Реферат: Механические колебания в дифференциальных уравнениях
Министерство образования Российской Федерации
Магнитогорский государственный технический университетим. Г.И. Носова
РЕФЕРАТ
на тему:
“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”
Выполнил:студент гр. МХТ-02
Казаков Василий Васильевич
Проверила:
Абрамова Ирина Михайловна
Магнитогорск 2003
Содержание
1) Гармоническиеколебания
2) Затухающиеколебания
3) Вынужденныеколебания без учета сопротивления среды
4) Вынужденныеколебания с учетом сопротивления среды
Колебаниями называются процессы,которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательныепроцессы широко распространены в природе и технике, например качания маятникачасов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятникаизменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблютсянапряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однакоразличные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками иодинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называютсяколебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса(косинуса).
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальнойпружине, длина которой в естественном состоянии равна />. Груз слегка оттянут книзу изатем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины исопротивлением воздуха.
/>Решение
Направим ось Ох вниз по вертикальнойпрямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем вположении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес грузауравновешивается силой натяжения пружины.
/>Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е.расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст+х, или l-lст=х.
Дифференциальное уравнение получим извторого закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных кгрузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружиныи силы тяжести.
По закону Гука сила натяженияпружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl,где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.
/>
Так как в положении равновесия сила равновесиясила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст.Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l-lст через х, получится уравнение в виде:
/>
или, обозначив с/m через k2,
/> (1)
Полученное уравнение определяет такназываемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармоническогоосциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка спостоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
/>
имеет мнимые корни />, соответственно этому общее решение
/>
Для выяснения физического смысларешения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные.Умножив и разделив на />, получим:
/>
Если положить
/> /> />
то
/> (2)
График гармонических колебаний имеет вид:
/>
Таким образом, груз совершает гармонические колебания околоположения равновесия.
ВеличинуА называют амплитудойколебания, а аргумент /> — фазойколебания. Значение фазы при t=oт.e. величина />, называется начальной фазойколебания.Величина /> есть частотаколебания.Периодколебания /> ичастота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с= Р/lст= mg/lст, то для периода можнополучить также формулу:
/>
Скоростьдвижения груза получается дифференцированием решения по t:
/>
Дляопределения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия.Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=xи скорость u=u. Тогда /> />, откуда
/>, />
Изформул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периодасобственных колебаний они зависят от начального состояния системы. Приотсутствии начальной скорости (u=0) амплитуда А=х0,а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,
/> или />
Затухающие колебания.
Затухающимиколебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергииреальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закондвижения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха,которое пропорционально скорости движения.
Решение
Ксилам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха /> (знак минус показывает,что сила Rнаправлена противоположно скорости u).Тогда дифференциальноеуравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид
/>
илиесли положить />, />, то
/> (3)
Этоуравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка спостоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
/>
имееткорни
/> (4)
Характердвижения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая.Рассмотрим сначала случай, когда />. Это неравенство имеет место,когда сопротивление среды невелико. Если положить />, то корни (4) имеют вид />. Тогда общее решение можнозаписать в виде
/>
или, преобразовав, умножая и деля на />, получим:
/>
положим,что
/> /> />,
тогда
/> (5)
График зависимости отклонения от положения равновесияот времени имеет вид:
/>
Еслизаданы начальные условия: /> при t= 0, то можно определить Аи a.Для этого находим
/>
и подставляем t = 0 в выражения для />и/> получим систему уравнений
/>
Разделеливобе части второго уравнения на соответствующие части первого получим
/>
откуда
/> или /> а />
Так как
/>
то
/>
Решение(5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно,амплитуда колебания /> зависит от времени иявляется монотонно убывающей функцией, причем /> при />.
Периодзатухающих колебаний определяется по формуле
/>
Моментывремени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат(положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равнойполупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающуюгеометрическую прогрессию со знаменателем, равным /> или/>. Эта величина называется декрементомзатуханияи обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD= — пТ/2 называетсялогарифмическим декрементом затухания.
Частотаколебаний />в этом случае меньше,нежели в предыдущем (/>), но, как и там,не зависит от начального положения груза.
Еслисопротивление среды велико и />, то, положив />, получим корни (4) в виде /> Так как />, то оба корня отрицательны.Общее решение уравнения в этом случае имеет вид
/> (6)
Отсюдавидно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичныйхарактер будет иметь движение и в случае />, когда общее решениеимеет вид
/> (7)
Легко заметить, что в обоих последних случаяхпри /> имеем />.
Еслизаданы начальные условия /> и/>, то в случае, когда />, имеем />,а />. Решая эту системуотносительно /> и />, получим
/>, />
и,следовательно
/>
/>
В случае же,когда />, получаем />, /> и следовательно,
/>
Вынужденные колебания без учета сопротивлениясреды.
Вынужденнымиколебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.
Пустьгруз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженномсостоянии равна />. На груз действует периодическая возмущающаясила /> где Q и р — постоянные.Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.
Решение
Каки для гармонических колебаний, получаем уравнение
/>
Полагая, каки прежде, /> и, кроме того, /> перепишем уравнение ввиде
/> (8)
Это—неоднородноелинейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причемоднородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1).Поэтому />; остается найти х. Еслипредположить, что />, то частноерешение х, нужно искать в виде />,где М иN— коэффициенты, подлежащие определению. Итак,
/>/>
Производявычисления, получаем
/> />
откудаМ=0 и /> Полученное таким образомчастное решение
/> (9)
определяеттак называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой />. Вынужденные колебания,имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е.имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются наp, если k<p, т. е. если N<0.
Закондвижения представляется общим решением
/>. (10)
Онослагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешнейвозмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутреннимипричинами: жесткостью пружины и массой груза.
Еслизаданы начальные условия: /> и/>, то можно определить произвольные постоянные Аи u. Для этого продифференцируем функцию (10):
/>
иподставим в выражения х и /> значение аргумента t = 0; получим систему уравнений относительно A и a:
/>
Преобразуем её так:
/>
возведемв квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда
/>
Длянахождения a разделим обе части первого уравнения на соответствую-щие частивторого; получим
/>
откуда
/>
приэтом />, />
Итак,искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям,является функция
/>
или
/>
Частноерешение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено впредположении, что />, т. е. что частотавнешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же />, то дело будет обстоятьсовсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде
/> (11)
Частноерешение следует искать в форме
/>,
гдеМ и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,
/>/>
откудаполучаем />, />, и следовательно, частноерешение имеет вид
/>
Общеерешение в этом случае
/> (12)
Найдем/> и подставим в выражения х и /> значение t=0; получим
/>
/>
/> или />
Изпоследних двух равенств находим
/>, />
откуда
/> /> />
Перепишемобщее решение так:
/>
тогдаискомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,запишется в виде.
/>
Выражение(12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний /> в этом случае может статьнеограниченно большой даже тогда, когда qневелико. Иначе говоря,возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах.Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс наступает тогда,когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.
Впрочем,в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым.Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частотамплитуда /> может быть оченьбольшой, хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностьюсоздания колебаний с значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях,например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе случаев появлениебольших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций(скажем, мостов или перекрытий).
Вынужденные колебания с учетом сопротивлениясреды.
Найдемзакон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопротивлениясреды, пропорционального скорости движения.
Решение
Каки выше, имеем
/>
илиположив/>, />и />
/> (13)
Однороднымуравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнямихарактеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление средыневелико, т. е. />. При этом общее решениеоднородного уравнения имеет вид (5):
/>
где />. Это решение определяет свободные колебания,которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частноерешение в виде
/>
Имеем:
/> />
Сравниваякоэффициенты, получаем систему
/>
Таккак
/> />
/>/> /> /> />/>/>
то
/> и />
имы находим частное решение
/>
Преобразуемвыражение /> следующим образом:
/>.
Обозначив
/>
/> /> (14)
перепишем/> виде
/> (15)
Выражение
/> (16)
носитназвание сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче,слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)]исобственновынужденных колебаний (15):
/> (17)
Первоеслагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые,особенно при большом />, довольно скоростановятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то ихамплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодическоговозмущения, так как />. Онаотличается от qмножителем
/> (18)
характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.
Определиммаксимум этой амплитуды. Для этого найдем производную функции (18)
/>
Положив/>, получим уравнение /> (случай р = 0 отбрасывается как невозможный), корень которого дает частоту внешних сил:
/>
при которой, как показывает проверка достаточных условийэкстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальноезначение амплитуды равно
/> (19)
Формула(19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. Прималых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.
Решение (15) существует всегда, когда
/>
Вслучае />получаем p=kи n= 0, и уравнение (13)превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, прикотором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).