Реферат: Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1 ,p2 ).

А1 — аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e, d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства:

D q = qÙW, DW=WÙW=0.

Пусть e* — относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2 `e + 1/6d3 `e +… по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+… Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e, по отношению к `e.

Пусть R(p1 ,p2 ) – пространство всех пар (p1 ,p2 )точек p1 ,p2 прямой А1. Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р1 р2, а конец вектора `е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом, в репере r структурными формами пространства R(р1, р2 ) являются формы Пфаффа: W+q, -W+q.

Очевидно, что dim R(p1 ,p2 ) =2. Заметим, что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1 *р2 *, близкого к р1 р2, по отношению к р1 р2 .

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость, отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` ej }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp =Wj ej; d ` ej =Wjk ;

DWj =Wk ^Wkj; DWj =Wjy ^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А2 в пространстве R(p1 ,p2 ):f:A2 ® R(p1 ,p2 ).

Будем считать, что в каждой точке области определения отображения f выполняется: rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1 (p1 ,p2 ). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q +W= l j Wj; Q-W= m j Wj (2)

Из (1) вытекает, что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1 ,p2 ) ® A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l k l j + m k m j = d j k

l j l j =1

m j m j =1 (*)

l j m j =0

m j l j =0

Указанную пару {r;R } реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λj Wj -W-Q)=0 ,

получаем:

dλj =λk Wjk +1\4(λj μk -λk μj )Wk +λjk Wk

D(μj Wj +W-Q)=0

получаем :

dμj =μk Wjk +1\4(λj μk -λk μj )Wk +μjk Wk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λj Wj

Q-W=μj Wj

dλj =λk Wjk +1\4(λj μk -λk μj )Wk +λjk Wk

dμj =μk Wjk +1\4(λj μk -λk μj )Wk +μjk Wj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1 = {λj ,μj } является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλk ^Wjk +λk dWjk +1\4(λjμk -λk μj )^Wk +1\4(λj μk -λk μj )dWk +dλjk ^Wk +λjk dWk =0 .

получим:

(dλjt -λkt Wjk -λjk Wtk +1\4(λk μjt -μk λjk )Wk +1\16λt μk (λj -μj )Wk )^Wt =0

dμk ^Wjk +μk dWjk +1\4d(λj μk -λk μj )^Wk +1\4(λj μk -λk μj )dWk +dμjk ^Wk +μjk dWk =0

получим:

(dμjt -μkt Wjk -μjt Wtk +1\4(λk μjt -μk λjt )Wk +1\16λt μk (λj -μj )Wk )^Wt =0

обозначим:

λ j =dλj -λt Wjt

μj =dμj -μt Wjt

λjk =dλjk -λtk Wkt -λjt Wkt

μjk =dμtk Wjt -μjt Wkt

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λj Wj

Q-W=μj Wj

dλj =λk Wjk +1\4(λj μk -λk μj )Wk +λjk Wk

dμj =μk Wjk +1\4(λj μk -λk μj )Wk +μjk Wk (4)

λjk =(1\4(μα λjk -λα μjk )+1\16λk μα (μj -λj )+λjkα )Wα

μjk =(1\4(μα λjk -λα μjk )+1\16λk μα (μj -λj )+μjkα )Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2 = {λj ,μj ,λjk ,μjk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р:

ГР = {λj ,μj ,λj1j2 ,μj1j2 ,...,λj1j2...jp ,μj1j2...jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λj },{μj } образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λj Xj =1; μj Xj =1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λj ,μj } являются компонентами матрицы, обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом, величины {λj ,μj } охватываются объектом Г1 .

Из (*) получаем:

dλj =-λk Wkj -1\4(λj +μj )μt Wt -λkt λk λt Wt -μkt Wt ^λk μj

dμj =-μk Wkj -λkt μk λj Wt -μkt μk μj Wt +1\4λt (λj +μj )Wt

Таким образом, система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1 =λj ej (вектора v2 =μj ej ) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λj Xj =0, μj Xj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λj } и {μj } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λj Xj =1

V2

V1 μj Xj =1

Система величин ρj =λj -μj образует ковектор: dρj =ρk Wjk +(μjk -λjk )Wk .

Определяемая им прямая ρj Xj =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .

Пусть W -однородное подмногообразие в R(p1 ,p2 ) содержащее элементы (р1, р2 ) определяемое условием: (р1*, р2* ) ∈ W↔p1* p2* =p1 p2.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1 (W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p1* ,p2* ) ∈ W и p1* =p1 +dp1 +1\2d2 p1 +… ,

p2* =p2 +dp2 +1\2d2 p2 +... .

Тогда в репере Г: p1* p2* =e p1 p2, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1* р2* по отношению к р1 р2. Таким образом, (р1* р1* ) ∈ W↔ W=0 .

Из (2) получим: W=ρ1 Wj

Следовательно, (р1* р2* ) ∈ W равносильно ρ j Wj =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р1, р2 ) ∈ R(p1 p2 ) определяется функция h :(p1* p2* ) ∈ h(p1 p2 )→e ∈ R, так, что р1* р2* =е р1 р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1 (W) является линией уровня функцииh. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf-1 (W) .

]W1 ,W2 — одномерные многообразия вR(p1 p2 ), содержащие элемент (р1 р2 ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p1* ,p2* ) є W1 ↔p2* =p2 .

(p1* ,p2* ) є W2 ↔p1* =p1 .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW2 (многообразияW1 ) при отображенииf .

Дифференциальные уравнения линииf-1 (W1 ) иf-1 (W2 ) имеют соответственно вид:

λj Wj =0

μj Wj =0 .

Пусть W0 — одномерное подмногообразиев R(p1 p2 ), содержащее (р1 р2 ) и определяемое условием: (p1* p2* ) є W0↔Q*=Q, где Q* – середина отрезка р1* р2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая(λj +μj )X-j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1 (W0) многообразияW0 при отображенииf. Дифференциальное уравнение линииf-1 (W0) имеет вид:(λj +μj )Wj =0 .

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf-1 (W1 ), f-1 (W2 ), f-1 (W), f-1 (W0) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f .

Рассмотрим отображения:

П1: (р1, р2 ) ∊ R(p1 ,p2 )→p1 ∊ A1 (5.1)

П2: (р1, р2 ) ∊ R(p1 ,p2 )→p2 ∊ A1 (5.2)

Отображение f: A2 →R(p1 ,p2 ) порождает точечные отображения:

φ1 = П1 ∘ f: A2 →A1 (5.3)

φ2 = П2 ∘ f: A2 →A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2 = { λ j ,λjk } и Г2,2 = {μj ,μjk } объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2 .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λj Xj +1/2λjk Xj Xk +1/4λy ρk Xj Xk +<3>, (5.5)

y=-1+μj Xj +1/2μjk Xj Xk +1/4μy ρk Xj Xk +<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λjk =λjk +1/4(λj ρk +λk ρj ),

Μjk =μjk +1/4(μj ρk +μk ρj )

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λj Xj +1/2Λjk Xj Xk +<3> (5.7)

y=-1+μj Xj +1/2Μjk Xj Xk +<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:

λ1 λ2 1 0

=

μ1 μ2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1 +1/2Λjk Xj Xk +<3> (5.9),

y=-1+X2 +1/2Μjk Xj Xk +<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk =1/2(λj μk +λk μj )

Из (3.1) получим:

dGjk =1/2(dλj μk +λj μk +dλk μj +λk dμj )=1/2(μk λt Wjt +1/4λj μk μt Wt -1\4μk μt λt Wt +μk λjt Wt +λj μt Wkt +

+1/4λj λk μt Wt -1/4μj λk μt Wt -1/4μj λt μk Wt +μj λkt Wt +λk μt Wjt +1/4λk λj μt Wt -1/4λk λt μj Wt +

+λk μjt Wt ),

dGjk =1/2(μk λt +λk μt )Wjt +1/2(λj μt +λt μj )Wkt +Gjkt Wt ,

где Gjkt =1/2(μk λjt +λy μkt +μj λkt +λk μjt -1/2μj μk λt +1/2λj λk μt -1/4λj μk λt +1/4λj μk μt +1/4μj λk μt -

-1/4μj λk λt ) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G :

dS2 =Gjk Wj Wk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS2 =θ2 -W2 (6.5) в R(p1 ,p2 ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением Gjk Wj Wk =0 или

λj Wj μk Wk =0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек ( x,U ) и ( y,U’ ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU’ )

Теорема: Метрика dS2 =θ2 -W2 совпадает с метрикой Розенфельда.

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1 ,p2 ,p1 +dp1 ,p2 +dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+ W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS2 =θ2 -W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гljk =1/2Gtl (Gtkj +Gjtk -Gjkt )

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2 = {λj ,μj ,λjk ,μjk }.

Онопределяется формулой: Г l jk =λj Λjk +μl Μjk -λl λt λk +μl μt μk .

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjk =λj λk +μj μk (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk =dλj λk +dλk λj +dμj μk +dμk μj =λk λt Wjt +1/4λk λj μt Wt -1/4λj λt μj Wt +λk λjt Wt +λj λt Wkt +

+1/4λj λk μt Wt -1/4λj λt μk Wt +λj λkt Wt +μk μt Wjt +1/4μk λj μt Wt -1/4μk λt μj Wt +μk μjt Wt +

+μj μt Wkt +1/4μj λk μt Wt -1/4μj λt μk Wt +μj μkt Wt .

dgjk =(λk λt +μk μt )Wjt +(λj λt +μj μt )Wkt +gjkt Wt, (7.2)

где gjkt =1/2λj λk μt -1/2μj μk λt -1/4λk λt μj -1/4λj λt μk +1/4λj μk μt +1/4μj λk μt +λk λjt +λj λkt +

+μk μjt +μj μkt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g :

dS2 =gjk Wj Wk (6’ .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика ( 6’ .4) соответствует при отображении f метрике:

dS2 =2(θ2 +W2 ) (6’ .5)

в R(p1 ,p2 )

Из (6’ .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6’ .6)

или (λj Xj )2 +(μj Xj )2 =1 (6’ .7)

Из (6’ .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .

V1

V2 рис.3.

Пусть gjk =λj λk +μj μk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjt gtk =(λj λt +μj μt )(λt λk +μt μk )=λj λk +μj μk =δkj (6’ .9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λj } (вектора {μj } )соответствует в метрике g полю основного ковектора {λj } (ковектора {μj } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λj λk gjk =λj λk λj λk +λj λk μj μk =1 ,

μj μk gjk =μj μk λj λk +μj μk μj μk =1 ,

λj μk gjk =λj μk λj λk +λj μk μj μk =0 .

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства ( A2 ,gf ).

В работе <2> был построен охват объекта

γjkl =1/2gtl (gtkj +gjtk -gjkt )

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г2 = {λj ,μj ,Λjk ,Μjk }

Он определяется формулой:

γ jk l =λl Λjk +μl Mjk +Gjk (λl -μl )+1/2(λl +μl )(μj μk -λj λk ) ,

где Gjk =1/2(λj μk +λk μj ).