Реферат: Расширения полей

Содержание

Введение 1. Простое алгебраическое расширение поля. 4 1.1. Простое расширение поля. 4 1.2. Минимальный полином алгебраического элемента. 5 1.3. Строение простого алгебраического расширения поля. 6 1.4. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. 6 2.Составное алгебраическое расширение поля. 8 2.1. Конечное расширение поля. 8 2.2. Составное алгебраическое расширение поля. 8 2.3. Простота составного алгебраического расширения поля. 10 2.4. Поле алгебраических чисел. 11 2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. 12 3. Сепарабельные и несепарабельные расширения. 12 4. Бесконечные расширения полей. 17 4.1. Алгебраически замкнутые поля. 17 4.2. Простые трансцендентные расширения. 22 Заключение 26 Литература 27

Введение.

В педагогических вузах введена программа единого курсаалгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение основныхалгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимойбудущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьногокурса математики, так и школьных факультативных курсов.

На нашвзгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподаваниеэлементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийсяв ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызываетупорные попытки введения в школьное математическое образование основныхалгебраических понятий.

Математическаяглубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ееосновных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулироватьи доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств.Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показатьшкольникам образец современной математики.

Кроме того, изучение элементов теории поля полезно дляшкольников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитиии обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а такжевоспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

1. Простоеалгебраическое расширение поля.

1.1.Простое расширениеполя.

Пусть P[x]—кольцо полиномов от xнад полем P, где P— подполе поля F. Напомним, что элемент a поля Fназывается алгебраическим над полем P, если aявляетсякорнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].

Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента aназывается наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Пусть a0F, P [x]— кольцо полиномов от x и

P[x]={f(a)*f0P[x]},

т. е. P[a] есть множествовсех выражений вида a+ a1a+...+ anan, где а0, a1,...an0P и n— любоенатуральное число.

Легко видеть, что алгебра +P[a], +, —, ., 1, — подкольцо поля P (a) — является кольцом; это кольцо обозначается символом P [a].

Теорема 1.1. Пусть P[x]— кольцо полиномов от х над P и P(a)— простое расширение поля P. Пусть y— отображение P[x] на P[a] такое, что y(f)=f(a) для любого fиз P[x]. Тогда:

(а) для любого а из Р y(а) = а;

(b) y(x) = a;

(с) yявляется гомоморфизмом кольца P[x] на кольцо P[a];

(d) Ker y={fP[x]*f(a)=0};

(е) фактор-кольцо P[x]/Кег yизоморфно кольцу P[a].

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Далее, по условию, y есть отображение Р[х]на Р[a].Следовательно, y является гомоморфизмом кольца P [x]на кольцо P [a].

Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения y.

Поскольку y — гомоморфизм кольца P [x]на P [a], тофактор-кольцо P[x]/Кег yизоморфно кольцу P [a].

Следствие 1.2. Пусть a— трансцендентный элемент над полем P. Тогдакольцо полиномов P [x]изоморфнокольцу P [a].

Доказательство. В силу трансцендентности a над P Kery={0}. Поэтому P[x]/{0} P [a].Кроме того, фактор-кольцо кольцаP [x]по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x] P [a].

1.2.Минимальный полином алгебраическогоэлемента.

Пусть P [x]— кольцо полиномов над полем P.

Определение. Пусть a— алгебраический элемент над полем P.Минимальным полиномом элемента a, над Pназывается нормированный полином из P[x] наименьшей степени, корнем которогоявляется a.Степень минимального полинома называется степенью элемента aнад P.

Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P, существуетминимальный полином.

Предложение 1.3. Если а —алгебраический элемент над полем P, а gи j— его минимальные полиномы над P, то g=j.

Доказательство. Степени минимальных полиномов gи j совпадают. Если g¹j, то элемент a (степени nнад P) будет корнем полинома g— j,степень которого меньше степени полинома j (меньше n), чтоневозможно. Следовательно, g=j.

Теорема 1.4. Пусть a— алгебраический элемент степени nнад полем P(aóP) и g— его минимальный полином над P. Тогда:

(а) полином gнеприводим в кольце P[x];

(b) если f(a) = 0, где fP[x], то gделит f;

(с) фактор-кольцо P[x]/(g) изоморфно кольцу P[a];

(d) P[x]/(g) является полем;

(е) кольцо P[a] совпадает с полем P(a).

Доказательство. Допустим,что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы j и h, что

g = jh, 1£deg j, degh<deg g = n.

Тогда g(a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) — поле, то j( a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, поусловию, степень элемента a над Pравна п.

Предположим, что f 0 P[x]и f(a) = 0. Поусловию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином gнеприводим, то gделит f.

Пусть j — гомоморфизм кольца P [x]на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в теореме 2.1. В силу (Ь) ядрогомоморфизма y состоит изкратных полинома g, т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a].

Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целостности. Таккак P @ P[a], то фактор-кольцо P также естьобласть целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из Pобратим в P. Пусть f — элемент смежного класса f. Так как f¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином gне делит полином f. Поскольку полином gнеприводим, отсюда следует, что полиномы f и g — взаимно простые. Следовательно, в Р[x]существуют такие полиномы uи v, что uf+ vg=1. Отсюдавытекает равенство uf= 1, показывающее, что элемент fобратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо Pявляется полем.

В силу (с) и (d) P [a] являетсяполем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a).Следовательно, кольцо P [a] совпадает сполем P (a).

1.3.Строение простого алгебраическогорасширения поля.

Теорема1.5. Пустьa— алгебраический над полем P элемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейнойкомбинации nэлементов 1, a, ..., an-1с коэффициентами из Р.

Доказательство. Пусть b— любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P[a]; следовательно, существует в P[x] полиномf такой, что

(1) b= f(a).

Пусть g— минимальныйполином для a над P; в силуусловия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком,существуют в P[x] полиномыhиrтакие, что

(2) f = gh + r, где r = 0 или der r < der g = n, т. е. r=c0+c1x+…cn-1xn-1(ci0P). Полагая в (2) x= а иучитывая равенство (1), имеем

(3) b= c0+c1a+…cn-1an-1

Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейнойкомбинации элементов 1, a, ..., an-1. Пусть

(4) b= d0+d1a+…dn-1an-1 (di 0 P)

—любое такое представление.Рассмотрим полином j

j= (с0– d) + (c1— di.)x+… + (сn-1–dn-1)xn-1

Случай, когда степень j меньше n, невозможен,так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g. Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с0= d,..., сn-1 = dп-1.Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,an-1.

1.4.Освобождение от алгебраическойиррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраическойиррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h— полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a)¹0.Требуется представить элемент f(a)/h(a)/>P(a) в виделинейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a),

где j/>P[x].

Эта задача решается следующим образом.Пусть g— минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полиномнеприводим над Pи h(a) ¹ 0, то gне делит hи, значит, полиномы hи g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x]такиеполиномы uи v, что

uh+vg=1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1)следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u />P[x] и f(a)u(a)/>P[a]. Итак, мыосвободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателедроби

/>.

Решение. В нашем случае a=/>. Минимальным многочленомэтого числа является

p(x)=x3-2.

Многочлены p(x)и g(x)=-x2+x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочленыjи y, что

pj+gy=1.

Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

/>/> -x3-2 -x2+x+1 -x2+x+1 2x-1

/>/>/>/>/>/> x3-x2-x -x-1 -x2+1/2x -1/2x+1/4

/>/> x2+x-2 1/2x+1

x2-x-1 1/2x-1/4

/> 2x-1 />5/4

Таким образом,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2+x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

Таким образом,

y(x)=(2/5x2+1/5x+3/5).

Тогда

y(a)=y(/>)=/>.

Следовательно

/>/>.

2.Составноеалгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство+F, +, {wl½l />P},,

где wl — операция умножения элементов из Fнаскаляр l/>P.

Определение. Расширение Fполя Pназываетсяконечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Этаразмерность обозначается через [F: P].

Предложение2.1. Еслиa — алгебраический элемент степени nнад P, то [P (a):P]=n.

Это предложение непосредственно следует изтеоремы 1.5.

Определение. Расширение Fполя Pназываетсяалгебраическим, если каждый элемент из Fявляется алгебраическим над P.

Теорема2.2. Любоеконечное расширение Fполя P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0.Любые n+1 элементов из Fлинейно зависимы над P. Вчастности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., an, т. е. существуют в Pтакие элементы с0, с1,…,cnневсе равные нулю, что с0×1+ с1a+…+cn an= 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраическиерасширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширениеполя.

Расширение F поля Pназывается составным, если существует

возрастающая цепочка подполей Liполя F такая, что

P = LL1 … Lk= F и k>1.

Теорема2.3. Пусть F— конечное расширение поля L и L—конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

(I) [F: P]= [F :L]@[L: P].

Доказательство. Пусть

(1) a1,…,am — базис поля Lнад P (как векторного пространства) и

(2) b1,…,bn— базис поля F над L. Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l1b1+...+lnbn (lk/>L).

Коэффициенты 1kможнолинейно выразить через базис (1):

(4) lk = p1k a +…+ pmk am (pik/>P).

Подставляя выражения для коэффициентов lkв (3), получаем

d= å pik aibk.

i/>{1,…,m}

k/>{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множестваB, где

B ={ a ibk½{1,..., m},k /> {l,..., n}}.

Отметим, что множество Bсостоит из nmэлементов.

Покажем, что Bесть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества Bлинейно независима. Пусть

(5) åcikaibk = 0,

I,k

где cik/> P. Так как система (2) линейно независима над L, то из (5) следуют равенства

(6) с1ka1+...+сmkam = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a1, ..., amлинейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c1k= 0,…,cmk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5)равны нулю. Таким образом, система элементов Bлинейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F, P]= nm= [F:L]×[L: P].Следовательно,F являетсяконечным расширением поля Pи имеет место формула (I).

Определение.Расширение Fполя Pназывается составным алгебраическим, еслисуществует возрастающая цепочка подполей поля P

P = LL1 … Lk= F и k>1 (1)

такая, что при i= 1,..., kполе Liявляется простым алгебраическимрасширением поля Li-1. Число kназывается длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля Pявляетсяконечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукциейпо длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема2.5. Пустьa1,..., ak — алгебраические над полем Pэлементыполя F. Тогдаполе P(a1,..., ak) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L0= P, L1= P [a1], L2= P [a1, a2,],..., L k = P [a1 ,..., ak].

Тогда L1 = P [a1] есть простое алгебраическое расширениеполя L0; L2 есть простое алгебраическое расширение поля L1, таккак

L2 =P [a1,a2] = (P [a1])[a2] = L1[a2] = L1(a2) и т. д.

Таким образом,

P = LL1 …Lk= F

где Li = Li-1(ai) при i = 1, ..., k, т. е. каждыйчлен цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующегочлена цепочки. Итак, поле Fявляется составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F являетсяконечным расширением поля P .

Следствие2.6. Составноеалгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраическогорасширения поля.

Теорема2.7. Пустьчисловое поле Fесть составное алгебраическое расширение поля P. Тогда Fявляетсяпростым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P L F , причем L = P(a), F = L(b)и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над Pсоответственно для чисел a и b и degf= m, degg= n. Полиномы f и gнеприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле Eкомплексных чисел кратных корней. Пусть

a= a1,..., am — корни полинома f в C и

b= b1 ,..., bn— корни полинома gв C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(ai-a)/(b-bk)½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит,бесконечное), то в Pсуществует число c, отличноеот элементов множества М, c0P(М,cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g ¹ ai +cbk = (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = ai+сbkбыло бы

с = (ai-a)/(b-bk) 0M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F1 = P (g) и F1 — кольцо полиномов от x. Пусть h= f(g — cx) — полином из F1[x] (g, c0P(g) = F1). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов hи gв кольце F1[x].Так как g(b) = 0, то x-b делит gв E[x].Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-bделит полином h в E[x]. Такимобразом, x-b есть общий делитель hи gв кольце E[x].

Докажем, что gи h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что bk, k0{2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(bk) = f(g - сbk) = 0. Следовательно, найдется такойиндекс i0{1 ,..., m}, что g = ai+cbk(k>1), а это противоречит (2). Наосновании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий делитель gи h в E[x].Посколькуx — b — нормированный полином, то отсюда следует,что x — b является наибольшим общим делителем g и hв кольце F1[x]. Поэтому

(x-b) 0 F1[x] и b 0 F1 = P(g).

Кроме того, a = g — cb 0 F1. Таким образом,

F =P(a, b)Ì F1, F1ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как ивсякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P (g), то поле F =P (g)является искомым простымалгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важныхявляется поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическимчислом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительнойстепени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число естьлюбое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема2.8. МножествоAвсех алгебраических чисел замкнуто вкольце E= +С, +, —, •, 1,комплексных чисел. Алгебра A= +А, +, —, •, 1,является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть aи b— любыеэлементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b)являетсяалгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е.принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнутоотносительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A— подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a-1 0 Q (a, b)и поэтому а-1принадлежит А. Следовательно, алгебра Aесть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A= +А, +, —, •, 1, называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a=/>/> являетсяалгебраическим. Решение.Из a=/>/> следуетa-/>/>.Возведем обе части последнего равенства в третью степень:a3-3a2/>9a-3/>=2

или

a3+9a-2=3/>(a2+1).

Теперь обе части равенствавозводим во вторую степень:

a6+18a4+81a2-4a3-36a+4=27a4+54a2+27

или

a6-9a4-4a3+27a2-36a-23=0.

Таким образом aявляется корнем многочлена

f(x)=a6-9a4-4a3+27a2-36a-23=0

с рациональнымикоэффициентами. Это значит что a—алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поляалгебраических чисел.

Теорема2.9. Полеалгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A [x]— кольцо полиномов от xнад полем Aалгебраических чисел. Пусть

f= а0+ а1x+… + аnхn (а0,…, аn A)

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с,что f(с) = 0. Пусть L= Q(а0,..., аn) и L (с) —простоеалгебраическое расширение поля L с помощью с. Тогда Q L L (c) есть конечное алгебраическое расширениеполя L. По теореме 2.2, L есть конечное расширение поля Q. В силутеоремы 2.3 L (с)является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L(с)является алгебраическимрасширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A[x]положительнойстепени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраическизамкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x]многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должныиметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степениf(x) не можетиметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь месторавенство f'(x) = 0.

Положим

n n

f(x) =3anxn fN(x) =3nanxn-1

0 1

Таккак fN(x) = О, внуль должен обращаться каждый коэффициент:

nan= 0 (n= l, 2, ..., n).

Вслучае характеристики нуль отсюда следует, что an = 0 для всех n ¹ 0.Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случаеже характеристики p равенства nan = 0 возможны и для n ¹ 0, но тогдаобязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Такимобразом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должныобращаться в нуль, за исключением тех anxn, для которых nº0(p), т. е. f(x) должен иметь вид

f(x) = a0+apxp+a2px2p+…

Обратно: если f(x) имеет такой вид, то fN(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j(xp).

Тем самымдоказано утверждение: В случаехарактеристики нуль неразложимый в D[x]многочлен f(x) имеет только простыекорни, в случае оке характеристики pмногочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корнитогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от xp.

В последнем случае может оказаться, что j(x) всвою очередь является многочленом от xp. Тогда f(x)является многочленом от xp2. Пусть f(x) —многочлен от xpe

f(x) = y( xpe),

ноне является многочленом от xpe+1.Разумеется, многочлен y(у)неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y(у) имел бывид c(ур) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде c(хpе+1), чтопротиворечит предположению. Следовательно, y(у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширенииосновного поля на линейные множители: m

y(y) = J(y-bi).

Тогда

f(x) =J( xpe -bi)

Пусть ai—какой-нибудь корень многочлена xpe-bi. Тогда xipe= bi,

xpe -bi= xpe – aipe= (x-ai)pe.

Следовательно,aiявляется ре-кратным корнем многочлена xpe -bi и

f(x)= J( x -ai)ре.

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность ре.

Степень m многочлена y называетсяредуцированной степенью многочлена f(x) (или корня ai);число e называется показателем многочлена f (x)(или корня ai)над полем D. Между степенью, редуцированной степенью ипоказателем имеет место соотношение

n = m ре,

гдеm равно числу различных корней многочлена f(x).

Если q — корень неразложимого в кольце D[x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то q называется сепарабельным элементом над D илиэлементом первого рода над D1). При этом неразложимый многочлен, все корни которогосепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элементq и неразложимый многочлен f(x)называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второгорода. Наконец, алгебраическое расширение S, все элементыкоторого сепарабельны над D, называется сепарабельным над D, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимыймногочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) являетсясепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересныхрасширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще неимеющих несепарабельных расширений (так называемые «совершенные поля»). По этойпричине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширенияминабрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение S = D (q). Когда степень n уравнения f(x) =0, определяющего это расширение, равна степени (S: D), редуцированная степень m оказывается равной числуизоморфизмов поля S в следующем смысле: рассмотрим лишь такиеизоморфизмы S@S', прикоторых элементы подполя D остаются неподвижными и, следовательно, S переводится в эквивалентное поле S' (изоморфизмы поля S над полем D) и при которых поле-образ S' лежит вместе с полем S внутри некоторого общего дляних поля W. В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля Wрасширение S=D(q) имеет ровно mизоморфизмов над Dи при любом выборе поля Wполе Sне можетиметь более mтаких изоморфизмов.

Доказательство. Каждыйизоморфизм над D должен переводить элемент q в сопряженный с ним элемент q' из W. Выберем W так, чтобы f(x) разлагалсянад W на линейные множители; тогда окажется, что элемент q имеет ровно m сопряженных элементов q,q',… При этом, как бы ни выбиралось поле W, элемент q не будет иметь в нем более m сопряженных.Заметим теперь, что каждый изоморфизм D(q)@D(q') над D полностьюопределяется заданием соответствия q®q'. Действительно, если q переходит в q' и все элементы из D остаются на месте, то элемент

3akqk (ak0D)

долженпереходить в

3akqNk

аэтим определяется изоморфизм.

В частности, если q — сепарабельный элемент, то m = n и,следовательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля,в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) =0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве W можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление«внутри некоторого W» во всех предложениях об изоморфизмах. Так всегдапоступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактныхполей можно построить такое поле W.

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение Sполучается из D последовательным присоединением m

алгебраическихэлементов a1,..., am, причем каждое из ai,- является корнем

неразложимогонад D(a1, ..., ai-1) уравнения редуцированной степени n'i, то

m

расширениеSимеет ровно Õni¢ изоморфизмов над Dи ни в одном

расширениинет большего числа таких изоморфизмов поля S.

Доказательство. Для m = 1теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения S1 = D(a1, ..., am-1): в некотором подходящем расширении

m-1

W1 есть ровно Õ ni¢ изоморфизмов поля S над D.

1 m-1

ПустьS1®S1— один из этих Õ ni¢ изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образомвыбранном поле W он может быть продолжен до изоморфизма S = S1 (am) @ S= S(am) не более чем n¢m способами.

Элемент amудовлетворяет некоторому уравнению f1(x) = 0 над S1 с n¢m различными корнями. С помощью изоморфизма S1®S1многочленf1(x) переводится в некоторый многочлен f1(x). Но тогда f1(x) в подходящем расширении имеет опять-таки n¢m различных корней и небольше. Пусть am—один из этих корней. В силу выбора элемента am изоморфизм S1@S1продолжается до изоморфизма S (am) @ S (am) с am®am одним итолько одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

åckamk ®å ckamk

Таккак выбор элемента amможет быть осуществлен n'm способами, существует n'mпродолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å1®å1

Таккак в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран

m-1

Õ n'i способами,

товсего существует (в том поле W, в котором содержатся все корнивсех рассматриваемых уравнений)

m-1 m

Õ n'i×n'm = Õ n'i

1 1

изоморфизмоврасширения S над полем D, что и требовалосьдоказать.

Если ni — полная (нередуцированная) степень элемента ai над D (a1,...,ai-1), то ni равно степенирасширения D (a1,…, ai) поля D(a1,…, ai-1);

следовательно,степень (S: D) равна

Õ n'i .

Еслисравнить это число с числом изоморфизмов

Õ n'i .

тополучится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения S= D(a1,…, am) над D(в некоторомподходящем расширении W) равно степени (S: D) тогда итолько тогда, когда каждый элемент aiсепарабелен над полем D(a1,…, ai-1).Если же хотя бы один элемент aiнесепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степенирасширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всеготеорема утверждает, что свойство каждого элемента ai бытьсепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения S независимо от выбора порождающих элементов ai. Так какпроизвольный элемент b поля может быть взят в качестве первого порождающего,элемент b оказывается сепарабельным, если все aiявляются таковыми. Итак:

Если к полю D последовательно присоединяются элементы ai,… ,anи каждый элемент ai оказывается сепарабельным над полем, полученнымприсоединением предыдущих элементов a1, a2 ,…,ai-1 торасширение

S = D(a1,… ,an)

сепарабельнонад D.

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабедьных элементов сепарабельны.

Далее, если b сепарабелен над S, а поле S сепарабельно над D, то элемент b сепарабелен над D. Это объясняется тем, что b удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов a1,… ,amиз S и, следовательно, сепарабелен над D (a1,… ,am).Тем самым сепарабельно и расширение

D (a1,..., am,b).

Наконец, имеет место следующее предложение: числа изоморфизмов конечногосепарабельного расширения S над полем D равно степени расширения (S: D).

4. Бесконечные расширения полей.

Каждое поле получается из своего простогоподполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В этой главе рассматриваютсябесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем —трансцендентные.

4.1. Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширенийзаданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраическиерасширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраическогорасширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящемпараграфе.

Чтобы поле W было максимальным алгебраическим расширением,необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца W[x]полностьюразлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным.Действительно, если каждый многочлен в W[x]разлагается на линейные множители,то все простые многочлены в W[x] линейны и каждый элемент любого алгебраическогорасширения W' поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x— aв W[x], т. е. совпадает с некоторым элементом aполя W.

Поэтому дадим следующее определение:

Поле Wназывается алгебраически замкнутым, еслилюбой многочлен в W[x] разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково:поле W,алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из W[x] обладает в W хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в W[x].

Действительно, если такое условиевыполнено и произвольно взятый многочлен f(x) разлагается на неразложимые множители, товсе они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает,что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примеромалгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексныхалгебраических чисел, т. е. множество тех комплексных чисел, которыеудовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексныекорни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом делеалгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полемрациональных чисел, т. е. сами являются алгебраическими числами.

Здесь мы покажем, как построитьалгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежитследующая

Основная теорема. Для каждогополя P существует алгебраически замкнутоеалгебраическое расширение W. С точностьюдо эквивалентности это расширение определено однозначно: любые дваалгебраически замкнутых алгебраических расширения W, W' поля Pэквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должныпредпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть W, — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условиемдля того, чтобы Wбылоалгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любогомногочлена из P[x]в кольце W[x].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольный многочлен из W[x]. Еслион не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый егокорень a и прийти к собственному надполю W'. Элемент aявляется алгебраическим над W, а W являетсяалгебраическим расширением поля P;следовательно, элемент aалгебраичен и над Р. Поэтому он являетсякорнем некоторого многочлена g(x) из P[x].Этот многочлен разлагается в W[x]налинейные множители. Следовательно, a —корень некоторого линейного множителя в W[x], т.е. принадлежит полю W, чтопротиворечит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо многочленов P[x]может бытьвполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

Доказательство. Определимотношение порядка между многочленами f(x) из P[x]следующим образом: пусть f(x)<g(x),когда выполнено одно из условий:

1) степень f(x) меньше степени g(x);

2) степень f(x) равна степени g(x) и равна n, т.е.

f(x) = а0хn+ ...+ аn, g(x) = bхn+… + bn

и при некотором индексе k:

аi= bi для i<k,

ak<bk, в смысле упорядочения поля Р.

При этом для многочлена 0 делаетсяисключение: ему присваивается степень 0. Очевидно, что таким способомполучается некоторое упорядочение, в смысле которого P[x] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустоммножестве многочленов есть непустое подмножество многочленов наименьшейстепени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое подмножествомногочленов, коэффициент а0 которых является первым в смыслеимеющегося порядка среди свободных членов рассматриваемых многочленов; вуказанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым а1и т. д. Подмножество с первым аn которое в конце концов получится, может состоять лишь изодного-единственного многочлена (так как а0, ..., аnопределяются однозначно благодаряпоследовательновыполняемому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первымэлементом в заданном множестве.

Лемма 3. Если поле Pвполне упорядочено и заданы многочлен f(x) степениnи nсимволов a1 ..., an то поле P(a1,..., an),в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители

Õ(x-ai), строится единственным образом и является вполне

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

Доказательство. Мы будем присоединять корни a1 ..., an последовательно,вследствие чего из P = Р0последовательно будутвозникать поля Р1, ..., Рn. Предположим, что Рi-1= P(a1 ..., ai-1) — ужепостроенное поле и что P — отрезок в Рi-1; тогда Рiбудет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцомногочленов Рi-1 [x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимыемножители, среди которых на первом месте будут стоять x— a1,..., x— ai-1; среди остальных множителейпусть fi(x) будет первым в смысле имеющегося порядка.Вместе с символом ai обозначающим корень многочлена fi(x), мы определяем поле Рi= Pi-1 как совокупность всех сумм

h-1

å clali

где h —степень многочлена fi(x). Если fi(x) линеен,то, конечно, мы полагаем Рi= Pi-1; символ aiв этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается спомощью следующего условия: каждому элементу поля

h-1

å clali

сопоставим многочлен

h-1

å clxli

и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядоченысоответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Рi-1 является отрезком в Рi, а потому и P — отрезок в Рi.

Тем самым поля Р1 ,..., Рn построены н вполне упорядочены. Поле Рn является искомым однозначно определеннымполем P(a1,..., an).

Лемма 4. Если в упорядоченноммножестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, тообъединение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля Sa, Sb, которыесодержат a, и b и из которыходно предшествует другому. В объемлющем поле определены элементы a + b и a×b и именно такопределяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому иявляется его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциативности

ab • g = a • bg,

найдем среди полей Sa, Sb, Sg то,которое содержит два других поля (наибольшее); в этом поле содержатся a, b и g и в нем законассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правилавычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремыраспадается на две части: построение поля W и доказательство единственности.

Построение поля W.. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построенияалгебраически замкнутого расширения W поля P достаточно построить такое алгебраическоерасширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р[x]разлагался над этим расширением на линейные множители.

Будем считать, что поле Р, а потому икольцо многочленов P[x], вполнеупорядочены. Каждому многочлену f(x) сопоставим столько новых символов a1,..., an какова его степень.

Далее, каждому многочлену f(x) сопоставимдва вполне упорядоченных поля Рf, Sf,которые определяются следующим рекуррентным способом.

1. Поле Рf является объединением поля Р и всех полей Sg для g<f.

2. Поле Рf вполне упорядочивается так, чтобы Р ивсе поля Sg при g<f были отрезками в Рf

3. Поле Sf получается из Рf присоединением всех корней многочлена f с помощью символов a1,..., anв соответствии с леммой 3.

Нужно доказать, что таким способомдействительно однозначно определяются вполне упорядоченные поля Рf, Sf, если толькоуже определены все предыдущие Рg, Sgперечисленным выше требованиям.

Если выполнено требование 3, то преждевсего Рf— отрезок в Sf. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р икаждое поле Sg(g<f) являются отрезками в Sf. Предположим, что рассматриваемыетребования выполнены для всех предыдущих индексов f, так что

Р — отрезокв Sh при h<f,

Sg—отрезок в Sh при g<h<f.

Отсюда следует, что поле Р и поля Sh (h<f)составляют множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно,объединение этих полей снова является полем, которое в соответствии стребованием 1 мы должны обозначить через Рf. Структура вполне упорядоченного поля на Рf однозначно определяется требованием 2, потому что любые дваэлемента а, bиз Рf, принадлежат одному из полей Р или Sg и поэтому связаны отношением a<bили а>b, которое должно сохраняться в Рf. Эго отношение порядка является одним и тем же во всехполях Р или Sg, которые содержат как а, так и b, потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак,отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное множество,очевидно, так как каждое непустое множество x в Рf содержит по меньшей мере один элемент из Рили из некоторого поля Sg, апотому и первый элемент из x Ç Р или из x Ç Sg. Этот элемент одновременно является ипервым элементом в x.

Таким образом, поле Рf вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так какполе Sf, однозначно определяется требованием 3,поля Рf иSf построены.

В силу условия 3 многочлен f(x) полностьюразлагается на линейные множители в поле Sf. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, чтоSf является алгебраическим над Р. Действительно, предположим,что все поля Sg(g<f) ужеалгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т.е. поле Рf, алгебраическое. Далее, поле Sf в силу условия 3 алгебраично над Рf, а потому алгебраичнои над Р.

Составим теперь объединение W всех полей Sf; согласно лемме 4 оно является полем. Этополе алгебраично над Р и над ним разлагаются все многочлены f (так как каждый многочлен f разлагается уже над Sf). Следовательно, поле W алгебраически замкнуто (лемма 1).

Единственность поля W. Пусть W и W'— два поля, являющиеся алгебраическими иалгебраически замкнутыми расширениями поля Р. Докажем эквивалентность этихполей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построим длякаждого отрезка Â из W (само поле W также считается одним из таких отрезков) подмножество Â¢ в W' и некоторый изоморфизм

P(Â) @ Р(Â¢).

Последний должен удовлетворять следующимрекуррентным соотношениям.

1. Изоморфизм P(Â) @ Р(Â¢) должен оставлять каждый элемент поля Р на месте.

2. Изоморфизм P(Â) @ Р(Â¢) при ÁÌ Â должен быть продолжением изоморфизма Р(Á) @Р(Á').

3. Если Â обладает последним элементом a, так что Â = ÁÈ{a}, и если а — корень неразложимого в Р (Á) многочлена f(x), то элемент а' долженбыть первым корнем соответствующего в силу Р(Á) @Р(Á'), многочлена f¢(x) вовполне упорядоченном поле W'.

Нужно показать, что этими тремятребованиями действительно определяется изоморфизм P(Â) @ Р(Â¢), если только он уже определен для всехпредыдущих отрезков ÁÌ Â. Здесь необходимо различать два случая.

Первый случай. Множество Â не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежитнекоторому предыдущему отрезку Á;поэтому Â является объединением отрезков Á, а потому Р(Â) — объединением полей Р(Á) для ÁÌ Â. Так каккаждый из изоморфизмов Р(Á)@Р(Á') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу a при всех этих изоморфизмах сопоставляетсялишь один элемент a'. Поэтомусуществует одно и только одно отображение P(Â) →Р(Â¢), продолжающеевсе предыдущие изоморфизмы Р(Á)→ Р(Á'), аименно —отображение a®a'. Очевидно,оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.

Второй случай. Множество Â имеет последний элемент а; следовательно, Â =ÁÈ{а}. Вследствие требования 3 элемент а', сопоставляемыйэлементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р(Á') (в смысле рассматриваемого изоморфизма)удовлетворяет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р(Á), то изоморфизм Р(Á)→Р(Á') (и в том случае, когда Á пусто, т. е. тождественный изоморфизм Р®Р) продолжается до изоморфизма Р(Á, a) ®Р(Á', a¢), при котором а переходит в а'.Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно,потому что каждая рациональная функция j(а) с коэффициентами из Â обязательно переходит в функцию j'(а') с соответствующимикоэффициентами из Á'. То,что так определенный изоморфизм P(Â) ® Р(Â¢) удовлетворяет требованиям 1 и 2,очевидно.

Тем самым построение изоморфизма P(Â)→Р(Â¢) завершено. Обозначим через W" объединение всех полей Р(Â¢); тогда существуетизоморфизм Р(W)®W" или W®W", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле W алгебраически замкнуто, таким же должно быть и W", а потому W" совпадает со всем полем W¢. Отсюдаследует эквивалентность полей W и W¢.

Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит втом, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраическиерасширения этого поля. Точнее:

Если W —алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и S— произвольное алгебраическоерасширение поля Р, то внутри W существует расширение S0, эквивалентноерасширению S.

Доказательство. Продолжим S до некоторого алгебраически замкнутого алгебраическогорасширения W'. Оно будет алгебраическим и над Р, апотому эквивалентным расширению W. При каком-то изоморфизме, переводящем W' в W и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле S переходит в некоторое эквивалентное емуподполе S0 в W.

4.2.Простые трансцендентные расширения.

Каждое простое трансцендентноерасширение поля D, как мы знаем,эквивалентно полю частных D(x)кольца многочленов D[x]. Поэтому мы изучим это поле частных

W = D(x).

Элементами поля W служат рациональные функции

h =f(x)/g(x).

Это представление можно считатьнесократимым (f и gвзаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g(х) называется степенью функции h.

Теорема. Каждый отличный отконстанты элемент h степени птрансцендентен над D и поле D(x) — алгебраическое расширение поля D(h) степени п.

Доказательство.Представление h= f(х)/g(х) будем считать несократимым. Тогда элемент худовлетворяет уравнению

g(x)×h— f(x)=0

с коэффициентами из D(h). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно,если бы все они равнялись нулю и akбыл бы при той же степени х любым ненулевым коэффициентоммногочлена g(x), а bk— ненулевым коэффициентом многочлена f(x),то должно было бы иметьместо равенство

akh— bk= 0

откуда h = bk/ak =const, чтопротиворечит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над D(h).

Если бы элемент h был алгебраическим над D, то и х был бы алгебраическим над D, что, однако, не так. Следовательно,элемент h трансцендентен над D.

Элемент х является корнеммногочлена степени n

g(z)h— f(z)

в кольце D(h)(z).Этотмногочлен неразложим в D(h)[z], потому что иначе он был бы разложим п в кольце D[h, z], и, так как он линеен по h, один из множителей должен был бы зависеть не от h, а лишь от z. Но такого множителя не может быть, потомучто g(z) и f(z)взаимно просты.

Следовательно, элемент х являетсяалгебраическим степени п над полем D(h). Отсюдаследует утверждение о том, что (D(x): D(h)) = n

Для дальнейшего отметим, что многочлен

g(z)h— f(z)

не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в D[z]). Это утверждение остается верным, когдаh заменяется своим значением f(х)/g(х) иумножается на знаменатель g(х) тем самым многочлен

g(z)f(x)- f(z)g(x)

кольца D[x, z] не имеет множителей, зависящих только от z.

Из доказанной теоремы вытекают триследствия.

1. Степень функции h— f(х)/g(х) зависит лишь от полей D(h) и D(x), а не от того или иного выбора порождающего элемента х.

2. Равенство Д (h) = D(х) имеет место тогда и только тогда, когда h имеет степень 1, т. е. являетсядробно-линейной функцией. Это означает: порождающим элементом поля, кроме элемента х, может служить любая дробно-линейная функция от xи только такая функция.

3. Любой автоморфизм поля D(х), оставляющий на месте каждый элемент поля D, долженпереводить элемент xвкакой-либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится вкакой-либо порождающий элемент х = (ax+b)/(cx+d) и каждая функция j(х)— в функцию j(х), то получается автоморфизм, прикотором все элементы из D остаются наместе. Следовательно,

Всеавтоморфизмы поля D(x) над полем Dявляются дробно-линейными подстановками

x =(ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Важной для некоторых геометрических исследованийявляется

Теорема Люрота. Каждоепромежуточное поле S, для которого DÌSÍD(x),является простым трансцендентным расширением: S= D(q).

Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим надS, потому что если h — любой элемент из S не принадлежащий полю D, то, как было показано, элемент хявляется алгебраическим над D(h) и тем более алгебраическим над S. Пусть неразложимый в кольце многочленов S[z]многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем x имеет вид

f0(z)= zn+a1zn-1+…+an. (1)

Выясним строение этого многочлена.

Элементы ai являются рациональными функциями от x. С помощью умножения на общий знаменательих можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получитьмногочлен относительно x с содержанием1:

f(x, z) =b0(x)zn+b1 (x)zn-1+…+bn(x).

Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по z — через п.

Коэффициенты ai= bi/ b0 из (1) не могут все быть независимыми от х,так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над D; поэтому один из них, скажем,

q = ai = bi(x)/ b0(x),

должен фактически зависеть от х;запишем его в несократимом виде:

q = g(x)/h(x)

Степени многочленов g(х) и h(х) не превосходят т. Многочлен

g(z)- qh(z)= g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(не являющийся тождественным нулем) имееткорень z= x, апотому он делится на f(z) в кольцеS[z]. Еслиперейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х многочленамс содержанием 1, то отношение делимости сохранится, и мы получим

h(x)g(z)-g(x)h(z)= q(x, z)f(x, z).

Левая часть в этом равенстве имеет степеньпо х, не превосходящую т. Но справа уже многочлен f имеет степень т; следовательно,степень левой части в точности равна т и q(х, z) не зависит от х. Однако зависящийлишь от zмножитель не может делить левую часть (см.выше); поэтому q(х, z) являетсяконстантой:

h(x)g(z)-g(x)h(z)= qf(x, z).

Так как присутствие константы qроли не играет, строение многочлена f(х, z) описанополностью. Степень многочлена f(х, z) по х равна т следовательно (по соображениямсимметрии), и степень по zравна т,такчто m= п. По меньшей мере одна из степенеймногочленов g(x) и h(х) должнафактически достигать значения m, следовательно, и функция q должна иметь степень т по х.

Тем самым, так как с одной стороныустановлено равенство

(D(х):D(q))= т,

а с другой — равенство

(D(x):S)= m;

то, поскольку S содержит D(q),

(S: D(q)) =1,

S = D(q).

Заключение.

В даннойкурсовой работе рассмотрены основные алгебраические расширения полей,во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую поля играют в современнойматематике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия.

В курсовой работе были рассмотрены следующие видырасширений числового поля P:

Ø Простое алгебраическое расширение поля.

Ø Составное алгебраическое расширение поля.

Ø Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Ø Бесконечные расширения полей.

Анализируя работу можно сделать некоторые выводы.

Из рассмотренных в первых двух частях расширений,таких как:

1) простые алгебраические расширения;

2) конечные расширения;

3) составные алгебраические расширения.

Следует, что все эти виды расширений совпадают и, вчастности, исчерпываются простыми алгебраическими расширениями поля P.

Литература