Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Министерствообразования Российской Федерации

Государственноеобразовательное учреждение

высшегопрофессионального образования

«Самарскийгосударственный университет»

механико-математическийфакультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

специальность прикладная математика

Существование решениядифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсоваяработа

Выполнил студент

2 курса 1222 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

__________

работа защищена

«___»___________200_г.

Оценка _______________

зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования иединственности решения уравнения

Пустьдано уравнение

/>

сначальным условием

/>

Пустьв замкнутой области R />функции/>и />непрерывны). Тогда нанекотором отрезке />существуетединственное решение, удовлетворяющее начальному условию />.

Последовательные приближения определяются формулами:

/> /> k = 1,2....

Задание №9

Перейтиот уравнения

 

/>

 ксистеме нормального вида и при начальных условиях

/>, />, />

построитьдва последовательных приближения к решению.

Произведемзамену переменных

/>; />

 иперейдем к системе нормального вида:

/>

Построимпоследовательные приближения

/>       

/>

Задание №10

Построитьтри последовательных приближения /> крешению задачи

/>,/>

Построимпоследовательные приближения

/>

/>

Задание №11

а)Задачу

/>,/>

свестик интегральному уравнению и построить последовательные приближения />

б)Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, идоказать их равномерную сходимость.

Сведемданное уравнение к интегральному :

/>

/>

/>

Докажемравномерную сходимость последовательных приближений

Спомощью метода последовательных приближений мы можем построитьпоследовательность

/>

непрерывныхфункций, определенных на некотором отрезке />,который содержит внутри себя точку />. Каждаяфункция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

/> />i= 0, 1, 2 …

Если график функции /> проходитв области Г, то функция /> определенаэтим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция />, нужно, чтобы и графикфункции /> проходил в области Г. Этогоудается достичь, выбрав отрезок />достаточнокоротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка />,можно достичь того, чтобы для последовательности /> выполнялисьнеравенства:

/>, i = 1, 2, …,

где 0 < k< 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

/>,i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию надостаточно малом отрезке, содержащим />,например, на />. На этомпромежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями.Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию отбесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, товыполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

/>

что и является условием равномерной сходимостипоследовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется />, что также совершенноочевидно. А так как последовательность /> сходится,то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этомотрезке.

Список использованной литературы

1.  Л.С. Понтрягин. «Обыкновенныедифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математическойлитературы, 1961

2.  А.Ф. Филиппов «Сборник задач подифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

3.  О.П. Филатов «Лекции пообыкновенным дифференциальным уравнениям», Самара: Издательство «Самарскийуниверситет», 1999

4.  А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева«Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998

еще рефераты
Еще работы по математике