Реферат: Теория вероятностей

Основы комбинаторики.

Комбинаторика этораздел математики в котором изучается вопрос о том  сколько различныхкомбинаций  подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечногочисла различных элементов.

Комбинацииотличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком называютсясоединениями различают три вида соединений.

Размещенияминазываются соединения составленные из n-различных элементов по m-элементам, которыеотличаются друг от доуга либо составом эл-тов либо их порядком.

/>

Перестановки называютсоединения составленные из одних и тех же n-элементов, которыеотличаются друг от друга только их порядком размещения

/> 

/>

Сочетаниями называютсясоединения составленные из n-различных элементов по m-элементам, которыеотличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

/>

Сочетания сповторениями это такие соединения состоящие из n-различных элементовпо m-элементамотличающиеся друг от друга или хотя бы одним элементом или тем что хотя бы одинэлемент входит различное число раз

/>

Правило суммы

Если некоторый объектА может быть выбран из совокупности объектов М способами, а объект В N способами, то выборлибо объекта А либо объекта В может быть осуществлен М+N способами.

Правило произведения

Если объект А можетбыть выбран из совокупности объектов М способами, а после такого выбора объектВ может быть выбран N способами, то пара объесков А и В могут быть выбраныА*В способами.

Основные понятиятеории вероятностей

Событием называетсялюбой исход опыта, различают следующие виды событий:

-     случайные

-     достоверные

-     невозможные

Понятие достоверного иневозможного события используется для количественной оценки возможностипоявления того или иного явления, а с количественной оценкой связанавероятность.

События называется несовместнымив данном опыте если появление одного из них исключает появление другого.

События называется совместнымиесли появление одного из них не исключает появление остальных.

Несколько событийобразуют полную группу событий если в результате опыта обязательнопоявится хотя бы одно из них.

Если два несовместныхсобытия образуют полную группу они называются противоположными

События называется равновозможнымиесли появление ни одного из них не является объективно более возможным чемдругие.

События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.

Случаями называютсянесовместные равновозможные и образующие полную группу события.

Вычислениевероятностей

1.    классический способ

2.    геометрический

3.    статистический

Первые два способаназываются способами непосредственного подсчета вероятности, а классическийоснован на подсчете числа опытов  благоприятствующих данному событию среди всехего возможных исходах.

Основы теориивероятности

Суммой событий Аiназывается событие С состоящеев появлении события А или события В или их обоих вместе.

Суммой события А и Вназывается событие С заключенное в выполнении хотя бы одного из названыхсобытий.

Произведениемнескольких событий называется событие заключающееся в совместном выполнениивсех этих событий.

Теорема умножениявероятностей.

Событие А называетсязависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от тогопроизошло событие В или нет.

Для независимыхсобытий условная и безусловная вероятность совпадают.

Вероятность появлениядвух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них навероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)

Вероятностьпроизведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событийпричем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что всепредыдущие имели место.

Р(А1; А2…Аn)=Р(А1)*Р(А2/А1)*…

                         *Р(Аn/А1, А2…Аn-1)

Теорема сложениявероятностей совместных событий

Вероятность суммы двухсовместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности ихсовместного появления.

Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Вероятность появленияхотя бы одного события

Вероятность появлениясобытия А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимыхсовокупностей событий.А1, А2…Аn равна разностимежду единицей и произведением вероятности противоположных событий А1, А2…Аn

Р(А)=1-q1*q2*…*qn

Формула полнойвероятности

Пусть событие А можетпоявиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместныхсобытий Н1, Н2…Нn называемых гипотезами, тогдавероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждойгипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

/>

Формула Бейса

Пусть имеется полнаягруппа попарнонесовместных гипотез Н1, Н2…Нn сизвестными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилосьнекоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, чтособытие А произошло

/> 

Повторение опытов

Несколько опытовназываются независимыми, если вероятность одного или иного из исходов каждогоих опытов не зависит от того какие исходы имели другие опыты. 

Теорема. Если производится n независимых опытов вкаждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем тотогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз определяется поформуле.

Формула Бернули

  />

формула Бернулиприменяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появлениядостаточно велики.

Если число испытаний n стремится к 0, авероятность появления события А в каждом из опытов р стремится к 0, то дляопределения вероятности появления события А ровно m раз применяютформулуПуассона

/>       a=n*p

Если число опытовдостаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждомопыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа

Локальная теоремаЛапласа. Вероятностьтого, что в n независимыхиспытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, тоэто событие наступает ровно m раз приблизительно равна

/>

Интегральная теоремаЛапласа.Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом  из которыхвероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступитне менее m1 раз и не более m2 раза<sub/>приблизительноравно

/>

Случайные величины изаконы их распределения

Опытом называетсявсякое осуществление определенных условий и действий при которых наблюдаетсяизучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать качественно и количественно.

Случайной называетсявеличина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение.,причем заранее не известно какое именно. Случайные величины принято обозначать(X,Y,Z), а соответствующие имзначения (x,y,z)

Дискретныминазываются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения,которые можно переоценить.

Непрерывными величины возможныезначение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон.

Законом распределенияслучайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь междувозможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности.

Ряд и многоугольникраспределения.

Простейшей формойзакона распределения дискретной величины является ряд распределения.

 Графическойинтерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.

Функция распределенияслучайной величины.

Для непрерывныхслучайных величин применяют такую форму закона распределения, как функцияраспределения.

Функция распределенияслучайной величины Х, называется функцией аргумента х,  что случайная величинаХ принимает любое значение меньшее х (Х<х)

F(х)=Р(Х<х)

F(х) — иногда называютинтегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределенияобладает следующими свойствами:

1.    0<F(х)<1

2.    если х1>х2, то  F(х1)>F(х2)

3.    />

функция может бытьизображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет криваяизменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины — ступенчатаяфигура со скачками.

С помощью функциираспределения легко находится вероятность попадания величины на участок отα до β

Р(α<х<β) рассмотрим 3события

А — α<Х

В — α<Х<β

С — Х<β

С=А+В

Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(α<х<β)=Р(α)-Р(β)

Плотностьраспределения вероятности непрерывной случайной величины.

Плотностьраспределения вероятности непрерывной случайной величины Х называется функция f(х) равная первойпроизводной от функции распределения F(х)

График плотностираспределения называется кривой распределения. 

Основные свойстваплотности функции распределения:

1.    f(х)>0

2.    /> 

Характеристикиположения случайной величины.

Модой (Мо) случайной величины хназывается наиболее вероятное ее значение. Это определение строго относится кдискретным случайным величинам.

Для непрерывнойвеличины модой называется такое ее значение для которого ф-ция плотностираспределения имеет максимальную величину.

Медианой (Ме) случайной величиныназывается такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньшеэтого значения.

Для непрерывнойслучайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривойраспределяется пополам.

Для дискретнойслучайной величины значение медианы зависит от того четное или нечетноезначение случайной величины

n=2k+1, то Ме=хк+1 (среднее по порядкузначение)

Если значениеслучайных величинчетное,т.е  n=2k,то />

Математическоеожидание случайной величины.

Математическиможиданием случайной величины х (M[x])называется средне взвешенно значениеслучайной величины причем в качестве весов выступают вероятности появления техили иных значений.

Для дискретнойслучайной величины

/>

Для непрерывной

/>

С механической точкизрения мат. Ожидание это абсцисса центра тяжести системы точек расположенных поодноименной оси. Размерность мат. Ожидания совпадает с размерностью самойслучайной величины.

Математическоеожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньшенаибольшего.

Характеристики рассеяния.

Дисперсия

Дисперсия (D[x]) характеризуетрассеивание или разряженность  случайной величины около ее математическогоожидания.

Для дискретных/>

Для непрерывных

/>

Дисперсия случайнойвеличины всегда величина положительная

Размерность дисперсииравна квадрату разности случайной величины

Среднеквадратическое (стандартное)отклонение.

 />

Некоторые законыраспределения случайных величин.

Для дискретных случайныхвеличин — биномиальное распределение и распределение Пуассона

Для непрерывных — равномерное показательное, экспоненциальное и нормальное распределение.

Биномиальноераспределение.

Биномиальным называютзаконы распределения случайной величины Х числа появления некоторого события  вn опытах есливероятность р появления события в каждом опыте постоянна

/>

Сумма вероятностейпредставляют собой бином Ньютона

/>

Для определениячисловых характеристик в биномиальное распределение подставить вероятностькоторая определяется по формуле Бернули.

/>

/>

При биномиальномраспределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на вероятностьпоявления события в отдельном опыте.

Распределение Пуассона

Когда требуетсяспрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число ипроизводительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновскимназывают закон распределения дискретной случайной величины Х числа появлениянекоторого события в n-независимыхопытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется поформуле.

 />      a=np

n-число проведенныхопытов

р-вероятностьпоявления события в каждом опыте

В теории массовогообслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле

а=λt, где λ — интенсивностьпотока сообщений t-время

Необходимо отметить,что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального,когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события вкаждом опыте стремится к 0.

/> 

Пуассоновскоераспределение является единичным распределением для которого такиехарактеристики как мат. Ожидание и дисперсия совпадают и они равны параметруэтого закона распределения а.

Закон равномернойплотности

Равномерным называетсяраспределение непрерывной случайной величины Х все значения которой лежат наотрезке [a;b] и имеют при этомпостоянную плотность распределения

/>

площадь под кривойраспределения равна 1 и поэтому с(в-а)=1

/>

вероятность попаданияслучайной величины Х на интервал от (α;β)

/>

α=а, если α<а

β=в, если β>в

основные числовыехарактеристики закона распределения плотности вычисляются по общим формулам иони равны

/>

Показательное(экспоненциальное распределение)

Показательным называютраспределение непрерывной случайной величины Х которое описывается следующейдифференциальной функцией

/>

Экспоненциальноераспределение для непрерывных случайных величин является аналогом распределенияПуассона для дискретных случайных величин и имеет следующий вид.

/>

 вероятность попаданияслучайной величины Х на интервал (α;β)

/>

Следует отметить, чтовремя безотказной работы удовлетворяется именно показательному закону, апоэтому это понятие часто используется в понятии надежности.

Нормальный законраспределения (закон Гаусса)

Нормальным называетсяраспределение случайной величины Х если ф-ция плотности распределения

/>

/>

Полученное выражениечерез элементарные функции не может быть выражено, такая функция так называемыйинтеграл вероятности для которой составлены таблицы, чаще всего в качестветакой функции используют

/>

/>

Часто по условиюзадачи необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х научасток симметричный математическому ожиданию.

/>

Правило трех сигм этоправило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы онормальном распределении случайной величины.