Реферат: Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел,называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называетсярасходящейся.

Определение:   Последовательность {xn}называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называетсяпределом последовательности {xn}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечномалая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейсяпоследовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся,если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn этой последовательностиудовлетворяют неравенству:

               |xn-a|<e.

При этом число а называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихсяпоследовательностей:

ТЕОРЕМА:Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности{xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xnсходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+an, xn=b+bn, где an и bn –элементы бесконечно малых последовательностей {an} и {bn}.

Вычитая данные соотношения, найдем an-bn=b-a. Таккак все элементы бесконечно малой последовательности {an-bn} имеютодно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементыбесконечно малой последовательности {an} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е.b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА:Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {xn} — сходящаяся последовательностьи а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

               xn=а+an,

где an — элементбесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малаяпоследовательность {an}ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), тонайдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |an|£А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченностьпоследовательности {xn}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не бытьсходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … — ограничена, но неявляется сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторомучислу а, то каждая из последовательностей  {xn-a} и {xn+1-a}являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малыхпоследовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a)– (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечномалой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любогономера n.

ТЕОРЕМА:Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} естьсходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределовпоследовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределыпоследовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

               xn=а+an,        yn=b+bn,

где {an} и {bn) –бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn)- (а + b) =an+bn.

Таким образом, последовательность {(хn + yn)- (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn}сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА:Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} естьсходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей{хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственнопределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

               xn=а+an,        yn=b+bn,

где {an} и {bn) –бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn — yn)- (а — b) =an-bn.

Таким образом, последовательность {(хn — yn)- (а — b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn — yn}сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА:Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn}есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределовпоследовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределыпоследовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+an,            yn=b+bn и xn×yn=a×b+a×bn+b×an+an×bn. Следовательно,

               xn×yn-а×b=a×bn+b×an+an×bn.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечномалую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn+b×an+an×bn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn×yn-а×b}тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn×yn} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

ЛЕММА:Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноляпредел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность />, которая являетсяограниченной.

Доказательство: Пусть />. Так какb¹0, то e>0. Пусть N –номер, соответствующий этому e, начиная с котороговыполняется неравенство:

               |yn-b|<e или |yn-b|</>

из этого неравенства следует, что при n³Nвыполняется неравенство |yn|>/>.Поэтому при n³N имеем />.Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматриватьпоследовательность />, и этапоследовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА:Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаясяпоследовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей{xn} и {yn}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная снекоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны отноля  и последовательность /> ограничена.Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность />. Пусть а и b – пределыпоследовательностей {xn} и {yn}. Докажем, чтопоследовательность /> бесконечно малая.В самом деле, так как xn=а+an,            yn=b+bn, то

               />/>.
Так как последовательность /> ограничена,а последовательность /> бесконечно мала,то последовательность /> бесконечномалая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметическиеоперации над сходящимися последовательностями приводят к таким жеарифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА:Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная снекоторого номера, удовлетворяют неравентству xn³b (xn£b),то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).

Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мереначиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – пределпоследовательности {xn}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство

               |xn-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

               -(b-a)<xn-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b,а это противоречит условию теоремы. Случай xn£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {xn}могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этомпредел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0,однако />.

Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихсяпоследовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторогономера, удовлетворяют неравенству xn £уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

               />.

Элементы последовательности {yn-xn}неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел />.Отсюда следует, что

               />.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£xn£b,то a£c£b.

ТЕОРЕМА:Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющиеобщий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементыпоследовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn£yn£zn.Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} являетсябесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняютсянеравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будутвыполнятся также неравенства xn-а £yn-а £ zn-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn-a}удовлетворяют неравенству

               |yn-a| £ max {|xn-a|, |zn-a|}.

Так как /> и />, то для любого e>0 можно указать номера N1  и N2такие, что при n³N1  |xn-a|<e, а при n³N2 |zn-a|<e. Итак последовательность {yn-a} бесконечномалая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяютэлементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующиенеравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

1.   Последовательность /> сходится и имеет своимпределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, посвойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число ne, что ne>/>. Поэтому /> для всех n³ne, а этоозначает, что />.

2.   Последовательность /> сходится и />, что следует из того, что

/>,и того, что />.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА№ 1

Пусть числовая последовательность а1,а2, а3, … удовлетворяет условию

                              />         (m, n = 1, 2, 3, …),

тогда последовательность

                              />,…

должна либо расходиться к />, причем предел этойпоследовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete.Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и />a+e. Всякое целое числоn может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.Полагая единообразие а0=0, имеем:

an=aqm+r£am+am+…+am+ar=qam+ar,

/>,

/>

ЗАДАЧА№ 2

Пусть числовая последовательность а1,а2, а3, … удовлетворяет условию

                              />

тогда существует конечный предел

                              />,

причем

                              />  (n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1получаем:

                             />                                                                                 (*)

Ряд

/>

сходится, ибо в силу неравенства (*) онмажорируется сходящимся рядом:

                             |a1|+2-1+2-2+2-3+…

запишем целое число n по двоичной системе:

                 n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em                    (e1, e2, …, em = 0 или 1)

согласно предположению

                             />

                 />.

Применяя теорему (1) для данных:

                 s0=0,   s1=/>,            sm-1=/>,      sm=/>, …,    pn0=0, pn1=/>, …, pn, m-1=/>, 

/>,            pn,m+1=0, …,

заключаем, что />.Наконец, в силу (*) имеем:

/>.

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда,не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится кнулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним иверхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточнорассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn,… ограничены. Пусть />, />, l -  целое положительноечисло, l>2 и />.

Разобьем числовуюпрямую на l интервалов точками

                 -¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.

Выберем такое N,чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<d. Пусть, далее, sn1(n1>N)  лежит в первом интервале и sn2 (n2>n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности /> не смогут “перепрыгнуть” ниодин из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когдапоследовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть дляпоследовательности t1, t2, …, tn, …существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел />…, что для каждого n

                                   />.

Тогда числа t1, t2, …, tn, …лежат всюдуплотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в скольугодно большом удалении конечные последовательности />,произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к еенижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v1,v2, …, vn, … — положительные числа, v1 £ v2 £ v3 …Совокупность предельных точек последовательности

                             />, …

заполняет замкнутыйинтервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится кпределу).

РЕШЕНИЕ:

                                    />

ЗАДАЧА № 6

Числоваяпоследовательность, стремящаяся к />, имеетнаименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы низадали, слева от него будет находиться лишь конечное число членовпоследовательности, а среди конечного множества чисел существует одно илинесколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаясяпоследовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот идругой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней гранейрассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому ониразличны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от пределапоследовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему,члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l1,l2, l3, …, lm, … — последовательностьположительных чисел и />, тогда существуетбесконечно много номеров n, для которых ln меньше всехпредшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3,…, ln-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целоеположительное число m и h – наименьшее изчисел l1, l2, l3, …, lm; h>0. Согласнопредположению в рассматриваемой последовательности  существуют члены, меньшечем h. Пусть n –наименьший номер, для которого ln<h. Тогда:

                             n>m; ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.

ЗАДАЧА № 9

Пусть l1,l2, l3, …, lm, … — последовательностьположительных чисел и />, тогда существуетбесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующиеза ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…

ЗАДАЧА№ 10

Пусть числовые последовательности

                             l1, l2,l3, …, lm, … (lm>0),

                             s1, s2, s3, …, sm, … (s1>0, sm+1>sm,m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

                             />, />.

Тогда существуетбесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

                             ln>ln+1,            ln>ln+2,             ln>ln+3,…

                             lnsn>ln-1sn-1,lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть lm «выступающим»членом последовательности, если lm больше всех последующих членов.Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно многовыступающих членов; пусть это будут:

                             />,…   />

Каждый невыступающий член lvзаключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающимичленами, скажем nr-1<v<nr. Имеем последовательно:

                             />,

значит

                             />                                                                                                      (*)

отсюда заключаем, что

                             />

Действительно, впротивном случае />, значит, в силу(*) и вся последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены,что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число mи h – наименьшее изчисел />,…; h>0. Согласнопредположению в рассматриваемой последовательности  существуют члены, меньшечем h. Пусть k –наименьший номер, для которого /><h. Тогда:

                             k>m; />.

ЗАДАЧА № 11

Если числоваяпоследовательность />,… стремится к /> и А превышает ее наименьшийчлен, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений

                                   />
все не больше А, а бесконечное множество отношений

                                   />,…
все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем />. Пусть минимумпоследовательности

                                         L0-0, L1-A,  L2-2A, L3-3A, …

Будет Ln-nA;тогда

                                         Ln-u-(n-u)A³ Ln-nA;              Ln+v-(n+v)A³ Ln-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2,3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительночисловой последовательности l1, l2, l3, …, lm,… предполагается лишь, что

                                   />.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременновыполняются все неравенства

                                   />

                                                           />.
Если А®¥, то также n®¥.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

                             l1+l2+l3+…+lm=Lm,     m=1,2, 3, …; L0=0.

Так как L1-A<0,то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1³A; поэтому ln+1,а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числоваяпоследовательность l1, l2, l3, …, lm,… удовлетворяет условиям

                                   />,         />

Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременновыполняются все неравенства

                       />

                                                                                                                       />.
Если А®0, то также n®0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

                             l1+l2+l3+…+lm=Lm,     m=1,2, 3, …; L0=0.

Тогда />. Последовательность

                             L0-0, L1-A,  L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

стремится к -¥. Пусть ее наибольшийчлен будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будутвыполняться для этого номера n.

В последовательностиL0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно многочленов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них.Тогда числа:

                             />

все положительны:коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше илиравен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечнымвыпуклым сверху полигоном.