конечного числа f= произведению lim, if они сущ. Lim аналогично. Следствие:const множитель можновыносить за знак lim. 3)lim частного= частному lim, if знаменатель≠ 0. Д.(хèа) lim (u(x)/v(x))=(lim u(x))/(;im v(x), lim v(x)≠0, Lim u=a1,lim v=a2≠0;u=a1+α, v=a2+β;α,β-бм;u/v=(a1+α)/(a2+β)=a1/a2+(a1+α)/(a2+β)–a1/a2= a1/a2 + (α*a2-β*a1)/(a2(a2+β)), u/v=a1/a2+γ, lim(u/v)=a1/a2 4) if для соответствующихзначений 3 f u(x), z(x), v(x) выполняетсянеравенство u≤z≤v и lim u(x)=lim v(x)=b èlim z(x)=b Д. u-b≤z-b≤v-b „E $ б1 |x-a|<б1è|u(x)-b|<E, $ б2 |x-a|<б2è|v(x)-b|<E б=min(б1, б2), -E<u-b<E –E<u-b≤z-b≤v-b<E, -E<v-b<E –E<z-b<E |z-b|<E 5)if y≥0, lim y=bèb≥0 Д. b<0 |y-b|≥|b| E=|b|, $ < |y-b|<E=|b| пришли кпротиворечию. Замечание: if у>, то Т тоже выполняется в той жеформулировке (b≥0). 6)if v≥u в неd окрестности а lim v≥lim u Д. v-u≥a èlim (v-u) ≥0èlim v-lim u≥0èlim v≥lim u Сравнение бмв. (xèa)О. if lim(α/β)≠0, lim(β/α)≠0, то α иβ наз бмв одного порядка (zb x^2 и 2x^2). O if lim β/α=0, то β-бм é высокого порядка чемα.О бмв β наз бм nго порядка относительно α, if limβ/αn=A≠0. О. if lim β/α=1, то α,β –эквивалентныебмв. Т. If α, β-экивалентные бмв, то α-β-бмв é более высшегопорядка, чем α и β. Д. lim((α-β)/α)=lim(1-β/α)=1-1=01 Зам lim. SΔMOA<Sсект MCA<SΔCOA; SΔMOA=½OA*MB= ½ sin x; Sсект MCA= ½ x*1= ½ x; SΔCOA= ½ OA*AC= ½ tg x; sin x<x<tg x |:x; 1<x/sin x<1/cos x; 1>sin x/x>cos x; sin x/xè1; sin(-x)/-x=sin x/x; cos (-x)=cos x 2 зам lim.Т . переменная величина(1+ 1/n)n, при nè∞ имеет limзаключенный между числами 2 и 3. (1-1/n)n=1+n*1/n+n(n-1)/2n2+n(n-1)(n-1)/(2*3*n3)…=1+1+½(1-1/n){<1}+ 1/(1*2*3) (1-1/n{<1})(1-2/n{<1})+…+1/(1*2*…n)*(1-1/n{<1})*(1-2/n{<1})…(1-(n-1)/n). При переходе от n кn+1 добавляется 1 слагаемое, каждое слагаемое возрастает. Это выражениеявляется é последовательностью.Полагаем, что она ограничена. {2<}(1+1/n)n<1+1+1/ (1*2)+1/(1*2*3){1/22}+…+(1/(1*2*3…n)<1+2+½+1/22+1/2n-1=1+(2-(½ )n-1)<3 é и огран последов. Непрерывностьf. у=f(х) х=х0+Δх. Δf=f(х)-f(х0)=f(х0+Δх)-f(х0);f(х)=f(х0)+ Δf. О. f f(х) наз непрерывной в х0, if она опр в этой и в неd ееокрестности и lim Δf=0(Δхè0).( Δхè0) lim (f(х0+ Δх)-f(х0))=0, lim f(х0+Δх)=f(х0). хèх0 lim f(х)=f(х0)è lim f в =значению в этой . Zb у=х2докажем, что f непрерывна в х0.Δf=(х0+ Δх)2-х02=х02+2х0Δх+(Δх)2-х02=2х0Δх+(Δх)2. lim Δf{xè0}=l (2x0Δx+(Δx)2)=0. Т.If f f1 и f2 непрерывны в х0, то их Σ тоженепрерывна в х0. Д.φ(х)=f1(х)+f2(х). {xèx0}lim φ(x)=lim(f1(x)+f2(x))=Lim f1(x)+lim f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=φ(x0). Следствие:Тсправедлива для “ конечного числаслагаемых. Т1. произведение 2 непрерывных f будет есть непрерывная f. 2.частное 2 непрерывных f будет непрерывной f, if знаменатель не обращается в 0. 3.if f u=f(х)непрерывна в х0 и f f(u) непрерывна в u0=φ(х), тосложная f f(φ(u))непрерывнав х0. Т. Всякаяэлементарная f непрерывна в каждой в d она определена (sin,log…). О. if ff(х) непрерывна в каждой неd интервала (a;b), то говорят что онанепрерывна на этом интервале. О. if f определена при х=а и lim f(х)=f(а){xèa+}, то говорят что fнепрерывна в а справа, аналогичнослева. О. if f(х) непрерывна в каждой интервала (a;b), в а непрерывна справа,f в в слева(а<в ), тоговорят, что f f непрерывна на отрезке (a;b). О. if в х0 не выполняется АОкрайней мере 1 из условий непрерывной, т.е. if при х=х0 f неопределенна или несуществует lim f(х){xèx0} or он ≠ значению f в , то говорят, что fразрывна в х0. х0 в э том случае разрыва f. Классификацияразрыва. 1) if $ lim f(х), но fнеопределенна в этой , либо нарушеноусловие lim f(х)≠f(x0){xèx0}, тогда х0 наз устранимого разрыва2) не$ lim f(х){xèx0}, но $ lim справа и слева, lim f(x){xè x0+}≠lim f(x){xèx0-}-f имеет разрыв 1рода.3)if хотя бы 1 lim не$or =∞, то говорят, что f имеет разрыв 2 рода. Свойства непрерывнойf. Т if f f(х) непрерывна на неd отрезке [а; в], то на этомотрезке найдется по крайней мере 1 х, такая, что значение f в этой будет удовлетворятьсоотношению: f(х1)≥f(х), где х-»др отрезка. Значениеf(х1) наз наибольшим значением f f(х) на [a;b]. Т. Пусть ff(х) непрерывна на [a;b] и на концах этогоотр принимает значение разных знаков, тогда между а и в найдется покрайнем мере 1 с, такая что онабудет =0. Т. Пусть f f(х) определена и непрерывна на [a;b], if на концах этогоотрезка f принимает ≠ значении А и В (A<B), то для " числа μ «MA≤M≤B $ c: f(c)=μ. Следствие:if f у=f(х) непрерывна на неd интервале, она принимает по крайней мере 1 раз », заключенное между ее наибольшим инаименьшим значениями. Производная f.. Пусть f f=f(х)опред в неd внутренней интервала (а; в).Зададим аргументу х в х0 произвольноеприращение Δх такое, что x0+ Δх также находится на (а; в). Тогда fу=f(х) получит приращение Δу=f(х0+Δх)-f(х0), d, является f приращенияаргумента Δх при фиксированном х0. О. lim Δу/Δх при Δхè0 (if существует) назпроизводной f у=f(х) в х0 и обознач {Δxè0}lim Δу/Δх=lim(f(х0+Δх)-f(х0))/хΔ. Операция нах производной наз дифференцирование. Геометрическийсмысл производной. If М1èМ0секущаяèзанять предельноезначение. Прямая занимающая предельное положение наз касательной. Tg φ=Δf/Δx tg α={MnèM0}lim tg φ={Δxè0}lim Δf/Δx=f `(x). Значение произв в = tg < накл касательнойк оси ох. F f(х) наз дифференцируемой в х, if Δf предоставлена в видеΔf=АΔх+α(Δх)*Δх, где А-число, α(х)-бмв приΔхè0. Т.Дифференцируемость f в эквивалентносуществованию производной {Δxè0} lim Δf/Δx=lim (AΔx+α(Δx)Δx)/Δx=0(Δx)=lim (A+α(Δx))=A; Δf/Δx=f `(x)+α(Δx). Т. Ifдифференцируема в , то она непрерывна вэтой . Д. f `(x)={Δxè0}lim Δf/Δx, Δf=f `(x)Δx+α(Δx)Δx, lim Δf=lim (f `(x)Δx{бмв}+α(Δx)Δx{бмв})=0 обратноеневерно. Основные Т о производных. Т. Производная Σконечного числа f = Σих произведений, if последние сществуют. Д. f(x)= u(x)+v(x), f(x+Δx)=f(x)+Δf, u(x+Δx)=u(x)+Δu; v(x+Δx)=v(x)+Δv; Δf=Δu+Δv; f(x+Δx)-f(x)=u(x+Δx)+v(x+Δx)-u(x)-v(x); f `={Δxè0} lim Δf/Δx=lim (Δu+Δv)/Δx=lim Δu/Δx+lim Δv/Δx=u`+v`. Т. If f=uvèf `=u`v+v`u, if u` и v` существуют. F(x+Δx)=u(x+Δx)v(x+Δx)=(u(x)+Δu)(v(x)+Δv)=u(x)v(x)+ u(x)Δv+Δuv(x)+ΔuΔv; Δf=u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x); f `(x)={Δxè0}lim (u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x))/Δx=lim (u(x)Δv)/Δx + lim v(x)*Δu/Δx+lim Δv*Δu/Δx=u(x)v`(x)+v(x)u`(x) Т.f= v(x)*u/v≠0 f `=(u`(x)-≠0 f `=(u`(x)-v`(x))/v2. Δf=u(Δx+x)/v(x+Δx) – u(x)/v(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=(Δu+u(x))/(Δv+v(x)) – u(x)/v(x)=(v(x)Δu-u(x)Δv))/((Δv-v(x))v(x)). F `={Δxè0}lim [(v(x)Δu-u(x)Δv)/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=lim [v(x)*Δu/Δx – u(x)*Δv/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=(vu`-uv`)/v2Дифференциал. F у=f(х) наздифференцируемой в х0, if ее приращениеΔу=f(х0+ Δх0)-f(х0)в этой можно представить в видеΔу=А(х0)Δх-α(Δх), где А(х0) не зависит от Δх иα(Δх) f от Δх, такая что α(Δх)/Δхè0, при Δхè0. приращение fсостоит из 2 частей: А(х0)Δх – главная часть приращения, линейно зависимаяот приращение Δх аргумента, и α(Δх)-нелинейная f от аргументаΔх, d является бм высшего порядка малости по сравнению с Δх приΔхè0, т.е.α(Δх)=0(Δх). Для того чтобы f f(х) была дифференцируемой в х0, необходимо идостаточно, чтобы она имела конечную производную в этой , тогда А(х0)=f `(х0).Обозначается df(x0)=f `(x0)Δx. Дифференциал fу=f(х) обозначается dy.F`(x)=dy/dx, or y`=dy/dx. Производная идифференциалы разл порядков. О. пусть f дифференцируемая наинтервале (а; в). Производную f `(x) наз производной 1 порядка, или 1производной f f(х). if f f `(x) дифференцируема на (а; в), то ее производнуюназ 2 производной, или производной 2 порядка f f(х) и обозначается f ``(x) or f(2)(x), fxx``(x), т.е. f ``(x)=(f`(x))`. Производная n-го порядка: f^(n)(x)=(f^(n-1)(х))`, if наинтервале (а; в) существует дифференцируемая функция f^(n-1)(х). по определениюполагают f(0)(х)=f(х), т.е. f f(х) наз нулевой производной. Физсмысл: if s=s(t)-закон прямолиндвижения маериальн , то s``(t) есть ускорение этой в момент времени t. Т. Ролля.If f f(х) непрерывна на отрезке [а; в] дифференцируется на интервале (а; в) иf(а)=f(в)=0, то внутри [а; в] $ с, в d производная=0.Дт.к.f f(х) непрерывна на отрезке [а; в], то она имеет на [а; в] наибольшее значение Mи наименьшее значение m. If M=m, то f(х)=const f `(x)=0 " x. If M≠m, то по крайнем мере 1из этих чисел =0. пусть для определения M>0 и f принимая max знач при х=с. f(c)=M; c≠a; c≠b, т.к. f(а)=0 иf(в)=0; F(c+Δx)-f(c)<0; (f(x+ Δx) –f(c)){<0, if Δx>0}/Δx{>0, if Δx<0} Δxè0. f `(c)≤0 f `(c)≥0èf `(c)=0. геометрическоеистолкование. If непрерывная прямая имеющая в каждой касательнуюпересекающую ох, с абциссами а и в, тона этой прямой существует по крайней мере 1 , касс и d //ох. Замечание: 1) док Т для f, d наконцах отрезка не обр в 0, но принимает = значения. 2) if f f такова, что f ` $ не во всяких отрезка, тоутверждение Т может быть неверно. Т. Лагранжа. If f непрерывна на[а; в] и дифференцируема на (а; в), то внутри отрезка $ по крайней мере 1 с, такая чтоf(в)-f(а)=f `с(в-а); а=(f(в)-f(а))/в-а; F(х)=f(х)-f(а)-а(х-а). F(х) непрерывнана [а; в] дифференцируема на (а; в) и обр в 0 на концах отрезка.F(в)=f(в)-f(а)=(f(в)-f(а))(в-а)/(в-а)=0=F(х) выполн усл N Ролля. $ с: F`(с)=0; F`=f `(х)-Q; f `(x)- Q=0; f `(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). рассмотрим хордуАВ: tg α=l=q (a;f(a)) y-f(a)=Q(x-a) AB: y=f(a)+Q(x-a). if во всех внутри [а; в] сущкасс, то $ с на дуге,касательная в d // хорде. Для хорд угловой коэффиц = Q. Т. Коши.If f(х) и φ(х) 2 f непрерывные на [а; в] и дифференцируемы, причем f `нигде внутри отр не обращ в 0, то внутри отрезка [а; в] $ с: (f(в)-f(а))/(φ(в)-φ(а))=f `(c)/φ`(c); Q=(f(в)-f(а))/(φ(в)-φ(а))≠0, т.к. иначе f φ(х) удовлет быусл Ролля. F`(c)=0. F(x)=f(x)-f `(a)-Q(φ(x)- φ(x)); F(a)=F(b)=0; F(x)-удовлетв всемусловиям N Ролляè$ с из (а; в): F`(с) =0 F`(x)=f `(x)-Qiφ(x); f `(c)/φ`(c)=Q=(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a); f `(c)=Qφ`(c)=0. ПравилоЛопиталя. Пусть f f(х) и φ(х) на [а; в] удовлетв условию Т Коши,обращаются в 0 в а; f(а)=φ(а)=0.Тогда $ lim f `(x)/φ`(x){xèa+}è$ lim f(x)/φ(x) {xèa}, применяем Т Коши:(f(х)-f(а))/(φ(х)-φ(а))=f `(ξ)/φ(ξ); f(x)/φ(x)=f`(ξ)/φ`(ξ) ξc(a;x). {xèa+}lim f(x)/φ(x)=lim f`(ξ)/φ`(ξ)={ξèa+}lim f`(ξ)/φ`(ξ)={xèa+}lim f `(x)/φ`(x). If на месте неd[с; а] тоож выполн условия Т для f и φ, то Т верна для хèа (для хèа- аналогично). Тимеет место if f и φ неопределеныпри х=а, но {xèa}lim f(х)=0 limφ(х)=0. можно определ f f и φ в f, так чтобы они стали непрерывны в а1. f(а)=0φ(а)=0 (по опр). Формула Тейлора. Предположим f f(х) имеетвсе производные до n+1 порядка включительно в неd промежутке, содержащим а. найдем многочленРn(х) в х 5 n, знач d в а и значениепроизводных дл n порядка = значениям соответствующих производных от f f(х),т.е. Рn(а)=f(а)…Рnn(a)=fn(a) Pn(x)=C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+Cn(x-a)n; Pn`(x)=C1+2C1(x-a)+…nCn(x-a)n-1 Pn(n)(x)=n!Cn; f(a)=Pn(a)=C0; f `(a)=Pn`(a)=C1; f ``(a)=Pn``(a)=2C2; fn(a)=Pn(n)(a)=n!Cn; Ck=f(k)(a)/k! K=0,1…n;PN(x)=f(a)+f `(a)(x-a)+(x-a)2*f ``(a)/2! + …+(x-a)n*f(n)(a)/n!;Rn(x)=f(x)-Pn(x); f(x)=Pn(x)+Rn(x) Необходимоесущэкстремума. If диф f у=f(х) имеет в х1 max ormin, то f `(x1)=0 Д. предположим для опр-ти, что max тогда f(x1+Δx)<f(x1) Δxè0; (f(x1+Δx)-f(x1))/2 {<0,Δx>0; >0, Δx<0} èf `(x)≥0{≤0}èf``(x1)=0. для min также, только с против знаками. Обратное не верно. Iff `(х1)=0, не значит, что в этой будет экстремум. в d не$or =0, такие наз критическими. Достаточноеусловие сущ экстремума. Пусть f(х) непрерывна в неd интервале,содержащим х1, и дифференциуемаво всех этого интервала(кроме х1). If при переходеслева направо через х1 производная меняетзнак с + на -, то х1-max, If c – на +, min. Д. пустьпроизводная меняет знак с + на -, тогда для х достаточно близких к х1 f `(x)>0, x<x1 и f `(x)<0, x>x1. применим ТЛагранжа: f(x)-f(x1)=f `(c)(x-x1) 1)x<x1èc<x1, f `(c)=0,f `(c{>0}) (x-x1{>0}); f(x)-f(x1)<0 f(x)<f(x1) 2)x>x1èc>x1, f `(c)<0; f `(c{<0}0(x-x1{>0}) f(x)-f(x1)<0 f(x)<f(x1)è х1 — мах. Для min аналогично. ifнепрерывность не выполняется Т не верна.Выпуклость и вогнутость. О.говорят. Что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале [а; в] if все кривой лежат ниже " ее касательной на этом интервале. Т.If во всех интервала [а; в] f ``(x)<0, то криваяу=f(х) выпукла вверх. У=f(х), неу=f(х0)+f `(х0)(х-х0), у-неу=f(х)-f(х0)-f‘(х0)(х-х0)=f ‘(с)(х-х0)-f ‘(х0)(х-х0)=(f ‘(с)-f ‘(х0))(х-х0)=f‘‘(с1)(с-х0)(х-х0) с1 э (х0; с) находится между 1)х>х0èx0<c1<c<xèx-x0>0, c-x0>0 f ``(c1)<0èy-ney<0 2)x<x0è x<c1<x0èx-x0<0, c-[0<0, f ``(c1)<0èy-ney<0èney>y. " кривой лежит ниже касательной этой кривой, " х и х0 из интервала [a;b] è кривая выпукла ввверх. Т. Пусть кривая определена Ур у=f(х), if f ``(a)=0 or f ``(a) ne$ и при переходе через а меняется знак, то аперегиба.Асимптоты. Прямаяl наз F кривой, ifрасстояние Δ от переменой M кривой до этой прямой при удалении M в бесконечностьè0 1. вертикальная А. для того, чтобы прямая х=аявлялась верт А гр f у=f(х) чтобы обращался в беск хотя бы 1 из lim: {xèa+0}lim f(х)=∞ {xèa-0}lim f(x)=∞ 2. наклоннаяА. для того чтобы y=kx+b была накл А надочтобы сущ оба lim: k={xè∞}lim (f(x))/x; b={xè∞} lim(f(x)-kx). If lim сущ толькопри хè∞+(хè∞-) то А будетправосторон (левосторон). if k=0, то А -горизонтальная Производнаясложной f. предположим в ур z=F(u,v) u и v f независимыхпеременных х и у. u=φ(x,y) v=ψ(x,y), z-сложная f, пусть f Пбψ,φ имеют непрерывные частные производные по своим производным.зададим Δх, сохран у неизменным.Тогда Δxu,Δxv;Δz=∂F/∂u*Δxu+ ∂F/∂v*Δxv+γ1Δxu+γ2Δxv |:Δx Δz/Δx=∂F/∂u*Δxu/Δx+∂F/∂u*Δxv/Δx+γ1{è0}+γ2{è0}; ∂z/∂x={Δxè0}lim Δz/Δx=∂F/∂u*∂u/∂x+∂F/∂v*∂v/∂x; zb z=ln(u2+v) u= e^(x+y2) v=x2+y; ∂z/∂u=2u/(u2+v); ∂z/∂v=1/(u2+v); ∂u/∂x=e^(x+y2) ∂v/∂x=2x ∂z/∂x= e^(x+y2)*2u/(u2+v)+2x/(u2+v). Выражение полногодифференциала 1 порядк имеют тот же вид, являются ли u и v независимымипеременными от f независимых переменных (с формами дифференциала инварианта). Производная неявнойфункцииТ. пусть непрерывная f у(х) задана неявно уравнением F(х, у)=0, где F, F‘х,F‘у непрерывные f в неd области Д содержащей (х, у), координаты d удовлетворяют этомууравнению. Кроме того F‘у≠0. y`x=- F`x/F`y. Частные производные различныхпорядков. Z=f(x;y)s ∂z/∂x=∂/∂x*(∂z/∂x); ∂2z/∂x∂y=∂/∂y*(∂z/∂x) ∂2z/∂y∂x=∂/∂x*(∂z/∂y); f=x2y+y3; ∂f/∂x =2xy ∂2f/∂x2=∂/∂x*(2xy)=2y; ∂f/∂y=x2+3y2 ∂2f/∂y2=6y; ∂2f/∂x∂y=∂/∂y*(2xy)=2x; ∂2f/∂y∂x=∂/∂x*(x2+3y2)=2. T. if f f(х, у) и еечастные производные f`x, f `y, f ``xy, f ``yx, определены инепрерывны в и неd ее окрестности,то в этой ∂2f/∂x∂y=∂2f/∂y∂x.Производная понаправлению.Проведем из M вектор S{в} направляющая косинус d So{в}(cos a,λ,β). Рассмотрим навекторе S на расстоянии ΔS от его начала М1(х+Δх, у+Δу, z+Δz). Пусть f u непрерывна и имеетнепрерывные частные производные в Д. Δu=∂u/∂x*Δx+∂u/∂y*Δy+∂u/∂z*Δz+E1Δx+E2Δy+E3Δz{Ei-бмв}; Δu/ΔS=∂u/∂x*Δx/Δs+ ∂u/∂y* Δy/Δs+∂u/∂z*Δz/Δs+E1*Δx/Δs+E2*Δx/Δs+E3*Δx/Δs координаты вектора /на длину Δx/ΔS=cos x; Δy/ΔS=cos β; Δz/ΔS= cosλ; Δu/ΔS=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+ ∂z/∂x*cos λ+E1cos α+E2cos β+E3cos λ; {ΔSè0}lim Δu/ΔxS=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂z/∂x*cos λ=∂u/∂S{производная понаправлению} Градиент. Gradu=∂u/∂x*i+ ∂u/∂y*j+∂u/∂z*k Т. Производная ∂u/∂S по направлению неdвектора S=проекциивектора-градиент uна вектор S. Д.рассмотримединичный вектор S0; (gradu, S0)=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂z/∂x*cos λ=∂u/∂S=проекцииS0gradu, if ввести угол медувекторами φ ∂u/∂S=|gradu|cos φ. Св-ва.:1)производнаяв данной по направлению S{в} имеет наибзначение, if по направлению вектора S совпад с направ grad. Это наибольш знач =|gradu |2)производная понаправл ветора перпендик grad=0 Матрица. Матрицей размера тХп называютпрямоугольную таблицу, содержащую т строк и п столбцов. Элементытаких таблиц могут иметь произвольную природу, но в этой главе мы будемсчитать, что элементами матриц являются действительные числа. Строки и столбцыматрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный напересечении i-ой строки и j-гостолбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно обозначаютзаглавными буквами латинского алфавита. Если число строк матрицы совпадает счислом столбцов (т = п), то матрицу называют квадратной иговорят, что квадратная матрица имеет порядок п Элементы а11,а22, ..., атm называютсядиагональными и образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратнаяматрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы,расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная матрица называется диагональной,если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали.Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице,называется единичной и обозначается буквой Е. Матричная формазаписи. AX=B. Определитель.О. Определитель-квадратной матрицы 2 порядка наз число а11*а22-а12*а21.опр n порядка-а11*А11+а12*А12+… а1nА1n, где F-минор. Св-ва: 1) |АТ|=|А|2)if поменять местами 2 строки поменяется только знак 3)опр у d 2 строки =,опр=0 4)общий множитель строки можно вынести за знак определителя. 5)if элстроки =0, опр=0 6)if эл строки пропорциональны эл др строки, опр=0 7)if эл к-лстр представлены в виде 2 слагаемых, то определ может быть в виде суммы 2соответствущ опр 8)опр не измен if к жл к-л строки прибавить соотв эл любой дрстроки, умноженное на 1 число 9)опр треугольн матр=произвед эл, располож на глдиагонали 10)опр произвед 2 кв матр =произвед их опред: |АВ|=|А||В|=|ВА|. Обратнаяматрица. Матрица А-1 наз обратной if вып равенство: А-1А=АА-1=Е,Е-единичная матрица. Т. Обр матр существует когда она невырождена, т.е≠0Д. предположим А имеет обратную матр, но опр F=0, тогда |А-1А|=|Е|=1,f с др стороны |A-1A|=|A-1||A|=|A-1|*0=0, мыпришли к противоречию. Ранг матрицы наз число = наибольшему изпорядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается r(A) Т рангматрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Ранг матрицычислу ненулевых строк матрицы после ее привдения к треугольному илитрапецивидному виду. Т(Кронекер-капелли) система линейных уравнений совместатогда и только тогда, когда ранг матрицы системы = рангу расширенной матрицысистемы, т.е. r(A)=r(неA) Критерий существованиянетривиальных решении. 1)однородная система линейных уравнений имеетединственное решение V ранг матрицы системы = числу неизвестных r(A)=n;2)однородная система имеет хотя бы 1 нетривиальное значение. Линейныеоперации над векторами. 1)произведением вектора а на число t назвектор ta, направление d совпадает с направлением вектора а, if t>0, ипротивоположное if t<0 Т. Не0 векторы а и вколлинеарны V, if сущ число t, такое что а=tв Д.if векторы а и в коллинеарны, то имея общую они будут иметь и общую линиюдействияèt=|а|/|в|or -|а|/|в| в зависимости сонаправлены векторы or нет. Единственность tочевидна: при умножении вектора в на разн числа получаются разл векторы. О.суммой а+в векторов наз диагональ треугольника or пар-мма. Св-ва1)a+b=b+a 2)(a+b)+c= a+(b+c) 3)a+0=a 4) a+(-a)=0 5)1*a=a6)λ(μ*a)=(λ*μ)*a; 7) (λ+μ)*a=λ*a+μ*a 8)λ(a+b)=λa+ λb. В математике принято называть линейным(или векторным пространством всякое множество, если 1) наэлементах множества определены две операции: одн; из них, называемая суммой элементов,любым двум элемеитам мно жества ставит в соответствие по некоторому правилутретий элемен' этого множества, а вторая, называемая произведением на число,каж дому элементу множества и всякому числу ставит в соответстви(определенный элемент множества; 2) эти операции обладают всемивосьмью свойствами, пере численными выше. Линейнаянезависимость и линейная зависимость векторов. О.векторы а1, а2, аn наз линейно независимыми if 0 =только их травиальная линейнаякомбинация О. векторы а1, а2, аn наз линейно зависимыми if сущ хотя бы 1нетривиальная линейная комбинация этих векторов = 0. Т. Векторы а1, а2,аn будут линейно зависимыми if среди них имеется хотя бы 1 нулевой вектор. Д.Действительно, считая равными нулю коэффициенты линейнойкомбинации этих векторов перед ненулевыми векторами и отличными от нуля переднулевыми векторами, получим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию этихвекторов. Т if среди векторов а1, а2, ..., ап имеется хотя бы 2 линейно-зависимыхвектора, то тогда и все эти векторы будут линейно зависимыми.Д. Выделимсреди рассматриваемых векторов линейно зависимые векторы исоставим из них равную нулю нетривиальную линейную комбинацию.Если к ней присоединить любую тривиальную комбинацию оставшихся векторов, тополучим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию уже всех векторов.Поэтому они линейно зависимы Т. векторы а1, а2, аn линейнозависимы V 1 из них может быть разложен по оставшимся векторам. Единственностьразложения вектора по базису. Д. Предположим что это не так ивозможны 2 разных разложения вектора а по базису ē1,ē2,ēn. Пусть ā=а1 ē1+…+an* ēnā=b1 ē1+…+bn* ēnè(a1-b1) ē1+…+(an-bn)ēn=0Векторы базиса по определению линейно независимы, поэтому нулюможет равняться только их тривиальная линейная комбинация, то есть все еёкоэффициенты должны быть нулями. Это возможно только в том случае, если a1=b1…an=bn. Значитневерно предположение о том, что разложение вектора по базису не единственно. Угломмежду двумя векторами будем называть тот угол между ними, которыйне превосходит П. Прямую линию с заданным на ней направлением называют осью. Обычноось задается вектором, с линией действия и направлением которого онасовпадает. Ось, задаваемую вектором а, будем называть осью а. Пустьпроизвольно заданы вектор АВ и ось b. Обозначимбуквами А` и В' основания перпендикуляров, опущенных на ось bсоответственно из точек А и В. Проекцией вектора АВ наось b(символическое обозначение прbАВ) называют число, равное |А'В'|, еслинаправления вектора А'В' и оси b совпадаюти равное — |А'В'|, если эти направленияпротивоположны. Проекцию вектора а на ось, определяемую вектором b, будемназывать проекцией вектора а на вектор b.Cв-ва: 1. прва — а •соs α, где α — угол междувекторами а и b ;2. прва не зависит от b; 3. декартовы координаты вектора равны проекциям этого вектора насоответствующие базисные вектора i, j, k.Скалярное произведение векторов. Наз число= произвед длин этивекторов на cоs угла между ними