Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Министерствообразования Российской Федерации
Государственноеобразовательное учреждение
высшегопрофессионального образования
«Самарскийгосударственный университет»
механико-математическийфакультет
кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
специальность прикладная математика
Существование решениядифференциального уравнения и последовательные приближения
Курсоваяработа
Выполнил студент
2 курса 1222 группы
Труфанов Александр Николаевич
Научный руководитель
Долгова Ольга Андреевна
__________
работа защищена
«___»___________200_г.
Оценка _______________
зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.
Соболев В.А.
Самара 2004
Теорема существования иединственности решения уравнения
Пустьдано уравнение
/>
сначальным условием
/>
Пустьв замкнутой области R />функции/>и />непрерывны). Тогда нанекотором отрезке />существуетединственное решение, удовлетворяющее начальному условию />.
Последовательные приближения определяются формулами:
/> /> k = 1,2....
Задание №9Перейтиот уравнения
/>
ксистеме нормального вида и при начальных условиях
/>, />, />
построитьдва последовательных приближения к решению.
Произведемзамену переменных
/>; />
иперейдем к системе нормального вида:
/>
Построимпоследовательные приближения
/>
/>
Задание №10Построитьтри последовательных приближения /> крешению задачи
/>,/>
Построимпоследовательные приближения
/>
/>
Задание №11а)Задачу
/>,/>
свестик интегральному уравнению и построить последовательные приближения />
б)Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, идоказать их равномерную сходимость.
Сведемданное уравнение к интегральному :
/>
/>
/>
Докажемравномерную сходимость последовательных приближений
Спомощью метода последовательных приближений мы можем построитьпоследовательность
/>
непрерывныхфункций, определенных на некотором отрезке />,который содержит внутри себя точку />. Каждаяфункция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства
/> />i= 0, 1, 2 …
Если график функции /> проходитв области Г, то функция /> определенаэтим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция />, нужно, чтобы и графикфункции /> проходил в области Г. Этогоудается достичь, выбрав отрезок />достаточнокоротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка />,можно достичь того, чтобы для последовательности /> выполнялисьнеравенства:
/>, i = 1, 2, …,
где 0 < k< 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
/>,i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию надостаточно малом отрезке, содержащим />,например, на />. На этомпромежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями.Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию отбесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, товыполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:
/>
что и является условием равномерной сходимостипоследовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется />, что также совершенноочевидно. А так как последовательность /> сходится,то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этомотрезке.
Список использованной литературы1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенныедифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математическойлитературы, 1961
2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач подифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
3. О.П. Филатов «Лекции пообыкновенным дифференциальным уравнениям», Самара: Издательство «Самарскийуниверситет», 1999
4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева«Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998