Реферат: Однополостный гиперболоид
Министерство высшего образования РоссийскойФедерации
Московскийгосударственный строительный университет
РЕФЕРАТ
На тему:
“Однополостный гиперболоид”
Факультет: ПГС
Группа: №15
Студент: Муравицкий А.С.
Преподаватель:Ситникова Е.Г.
Москва
2003
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системекоординат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. К нимотносится однополосный гиперболоид.
Однополосныйгиперболоид.
Однополосным гиперболоидомназывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координатопределяется уравнением
/> (1)/>
Из уравнения (1) вытекает, что координатныеплоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центромсимметрии однополостного гиперболоида.
Уравнение (1) называется каноническим уравнениемоднополосного гиперболоида.
Если однополостныйгиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотримсечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
/> и />
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
/>/> Теперь рассмотрим сечения данногогиперболоида плоскостями z=h,параллельными координатной плоскости Oxy. Линия,получающаяся в сечении, определяется уравнениями
/> или />
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями /> и />,
достигающими своих наименьших значений при h=0,т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxyполучается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании /> величиныa* и b* возрастают бесконечно.
/>
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразитьоднополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся помере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b,c называются полуосями однополосного гиперболоида.
/>
Исследованиеповерхности методом параллельных сечений.
Суть методазаключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями,параллельными координатным плоскостям.
Рассмотрим линии пересечения с плоскостями,параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут получаться изуравнения плоскости, в котором z будет заменена на некотороечисло, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядногопредставления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY. Изображения кривыхпредставлены выше.
Величины a, b, cназываются полуосями однополосного гиперболоида. Если a=b, тогиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с вокругмнимой оси 2с.
Одним из примеров такой поверхностиявляется конструкция радиобашни построенной по принципусетчатых конструкций на Шаболовке (г. Москва),Владимиром Григорьевичем Шуховым в 1919 — 1922 гг.Впрошедшем году исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне — символу советскоготелевидения 40-60-х годов.
Список использованной литературы:
1.ШипачёвВ.С.: «Высшая математика»
2.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»
3.И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математикедля инженеров и учащихся ВТУЗОВ»