Реферат: Структура аффинного пространства над телом
1. Введение
Чтобы лучше понимать аффиннуюструктуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к болееобщему понятию однородного пространства. Это даст также повод вспомнить,что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группыпреобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мырассматриваем действие группы на некотором множестве.
Считая хорошо известнымпонятие абстрактной группы, введем
Определение 1.1. Пусть />-некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и /> — ее нейтральный элемент.
Говорят, что /> действует слева намножестве />, если определенноотображение />, />, такое, что наборотображений />, /> удовлетворяет условиям
/> и /> />. /> (1)
Аналогично говорят, что /> действует на /> справа, еслиопределено отображение />, />, такое, что наборотображений />, /> удовлетворяет условиям
/> и /> />. (1/)
Соотношения (1)(соответственно (1/)) показывают, что />(соответственно />)- это биекции/> на />и что /> (соответственно />).
Например, любая группа /> действует сама на себеслева левыми сдвигами: /> и справаправыми сдвигами: />.
Группа /> действует на себе слеватакже внутренними автоморфизмами: />.
Условимся считать, еслииное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действиеслева.
Понятно, что длякоммутативной группы />оба действиясовпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действоватьна множестве, в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2. Пусть группа /> действует слева намножестве /> с законом действия />. Говорят, что /> действует на /> транзитивно, еслидля любой пары /> элементов /> существует хотя бы одинэлемент />, такой, что />; далее, говорят, чтодействие /> просто транзитивно,если этот элемент /> всегда единственный.
Пример. Линейная группа /> автоморфизмов /> действует транзитивно на />, но это действие неявляется просто транзитивным, кроме случая />.
Определение 1.3. Пусть группа /> действует слева намножестве />. Стабилизаторомподмножества /> множества /> называется множество />.
Непосредственно ясно, что/> — подгруппа группы/>. Если множество /> состоит из одного элемента />, то это подгруппаназывается группой изотропии элемента />.
Замечание. Стабилизатор /> является пересечением двухмножеств /> и />, которые не обязаны быть подгруппами />. Например, если /> действует на себетрансляциями и /> — положительнаяполуось, то /> не является подгруппой, а />.
Определение 1.4. Пусть />-группа, действующая слева на />; орбитойэлемента /> называется образ /> при отображении />.
Если /> действует на /> транзитивно, то орбиты всехэлементов совпадают с />.
Замечание. На />можноопределить отношение эквивалентности, полагая />, если существует элемент />, такой, что />; классы эквивалентностиявляются орбитами элементов />;фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит.
Однородные пространстваОпределение 1.5. Однородным пространством,ассоциированным с группой />,называется множество />, на которомопределено транзитивное действие группы />.
Пример (типовой). Пространство смежныхклассов группы по ее подгруппе.
Пусть /> — группа, /> — ее подгруппа, /> — фактормножество,образованное левыми смежными классами относительно />: элементы /> из /> объявляются эквивалентными,если существует элемент />, такой,что />; класс эквивалентностиэлемента /> есть множество /> элементов вида />, где />.
Действие слева группы /> на/> определяется с помощью />; это действие, очевидно,транзитивно. Фактормножество /> являетсяоднородным пространством относительно этого действия.
Мы увидим, что всякоеоднородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такоговида.
Теорема 1.1. Пусть />-однородное пространство, ассоциированное с группой />,и для любого /> пусть /> — группа изотропии />. Тогда существуетединственная биекция /> факторпространства/> на />, такая, что для всех /> выполнено />, где /> — каноническая проекция и /> — действие /> на />.
Доказательство. Соотношение /> равносильно /> и, значит, /> или />; следовательно, отображение/>, /> переносится нафактормножество и представляется в виде />,где /> — биекция.
Специальный случайЕсли группа /> действует на /> просто транзитивно,то группы изотропии /> тривиальны; длякаждой точки /> отображение />, /> является биекцией,удовлетворяющей условию />.
Эта биекция /> позволяет перенести на />структуру группы />, которая, однако, будет зависеть отвыбора точки />, т. е. образа нейтральногоэлемента. Говоря нестрого, /> допускаетструктуру группы, изоморфной />, припроизвольном выборе нейтрального элемента.
Так и будет обстоять делов случае ”аффинной структуры”.
2.Аффинныепространства
Определение 2.1. Пусть />-векторное пространство над произвольным телом />.Аффинным пространством, ассоциированным с />,называется множество ℰ, на котором определено просто транзитивное действие абелевойгруппы />.
Это действие записывается обычно ввиде
/>ℰ/>ℰ, />.
Для любого /> биекция />ℰ/> ℰ,/> называется трансляцией навектор />; далее, для некоторой пары /> элементов ℰединственный вектор />, такой, что />, обозначается />.
Чтобы отличить элементы ℰ (называемые точками) от элементов/> (называемых векторами),мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинскогоалфавита, такими, как />, а ”векторы-строчными, например />; греческие буквыпредназначаются для ”скаляров”.
Можно привести дваравносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся напонятие действия группы.
Определение 2.2. Аффинным пространством,ассоциированным с />, называетсямножество ℰ,снабженное семейством биекций />, таких,что
a) />ℰ и />/>;
b) для любой пары />ℰ/>ℰсуществует единственный вектор />, такой, что />.
Определение 2.3. Аффинным пространством,ассоциированным с />, называетсямножество ℰ, снабженное отображением ℰ/>ℰ/>, обозначаемым />, таким, что
a) для каждого />ℰотображение ℰ/>, /> биективно;
b) для любых точек /> из ℰ выполнено соотношение Шаля
/>.
Заметим, что из этихусловий следует, что для любой точки />ℰ мы имеем />.
От определения 2.3. копределению 2.2. можно перейти, обозначив через /> единственнуюточку />, такую, что />, и заметив, что соотношениеШаля равносильно />. Переход отопределения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.
Из какого бы определениямы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки />ℰ отображение />ℰ, /> есть биекция;эта биекция позволяет перенести на ℰвекторную структуру />.
Обозначения. Полученная таким путем векторнаяструктура на ℰ будет называться векторной структурой с началом />; множество ℰ с этой структурой будет обозначатьсяℰA.
Говоря нестрого, аффинноепространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный)элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ — это те свойства векторногопространства ℰA, которые не зависят от выбора точки />.
Таким образом, можно былобы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии кзадачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается вматематическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была быработа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинныесвойства ℰ.Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры снадлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть ℰ — аффинное пространство,ассоциированное с векторным пространством />.По определению, размерность ℰравнаразмерности />.
В частности, любоеодноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности />, ассоциированную с нулевымвекторным пространством.
Аффинные подпространства(Линейныеаффинные многообразия)
Пусть ℰ — аффинное пространство,ассоциированное с векторным пространством />.Каждое векторное подпространство /> пространства/> образует подгруппу группы />, действующую на ℰ трансляциями. По определению, орбитыдействия /> на ℰназываются линейными аффинными многообразиями(сокращенно ЛАМ) с направлением />.Группа />, действующая простотранзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из нихаффинную структуру, ассоциированную с />;поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами вℰ.
Если /> есть ЛАМ с направляющимподпространством /> и /> — точка />, то /> допускает структурувекторного пространства с началом /> и /> есть векторноеподпространство в ℰA. Обратно, любое ВПП пространства ℰA есть ЛАМ, проходящее через />; сформулируем
Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ, проходящие через точку />, суть векторныеподпространства векторного пространства ℰA.
Это краткое рассмотрениепоказывает, что направление ЛАМ /> пространстваℰ полностью определяется заданиеммножества точек />.
Другие определения.
Предложение 3.1. показывает, что данное вышеопределение эквивалентно следующему элементарному определению:
Определение 3.1. Непустое подмножество /> аффинного пространства ℰ называется линейным аффинныммногообразием, если в /> существуетточка />, такая, что /> является векторнымподпространством в />.
Приняв определение 3.1.,можно непосредственно установить следующее
Предложение 3.2. Пусть />-непустое подмножество в ℰ и /> — точка />, такая, что /> есть векторноеподпространство в />. Тогда для любойточки /> из /> множество /> совпадает с />.
Доказательство. /> есть множество векторов />, где />; таким образом, /> есть образ /> при биекции />, />, и поскольку />, то />.
Установив это, легкоубедиться, что /> наделеноструктурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством />, которое не зависит отточки />.
Вместо того, чтобыисходить из векторной структуры />, можноиспользовать отношение эквивалентности, связанное с действием /> на />: ЛАМ суть классыэквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильномуопределению:
Определение 3.2. Пусть />-векторное подпространство в /> и /> — отношение эквивалентности,определяемое на ℰ с помощью
/>;
аффинными многообразиями снаправлением /> называются классыэквивалентности по отношению />.
Существуют и другиеспособы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные вышеопределения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.
Случайвекторного пространства.
Каждое векторноепространство /> канонически снабженоаффинной структурой, так как /> действуетна себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор /> называетсятакже ”началом” /> и
/> /> .
ЛАМ пространства />, проходящие через />, суть векторныеподпространства в />; ЛАМ, проходящиечерез точку />, суть образы векторныхподпространств /> при параллельномпереносе />.
Ради кратности ЛАМ, непроходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в />).
Размерностьлинейного аффинного многообразияВернемся к случаюпроизвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотренияпозволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющегоВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффиннойплоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности /> сутьточки ℰ.
Аффиннойгиперплоскостью называетсяЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.
Пересечение линейных аффинных многообразийПредложение 3. 3. Пусть />-семейство аффинных подпространств в ℰ и /> длякаждого /> — направляющееподпространство для />.
Если пересечение /> непусто, то оно является аффиннымподпространством в /> с направляющим />.
Доказательствосразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение /> двух ЛАМ в ℰ было непустым, необходимо идостаточно, чтобы существовали такие точки /> и/> , что />, и тогда
/> /> />.
Доказательство. Если />,то для любых />, /> имеем /> и />. Таким образом, />.
Обратно, если существуют /> и />, такие, что />, то можно представить /> в виде />, где />, />. Тогда точка />, определяемая условием /> , принадлежит /> и, как легко видеть, />. Это доказывает, что /> принадлежит также />, а тем самым /> не пусто.
Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ спустым пересечением, а также
Предложение 3.5. Если />,/> — аффинные подпространства вℰ, направляющие которых взаимно дополняютдруг друга в />, то /> и /> имеют единственную общуюточку.
ПараллелизмОпределение 3.3. Говорят, что два линейных аффинныхмногообразий />, /> вполне параллельны,если они имеют одно и то же направляющее подпространство: />.
Более общо, говорят, что /> параллельно />, если направляющиепространства />, /> многообразий />, /> удовлетворяют включению />.
Можно проверить, чтоотношение ”/> вполне параллельно(соответственно параллельно) /> ”равносильно существованию трансляции /> пространстваℰ, такой, что /> (соответственно />).
Аффинное подпространство, порожденноеподмножеством />пространства ℰ
Предположение 3.6. Если />-непустое подмножество в ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое />, содержащее /> и обладающее следующимсвойством:
Любое аффинноеподпространство ℰ, содержащее />,содержит и />.
Говорят, что /> порождено />.
Коротким способомдоказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: /> есть пересечение всех ЛАМ,содержащих />. Недостаток этогорассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих />”, о котором мало чтоизвестно и которое обычно даже несчетно!
Более элементарный иконструктивный способ состоит в выборе в /> начальнойточки />, что сводит задачу к отысканиюнаименьшего векторного подпространства в ℰA, содержащего /> (поскольку ЛАМ, содержащее />, являются ВПП в ℰ). Таким образом, /> есть ВПП в ℰA, порожденное />; при этом сам характерзадачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки /> в />. Если мы заметим, чтонаправляющее подпространство для /> есть ВППв />, порожденное векторами />, то получим также
Предложение 3.7. Пусть />-непустое подмножество в ℰ; длякаждой точки /> положим />. Тогда векторноепространство /> не зависит от выбора /> и /> есть ЛАМ, проходящее через /> с направлением />.
Можно дать прямоедоказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если /> — конечное множество, товекторное пространство /> независит от /> и, следовательно, совпадаетс
/> и />.
Отсюда вытекает
Предложение 3.8. Размерность аффинногоподпространства, порожденного /> точками /> пространства ℰ не превосходит />; его размерность равна /> тогда и только тогда, когда/> векторов /> (/>) образуют свободноесемейство.
Другие свойства ЛАМизучаются в связи с понятием барицентра.
Барицентры: приложения кизучению аффинных подпространств
В последующем ℰ всегда обозначает аффинноепространство, ассоциированное с левым векторным пространством /> над, вообще говоря,некоммутативным телом />. ”Взвешеннойточкой” называется элемент />ℰ/>.
Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства(системы) /> взвешенных точек, такого,что />, существует единственнаяточка />, удовлетворяющая любому (атогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):
a) />,
b) />ℰ/> />,
c) />ℰ/> />.
Эта точка называется барицентром(центром тяжести) системы />. Мыобозначим ее />.
Эквивалентность трех условий легко устанавливаетсяс помощью соотношения Шаля.
Свойства. a) Однородность (слева).
Предложение 4.2. Для любого /> имеем
/>
b) Ассоциативность.
Предложение 4.3. Пусть />-разбиение />, т.е.совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств />, таких, что /> .
Если для любого /> скаляр /> отличен от нуля и мыположим />, то
/>.
Доказательства получаютсянепосредственно
Замечания. По определению 4.2. можно всегдапривести дело к случаю, когда ”полная масса” системы />, т.е. /> равна 1. В этом и тольков этом случае можно положить
/>.
Для успешногоиспользования этого обозначения следует заметить, что соотношение /> равносильно каждому изследующих утверждений:
/> и />ℰ/> />, (1)
/>ℰ/> />, (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром конечного подмножества /> пространства ℰ называется точка />. Она существует толькотогда, когда характеристика /> неявляется делителем числа />.
Следующее утверждениепоказывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, кпоследовательному построению барицентров пар точек.
Предложение 4.4. Пусть />-конечное семейство взвешенных точек, таких, что /> длявсех />, /> и />.
Если характеристика /> отлична от 2, то существуетразбиение /> множества />, такое, что
/> и />.
Доказательство. Если одна из сумм />отлична от нуля, тодостаточно положить /> и />.
Если все суммы /> равны нулю, то все /> равны одному и тому жеэлементу />, такому, что />, где />.
Если характеристика /> отлична от 2, то />, и, поскольку /> не равно нулю, получимискомое разбиение, выбирая /> какдвухэлементное подмножество, а /> какподмножество из /> элементов.
Следствие. Если характеристика /> не равна 2, то построениебарицентра /> точек приводится кпоследовательному построению /> барицентровпар.
Приложенияк линейным аффинным многообразиямТеорема 4.5. Если />-непустое подмножество в ℰ, то /> есть множествобарицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в />.
Доказательство. Уточним сначала, что под носителемсемейства /> понимается множество />.
Условившись об этом,выберем некоторую точку /> в />. Барицентры семейства сносителями в /> суть точки />, удовлетворяющиесоотношению вида
/>, (3)
где /> и />. При этом соотношение (3)влечет за собой /> и поэтому /> (см. предложение 3.7).Обратно, если /> — точка из />, то найдутся точки />, принадлежащие />, и скаляры /> ( с суммой, необязательноравной 1), такие, что />; этосоотношение также записывается в виде
/> с /> и/>;
таким образом, /> есть барицентр системы сносителем в />.
Определение 4.1. Подмножество />ℰ называется аффинно порождающимℰ, если />ℰ; оно называется аффинно свободным,если любая любая точка /> из /> единственным образомпредставляется в виде
/>, где /> и/> при любом />.
Множество, одновременноаффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.
Выбирая начало /> в /> и пологая />, легко видеть, что /> аффинно свободное(соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда /> свободное (соответственномножество образующих). (Напомним, что /> независит от выбора />.) Отсюда вытекает
Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество /> пространства ℰ было аффинно порождающим, необходимои достаточно, чтобы /> не содержалось нив какой аффинной гиперплоскости в ℰ.
Наконец, применяяпредложение 3.7, получим
Предложение 4.7. Если ℰ — аффинное пространство конечнойразмерности />, то любой его аффинныйрепер образован /> точками.
Обратно, для того, чтобы /> точек в ℰ образовали аффинный репер,необходимо и достаточно, чтобы /> векторов/> /> образовалибазис />, или (эквивалентноеусловие) чтобы точки /> не принадлежалиодной аффинной гиперплоскости.
Заметим, что если /> есть ЛАМ конечнойразмерности в ℰ и /> — аффинный репер в/>, то /> есть множество точек /> с />. Этот способ параметризациичасто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки /> в ℰ, есть множество точек />.
Характеризацияаффинных подпространствСледующая теоремаоправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии кактакого множества /> точек, что каждаяпрямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит />.
Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть /> пространства /> была линейным аффинныммногообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если /> -любая прямая, соединяющая две точки />,содержалась в />;
b) если />-эвибарицентр любых трех точек /> лежал в />.
Доказательство. Нам уже известна необходимость этогоусловия. Для доказательства достаточности выберем в /> точку/> и покажем, что /> есть ВПП пространства />.
a) Предположив, что />, установим прежде всего,что условия /> и /> влекут />.
Действительно, по предположению существуетточка />, такая, что />. Точка />, определенная условием />, принадлежит прямой (АВ)и, значит, />, откуда следует, что />.
Рассмотрим далее двалюбых вектора /> и /> в /> и выберем /> (что возможно, так как /> не сводится к />). Точки /> и /> (см. рис. 1) принадлежатсоответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому и />. Следовательно, точка /> принадлежит /> , откуда />. Итак /> есть ВПП в />.
/>
Рис. 1
b) Если />,то тривиальным образом /> влечет /> (так как /> может принимать только двазначения 0, 1). Если />, /> — два вектора из />, то точка />, определяемая условием />, есть эквибарицентр />, откуда и вытекает нашеутверждение.
Аффинные иполуаффинные отображения
Определение 5.1. Пусть ℰ, />-два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторнымипространствами />, />.
Отображение/>ℰ/>называется полуаффинным(соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка />, что отображение />, /> полулинейно(соответственно линейно).
Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка />, удовлетворяющаявышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ и отображение /> не зависит от />.
Доказательство. Для любой пары />ℰ имеем в силу линейности />
/>,
что и доказывает требуемое.
Обозначения. Отображение /> обозначается /> и называется полулинейной(соответственно линейной) частью />.
Истолкование. Фиксируем в ℰнекоторую точку /> иснабдим />, /> векторными структурами,принимая за начало в ℰ точку />, а в /> — точку />. Тогда /> будет полуаффинным(соответственно аффинным) в том и только том случае, если /> — полулинейное(соответственно линейное) отображение ℰА в />.
В частности, изучениеполуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижнуюточку />, сводится к изучениюполулинейных (соответственно линейных) отображений ℰА в себя.
Так обстоит дело в случаегеометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).
Важно заметить, чтополуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своейполулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.
Если />, /> — два векторныхпространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение /> и /> есть отображение вида />, где /> полулинейно (соответственнолинейно), а /> — постоянный элемент.
Непосредственныеследствия. Если/> ℰ/> полуаффинно, то
1) Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в />.
2) Прообраз ЛАМ в /> есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.
3) Для любой системы /> взвешенных точек ℰ образ барицентра /> есть барицентр />, где /> обозначает изоморфизм тел,ассоциированных с />.
Применениеаффинных реперовТеорема 5.2. Пусть ℰ, />-аффинные пространства над телами />,/>, /> — изоморфизм /> на />, /> — аффинный репер в ℰ и />-семейство точек />, индексированноетем же множеством индексов />.
Тогда существуетединственное полуаффинное отображение /> пространстваℰ в />,ассоциированное с изоморфизмом />, такое,что /> для всех />.
Более того, /> биективно(соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство /> есть аффинный репер(соответственно свободное семейство, семейство образующих) для />.
Доказательство. Вернемся к теореме />, взяв одну из точек /> в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку /> — в />; отображение /> определяется равенством
/>
для любого конечного подмножества /> и любой системы скаляров />, таких, что, />.
В частности, аффинное отображение ℰ в /> определяетсязаданием образа аффинного репера из ℰ.
Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМОпираясь на исследование, проведенноев параграфе II.6, легко получаем
Предложение 5.3. Пусть ℰ — аффинное пространство над телом />. Тогда
a) Если /> ℰ/> - непостоянное аффинное отображение,то /> — аффинная гиперплоскость в ℰ с направлением />.
b) Обратно, если /> — аффинная гиперплоскость в ℰ, то существует аффинное отображение /> ℰ/>, такое, что />, и все аффинные отображенияℰ в /> сэтим свойством суть отображения />, где />.
Если ℰ — аффинное пространство конечнойразмерности />, то каждое ЛАМ размерности /> в ℰ определяется системой уравненийвида /> />,где /> — аффинные отображения ℰ в />,линейные части которых независимы.
Характеризацияаффинных отображений
Теорема 5.4. Пусть ℰ/> — два аффинных пространства над одними тем же телом />. Для того, чтобыотображение />ℰ/> было аффинным, необходимо идостаточно, чтобы
a) при />
/>ℰ/>ℰ/>
/>;
b) при /> образэквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.
Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).
a) При фиксированной точке />ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора /> направляющего пространства /> имеем
/>.
Отображение /> удовлетворяет,следовательно, условию />.
Чтобы доказать, чтовыполняется и условие /> для любых />, выберем такие />, что />, /> и />, определим точки />, /> условиями />, />. Применяя условие a), получим тогда />,
откуда
/>.
Можно такжесформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰв /> являетсяаффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую вℰ аффинно.
В дальнейшем мы дадимчисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.
Неподвижные точки аффинных иполуаффинных отображений.
Теорема 5.5. Если />-полуаффинное отображение и множество /> егонеподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством />/>,состоящим из неподвижных элементов отображения />.
С другой стороны, если /> конечномерно и />не имеет других неподвижныхэлементов, кроме 0, то />имеет единственнуюнеподвижную точку./>
Доказательство.Если фиксировать точку />, условие />равносильно />и, значит, условию /> где />
· Если /> — неподвижная точка />то /> равносильно />откуда вытекает первоеутверждение.
· Если />, то отображение /> инъективно и потому вслучае конечной размерности /> биективно;в />существует единственнаяточка /> такая, что /> откуда следует второеутверждение. />
Важное замечание. Если />-произвольное отображение и />-биекция, то />
Этообщее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные иполуаффинные группы.
Если /> и /> - два аффинных (соотв.полуаффинных) отображения, то /> такжеесть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и /> Отсюдавыводится
Теорема5.6. Пусть /> — аффинное пространство,ассоциированное с векторным пространством /> Аффинные(соотв. полуаффинные) биекции/> на /> образуют группу, которую мыобозначаем /> (соотв. />). Отображение /> (линейная или полулинейнаячасть) есть гомоморфизм />на />и />на группу />полулинейных биекций />на />.
Наконец, для любойточки /> в /> ограничение /> на группу изотропии точки />в /> (соотв. />) является изоморфизмом этойгруппы на />(соотв. />).
Последнееутверждение получим, выбирая />вкачестве начала в />.
Следствие. Если />подгруппав />(соотв. в />), то /> есть подгруппа в /> (соотв. в />); при этом если />инвариантная подгруппа, тотакова же и />.
Вчастности, если /> то /> есть инвариантная подгруппав />, образованная трансляциями.
Если />то /> есть инвариантная подгруппав />, образованная трансляциями центральнымисимметриями.
Если />/>инвариантная подгруппагруппы />, образованная векторнымигомотетиями, то />есть инвариантнаяподгруппа в />, называемая группойдилатаций.
Пусть />дилатация, не сводящаяся ктрансляции; тогда />векторнаягомотетия вида /> где /> В этом случае /> имеет единственнуюнеподвижную точку /> определяемую изусловия /> где />произвольная точка />. Таким образом, /> выражается как /> Такое отображениеназывается гомотетией с центром /> икоэффициентом />
Сформулируем
Предложение5.7. Трансляции игомотетии /> составляют инвариантнуюподгруппу группы />, называемуюгруппойдилатаций/>. Мыобозначаем ее />.
Еслиосновное тело /> коммутативно, тогруппа /> является инвариантнойподгруппой группы />.
ПроектированияНазовем проектированием />любое аффинное отображение /> пространства/>в себя, удовлетворяющееусловию />
/>
Рис.2
Для такого отображениялюбая точка />является неподвижной;принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования длявекторного пространства />. Отсюдавытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическаяхарактеризация:
Предложение 5.8. Отображение /> является проектированием,если существует ВПП /> пространства />и ЛАМ /> в /> с направляющимподпространством /> дополнительным к />, такие, что для любой точки/> ее образ /> есть точка пересечения /> с ЛАМ, проходящим через /> с направлением /> (рис. 2).
Аффинные симметрии Теорема 5.9. Пусть />-аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством />над телом />характеристики />.Для того, чтобы аффинное отображение /> было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оноимело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть былавекторной симметрией />
Такоеотображение называется аффинной симметрией.Доказательство. Если />и />, то образом серединыотрезка /> будет середина отрезка /> таким образом, эта точкаинвариантна при отображении /> и,выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. />
Предложение 5.10. Отображение /> является аффиннойсимметрией,если существуют ВПП /> пространства /> и ЛАМ />с направлением,дополнительным к /> такие, что длялюбой точки/> (см.рис.2)
1). />
2). Середина />принадлежит />.
Если /> сводитсяк одной точке /> то /> и /> есть центральнаясимметрияс центром />
Теорема ФалесаПусть по-прежнему /> есть ВПП в /> и />- два аффинных пространствав />, направляющие которыхсоответственно /> дополнительны к /> Обозначим через />(соотв. />) ограничение проектирования/> на /> (соотв./>) параллельно /> Тогда, как легко видеть, /> является аффинной биекцией /> на />, обратная к которой есть />. Образ /> точки /> определяется условиями /> и /> (см. рис. 3).
В более общей форметеорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное
/>
Рис.3
указанным способом соответствие между/> и /> является аффинным.
В частности, если />/> векторнаягиперплоскость, то справедлива
Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости,параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольнойпаре не параллельных им прямых пропорциональныеотрезки.
§6. Каноническое погружение аффинногопространства в векторное. Приложения.
Пусть снова /> — аффинное пространство,ассоциированное с векторным пространством />.Как мы уже видели, выбор начала в /> позволяетотождествить /> с /> теперь мы докажем, что />канонически отождествляетсяс аффинной гиперплоскостью некоторого пространства /> изоморфного/>Методбудет состоять в сопоставлении каждой точке /> отображения/>
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма. Пусть /> левоевекторное пространство над телом /> а />произвольное множество.Тогда множество /> отображений /> в />есть левое векторноепространство над /> по отношению кобычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
/> и />
В силу доказанногоискомое векторное пространство /> будетВПП в />, порожденным отображениями/> Поэтому мы начнем сизучения этого пространства />
Предложение 6.1. Пусть />- векторное подпространство в />,порожденное функциями /> пуст, далее, /> элемент из />. Тогда
А). Сумма /> зависиттолько от функции /> и притом линейно,т.е. является линейным отображением /> в /> которое мы обозначим />
Б). Если /> тосуществует единственная точка />, такая,что />.
В). Если /> то/> постоянна.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, таккак могут существовать различные системы взвешенных точек />, такие, что /> но оно легко вытекает изтого факта, что для любой пары /> выполненосоотношение
/>, (1)
которое доказывает существование илинейность функции />
Б). Если /> выберемв /> произвольную точку /> Соотношение (1)показывает, что в /> существуетединственная точка /> такая, что /> она определяется условием /> Из (1) также видно, что этаточка – единственная, для которой /> Такимобразом, барицентр семейства /> зависиттолько от функции />
В). Наконец, последнее утверждениетакже вытекает из (1). />
Следствие. /> являетсятеоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функцийи множества функций вида />
Предложение 6.2. Пусть /> отображение/> и пусть />отображение /> в /> которое любому вектору /> ставит в соответствиепостоянную функцию, равную /> на />.
Тогда /> аффинно с линейной частью />и потому инъективно; приэтом /> есть аффиннаягиперплоскость/> в /> с уравнением />
Доказательство. Для любой пары /> разность/>есть постоянная функция />; положим />. Таким образом, /> аффинно, /> и /> инъективно, как и />
С другой стороны, какпоказывает предыдущее предложение, функции /> сутьэлементы /> удовлетворяющие условию />./>
Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству />, ассоциированному свекторным />-пространством />, можно каноническиприсоединить:
· Векторноепространство /> изоморфное />,
· Ненулевуюлинейную форму /> на />,
· Аффинную инъекцию/>, такую, что /> - аффинная гиперплоскость в/>с уравнением />
Доказательство. Остается только установить изоморфизм между /> и />. Для этого достаточнозаметить, что какова бы ни была точка/>,отображение />, />линейно и биективно.Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки/>.
Заметим, что аффиннаягиперплоскость /> имеет в качественаправляющей векторную гиперплоскость /> постоянныхфункций, которая отождествляется с />.
Замечания. 1). Векторную структуру на множестве/> можно определитьнепосредственно, не прибегая к векторному пространству />, но это связано сутомительными выкладками.
2). Особый интерестеоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение /> единственным образомопределяемое заданием/>.
Обозначения. Векторное пространство />, построенное таким образом,называется векторным продолжением /> иобозначается />.
Если /> имеет размерность /> то размерность /> равна />. Мы увидим, что введениеэтого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
§7.Приложения теоремы о погружении.
Векторнаяинтерпретация барицентров.
Вернемся к обозначениям §6. Инъекция />позволяет нам отождествить /> с аффинной гиперплоскостью /> в />, в то время как ее линейнаячасть /> позволяет отождествить />с векторной гиперплоскостью />
Предложение7.1.Пусть />конченое семействовзвешенных точек />, где точки />отождествлены с элементами />. Для того, чтобы элемент />из />принадлежал />(соотв. />), необходимо и достаточно,чтобы />(соотв. />).
Доказательство.Это вытекает изсоотношения /> />
Правило. Отождествление /> сподмножеством в />позволяет безпредосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации /> элементов />. Но такая комбинацияпредставляет элемент из />толькотогда, когда />( этот элемент будетбарицентром системы />); если же />то />представляет элемент из />равный />для любой точки />.
Приложения. 1). Для того, чтобы три точки /> из /> были коллинеарны, необходимои достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры /> такие, что
/> и /> (1)
Соотношения (1) насамом деле равносильны одному соотношению />;они интересны своей симметричной формой относительно /> и возможностью складыватьподобные соотношения.
2). Если /> то барицентром системы /> является точка пересеченияс /> векторной прямой снаправляющей /> в />.
3). Для того чтобысемейство /> точек из /> было аффинносвободным(соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство /> было свободным (соотв.семейством образующих) в векторном пространстве />
Вчастности, аффинный репер /> являетсябазисом />содержащимся в />
Векторнаяинтерпретация аффинных отображений.
Мы начнемс установления одного общего результата, независимого от теории векторныхпродолжений
Предложение7.2. Пусть />, /> — два векторных пространстванад одним и тем же телом />и /> (соответственно />) – аффинная гиперплоскостьв />(соотв. />), не проходящая черезначало; обозначим />(соответственно />) векторную гиперплоскость,параллельную /> (соответственно />).
А) Если /> - линейное отображение,такое, что />, то ограничение /> на /> есть аффинное отображение /> в />, линейная часть которогоесть ограничение /> на />.
Б) обратно, если /> - аффинное отображение, тосуществует единственное линейное отображение />,ограничения которого на /> совпадаетс />.
Доказательство.
А) Если /> линейно и />, то для любых точек />из /> имеем и />. Ограничения /> на /> аффинно с линейной частью />, />.
Б) Обратно, пусть/> — аффинное отображение.Фиксируем точку /> в /> и обозначим через /> (соответственно />) векторную прямую в />(соответственно />), порожденную /> (соответственно />) (рис 4). Тогда />/>,/>, и искомое линейноеотображение должно удовлетворять следующим двум условиям:
1. />,
2. Ограничения /> на /> равно линейной части />.
Носуществует единственное линейное отображение /> из/> в />, удовлетворяющее этимусловиям (/> определено своимиограничениями на дополнительные ВПП /> и /> пространства />); тогда ограничение /> на /> - есть аффинное отображениес той же линейной частью, что и />, ипринимающее в /> то же значение,что и />, а тем самым равное />, откуда вытекаетдоказываемый результат. />
Существует,следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями /> в /> и линейными отображениями /> в />, удовлетворяющими условию />.
С другой стороны, если />, и />, это соответствие сохраняеткомпозицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает сограничением их композиции).
/>
Рис.4
Наконец, если /> - автоморфизм /> и /> - аффинная гиперплоскость в/>, то включение /> влечет равенства />. В самом деле, /> есть аффиннаягиперплоскость в />, и достаточноприменить следствие теоремы II6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в />.
Т.о. мы можемсформулировать
Предложение 7.3. Пусть /> -векторное пространство, /> -аффинная гиперплоскость в />, непроходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций /> на стабилизаторе /> в /> (подгруппу />, состоящую из изоморфизмов />, для которых />).
Эти результаты применимы,в частности, к случаю, когда, />, /> - векторные продолженияаффинных пространств />, />, а />, /> - образы />, /> при каноническихпогружениях />, />: всякое аффинноеотображение /> в />, отождествляется с линейнымотображением /> пространства />в пространство />, удовлетворяющим требованию/>, и группа аффинных биекций /> отождествляется сподгруппой />, сохраняющей аффиннуюгиперплосклость />
Случай конечной размерности.
Если аффинное пространство /> имеет конечную размерность />, то в /> можно выбрать базис /> так, что /> при /> и />. Тогда /> есть декартов репер в /> с началом /> (рис 4).
В этом случае /> является множеством точек />пространства />, таких, что />; следовательно, этоаффинная гиперплоскость с уравнением /> в базисе/>. Эндоморфизмы /> пространства />, удовлетворяющие условию />, — это те эндоморфизмы,матрица которых в базисе />имеет вид
/>, (2)
где /> -квадратная матрица порядка />.Эндоморфизму /> с матрицей (2)соответствует аффинное отображение />,координатное выражение которого в декартовом репере /> имеетформу
/> , /> (3)
Матричные вычисленияпоказали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композицииотображений. С другой стороны, эндоморфизм /> сматрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогдавыполняется и равенство />. Такимобразом, получается
Теорема 7.4. Группа аффинных биекций />-мерного аффинногопространства изоморфна подгруппе линейной группы />,образованной матрицами вида (2), где /> принадлежит/>.
В частности, группа аффинных биекций /> тела /> изоморфна подгруппе в />, состоящей из матриц вида />.
8.Геометрическая характеризацияинъективных полуаффинных отображений.
Ниже мы обозначаем через />, /> два аффинных пространства,ассоциированных соответственно с векторными пространствами /> над произвольными телами />. Мы дадим чистогеометрическую характеризацию полуаффинных отображений /> в />. Для ясности начнем сослучая инъективных отображений.
Теорема 8.1. Допустим,что />. Для того, чтобыинъективное отображение/> былополуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двумусловиям:
1. Образ любой аффинной прямой из /> был аффинной прямой в />;
2. Образы двух параллельных прямых былпараллельными прямыми.
Доказательство. Необходимость условия очевидна.Доказательство
достаточности проведем в несколькоэтапов, все время предполагая, что /> удовлетворяетусловиям 1) и 2).
А). Образы при /> двух различных прямых />, /> из /> суть также две различныепрямые.
В самом деле, пусть />, /> - прямые в />, имеющие один и тот жеобраз />, пусть /> - две различные точки ихобщего образа. Тогда прообразы /> точек /> и />принадлежат /> и /> одновременно и различны (всилу иньективности />), откуда следует,что />.
Б). Отображение />, /> не зависит от выбора />в />.
Всамом деле, пусть другая точка /> и />,/> таковы,что />. Если
/> — несплющенный параллелограмм, то из2) и А) следует, что его образ />тоженастоящий параллелограмм, откуда
/>, />
Если точки /> принадлежат одной прямой />, то предположение /> позволяет выбрать в />точки /> так, что />. Применяя предыдущийслучай, имеем
/>
откуда/>.
Отображение/> обозначаем отныне просто />.
В). Отображение /> инъективно и удовлетворяетусловию
/> />. (1)
Инъективность /> сразу следует изинъективности />. С другойстороны, для любых данных /> выберемв /> такие точки />, />, />,/> и/>. Тогда />.
Д). Существуетотображение />, такое, что
/> />. (2)
Доказательство. Достаточно найти />, удовлетворяющее условию(2) при />. Для заданной пары /> выберем />, />, /> в /> так, что />, />. Так как точки />, /> и /> коллинеарны, то коллинеарныи векторы />; отсюда вытекаетсуществование некоторого скаляра, скажем />,такого, что />. Остается доказать, что /> не зависит от вектора /> (по предположениюненулевого).
1). Если />два неколлинеарных вектора,то неколлинеарны и />, />; в противном случае образыдвух прямых />, />, проходящих через одну и туже точку /> с направляющими />, совпадали бы, чтоневозможно в силу А).
Длялюбого />имеем
/>,
откуда в силунеколлинеарности />, />
/>.
2). Если />, /> — коллинеарные ненулевыевекторы, то предположение /> позволяетвыбрать /> так, что пары /> и /> свободны. Отсюда находим,что
/> />.
Такдля каждого /> отображение />, /> есть константа, мыобозначим ее через />.
/>
Е). Отображение /> является изоморфизмом тел.
Выбрав />, мы увидим преждевсего, что соотношения /> и /> влекут (с учетом />)
/> и />,
т.е. показывают,что /> - гомоморфизм тел.
Наконец,для любой точки />/> отображение /> есть биекция /> на прямую />; ограничение/> на />есть биекция />на прямую />. Следовательно, композиция />, />биективна. Отсюда вытекает,что отображение /> биективно.
Итак, />изоморфизм тел, />полулинейное отображение,ассоциированное с />, и />полуаффинное отображение. />
Случай плоскости.
Если />и/> двумерны, то условие 2) втеореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности />.Мы можем, таким образом, сформулировать
Следствие. Если />,/>аффинные плоскости и /> — инъективное отображение,такое, что образ любой прямой в />естьпрямая в />, то />полуаффинное отображение.
Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, вчастности, если />инъективноеотображение />в себя, такое, что образлюбой прямой /> есть прямая, параллельная />; тогда можнонепосредственно доказать, что /> дилатация.
9.Основная теорема аффиннойгеометрии.
Исходяиз теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий,представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:
Теорема 9.1. Пусть />,/>аффинные пространства надтелами />, />, отличными от поля />; для того, чтобыотображение />было полуаффинным, достаточно, чтобы
1). Образ любой прямой в /> был прямой в />, либо сводился к однойточке.
2). Аффинное подпространство в />, порожденное />, имело размерность />.
Мы подразделимдоказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что /> удовлетворяет условиям 1) и2).
Лемма 1. Если /> естьЛАМ в />, то /> — ЛАМ в />.
Доказательство. Пусть /> и/> — две различные точки в />. Тогда прямая /> есть по условию 1) образпрямой />; так как прямая />содержится в />, прямая /> содержится в />. Результат теперь вытекаетиз теоремы 4.8. />
Лемма 2. Если />-ЛАМ в /> и множество /> непусто, то оно являетсяЛАМ в />.
Доказательство. Результат очевиден, если /> сводится к одной точке. Впротивном случае для любой пары различных точек />,/> прямая /> содержится в /> согласно 1). Таким образом,прямая />содержится в /> и теорема 4.8 показывает,что /> есть ЛАМ. />
Лемма 3. Для любой непустой части /> пространства />
/>. (1)
Доказательство. /> естьЛАМ в />, содержащее />; по лемме 1, /> есть ЛАМ в />, содержащее />. Отсюда следует включение
/>.
Аналогично, по лемме 2, />есть ЛАМ в />, содержащее />, а потому и />; имеет место включение />; применение отображения /> дает />.
Окончательно получаемравенство (1). />
Лемма 4. Пусть /> — пара параллельных прямых в/>. Если />сводится к точке, то жеимеет место и для />. Если /> - прямая, то и /> — прямая, параллельная />.
Доказательство. Мы можем предположить, что />. Тогда /> есть ЛАМ размерности 2 в />, порожденное двумя точками />, />одной из прямых и точкой /> другой прямой; по леммам 2и3, /> есть ЛАМ размерности />.
А). Покажем сначала, что />либо />.
Допустим, что /> и /> действительно имеют общуюточку. Тогда найдутся точки /> и />, такие, что />. Выбирая /> и полагая по-прежнему />, получим с помощью леммы 3,что
/>
и аналогично
/>,
откуда />.
Посколькусформулированное утверждение при />очевидно,будем далее полагать />, т.е. считать,что />и /> не имеют общих точек.
Б). Предположим, что /> — прямая в />и />; тогда /> имеет размерность 2.
Если бы на прямой />существовали две точки />, такие, что />, то для любой точки />мы имели бы />и />, и тогда />не было бы двумерным вопрекипредположению. Отсюда следует, что /> — прямая.
Значит, />и /> - две прямые без общихточек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.
В). Если /> сводится к одной точке, томеняя ролями />и/>иприменяя результат Б), мы видим, что />такжесводится к точке.
Лемма 5. Если />параточек в />, таких, что множества />, />
непусты, то /> и />-ЛАМ с общим направлением.
Доказательство. По лемме 2, /> и /> суть ЛАМ в />. Предполагая, что />, фиксируем точку />в />и точку />в />; параллельный перенос навектор /> обозначим через />. Для любой точки /> прямая />параллельна прямой/>, и поскольку образ прямой />сводится к одной точке />, то образ прямой />сводится к одной точке />. Таким образом, />влечет />и имеет место включение />.
Меняя ролями /> и />, получим включение />, откуда />. Итак, />, /> имеют общее направление. />
Лемма 6. Обозначим через /> общее направление непустыхЛАМ в /> вида />, где />, и пусть /> — факторпространство /> по отношениюэквивалентности />, определенномуусловием />.
Тогда />имеет единственную аффиннуюструктуру, такую, что каноническая проекция /> являетсяаффинной.
Доказательство. Выбор начала /> в /> сводит дело к случаюфакторпространства векторного пространства /> Поего векторному подпространству />, иоказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку /> заначало в />./>
Отметим, что />является пространством орбитдействия группы трансляций /> на />; это есть множество ЛАМ снаправлением />.(см. §2).
Лемма 7. Вобозначениях леммы 6 отображение />представляетсяв виде />, где /> — инъективное полуаффинноеотображение; отсюда вытекает, что /> полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность /> вытекают из того, чтосоотношение />равносильно />(см. лемму 5), и тем самым />. Для доказательстваполуаффинности />покажем, что оноудовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть />– произвольная аффиннаяпрямая />, порожденная двумяразличными элементами />из />. Без труда проверяется, что/> есть ЛАМ в />, порожденное />.
По лемме 3, />есть ЛАМ, порожденное />; итак (в силу инъективности/>), />является аффинной прямой />.
Наконец, />не может сводиться к однойточке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и />, что противоречит условию2). Поэтому />.
Отсюда следует, что />удовлетворяет условиям 1) и2), наложенным на />, при условиизамены />на />. Лемма 4 показывает тогда,что образы при отображении />двухпараллельных прямых />, /> из /> — две параллельные прямые.Наконец, />удовлетворяет всем условиямтеоремы 8.1 (после замены />на />). Следовательно,/> полуаффинно и так жеобстоит дело с />./>
Теорема 9.1 тем самым полностьюустановлена. />
Этот результат особенноинтересен в случае, когда тела /> и />совпадают и не допускаютдругих автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда /> или />при />: в этом случае мы получаемчисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга /> пространства /> в />.
Кроме того, очевидно, чтотеорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение />на прямую тривиальнымобразом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае /> условие 1) выполнено длялюбого отображения /> в />(поскольку каждая прямая в /> и />состоит из двух точек).Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзязаменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием«образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, />, /> есть биекция векторногопространства />над />в векторное пространство />над />, и образ каждой прямой из />при отображении />содержится в фнекоторойпрямой пространства />, но />не является полулинейным(поскольку /> и />не изоморфны).
Лемма 6. Обозначим через /> общее направление непустыхЛАМ в /> вида />, где />, и пусть /> — факторпространство /> по отношениюэквивалентности />, определенномуусловием />.
Тогда />имеет единственную аффиннуюструктуру, такую, что каноническая проекция /> являетсяаффинной.
Доказательство. Выбор начала /> в /> сводит дело к случаюфакторпространства векторного пространства /> Поего векторному подпространству />, иоказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку /> заначало в />./>
Отметим, что />является пространством орбитдействия группы трансляций /> на />; это есть множество ЛАМ снаправлением />.(см. §2).
Лемма 7. В обозначенияхлеммы 6 отображение />представляется ввиде />, где /> — инъективное полуаффинноеотображение; отсюда вытекает, что /> полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность /> вытекают из того, чтосоотношение />равносильно />(см. лемму 5), и тем самым />. Для доказательстваполуаффинности />покажем, что оноудовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть />– произвольная аффиннаяпрямая />, порожденная двумяразличными элементами />из />. Без труда проверяется, что/> есть ЛАМ в />, порожденное />.
По лемме 3, />есть ЛАМ, порожденное />; итак (в силу инъективности/>), />является аффинной прямой />.
Наконец, />не может сводиться к однойточке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и />, что противоречит условию2). Поэтому />.
Отсюда следует, что />удовлетворяет условиям 1) и2), наложенным на />, при условиизамены />на />. Лемма 4 показывает тогда,что образы при отображении />двухпараллельных прямых />, /> из /> — две параллельные прямые.Наконец, />удовлетворяет всем условиямтеоремы 8.1 (после замены />на />). Следовательно,/> полуаффинно и так жеобстоит дело с />./>
Теорема 9.1 тем самым полностьюустановлена. />
Этот результат особенноинтересен в случае, когда тела /> и />совпадают и не допускаютдругих автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда /> или />при />: в этом случае мы получаемчисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга /> пространства /> в />.
Кроме того, очевидно, чтотеорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение />на прямую тривиальнымобразом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае /> условие 1) выполнено длялюбого отображения /> в />(поскольку каждая прямая в /> и />состоит из двух точек). Теорема9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец,нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабымусловием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, чтобиективно.
Например, />, /> есть биекция векторногопространства />над />в векторное пространство />над />, и образ каждой прямой из />при отображении />содержится в некоторойпрямой пространства />, но />не является полулинейным(поскольку /> и />не изоморфны).
/>