Реферат: Матричный анализ
Курс лекций по дисциплине
«Матричныйанализ»
для студентов IIкурса
математическогофакультета специальности
«Экономическаякибернетика»
(лекторДмитрук Мария Александровна)
/>
Глава 3. Функции от матриц.
1. Определение функции.
Df. Пусть />–функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е.нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.
Решениеэтой задачи известно, когда f(x) – многочлен: />,тогда />.
Определение f(A) в общем случае.
Пустьm(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение />, />, />– собственные значения А.Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.
Пустьg(A)=h(A) (1), тогда многочленd(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно,d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Тогда/>, т.е. />(3), />, />, />.
Условимсяm чисел для f(x) таких /> называтьзначениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будемобозначать />.
Еслимножество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицыА.
Из(3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектрематрицы А.
Наширассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, тозначение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена наспектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковыезначения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A).Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому жепринципу.
Значенияфункции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е.функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то жематричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае,достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектреА, что и функция f(A)=g(A).
Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, тоf(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что иf(A), />
Df. Значением функции от матрицы А назовемзначение многочлена от этой матрицы при />.
Средимногочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, чтои f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А,что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те жезначения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочленm(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).
Этотмногочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра дляфункции f(x) на спектре матрицы А.
Замечание. Еслиминимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. />, то значение функции наспектре />.
Пример:
Найтиr(x) для произвольной f(x), если матрица
/>. Построим f(H1). Найдем минимальныймногочлен H1 – последний инвариантный множитель [xE-H1]:
/>, dn-1=x2; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xnÞ0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратныесобственные значения H1.
/>, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0)Þ/>.
2. Свойства функций от матриц.
Свойство № 1. Если матрица />имеетсобственные значения /> (среди них могутбыть и кратные), а />, то собственнымизначениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): />.
Доказательство:
Пустьхарактеристический многочлен матрицы А имеет вид:
/>,/>, />. Посчитаем />. Перейдем от равенства копределителям: />/>
Сделаемзамену в равенстве:
/> (*)
Равенство(*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на />, получим:
/>.
Слевамы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справана линейные множители, откуда следует, что /> –собственные значения матрицы f(A).
ЧТД.
Свойство № 2. Пусть матрица />и/> – собственные значенияматрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А,тогда собственные значения матрицы f(A) равны />.
Доказательство:
Т.к.функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционныймногочлен матрицы r(x) такой, что />, атогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут/> которым соответственноравны />.
ЧТД.
Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, />, т.е. />, и f(x) – произвольнаяфункция, определенная на спектре матрицы А, тогда />
Доказательство:
Т.к.А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Þ одинаковы и их собственные значения, поэтому значениеf(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) наспектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой,что f(A)=r(A), />, /> Þ />.
ЧТД.
Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица />, то />
Следствие: Если />, то />, где f(x) – функция,определенная на спектре матрицы А.
4. Интерполяционный многочленЛагранжа-Сильвестра.
Случай № 1.
Пусть дана />. Рассмотримпервый случай: характеристический многочлен /> имеетровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственныезначения матрицы А различны, т.е. />, Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):/>.
Пустьf(x) – функция, определенная на спектре матрицы А изначениями этой функции на спектре будут />.Надо построить />.
Построим:
/>.
Обратимвнимание, что />.
/>/>
Пример:Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы />.
/>Построим базисные многочлены:
/>
/>
/>
Тогдадля функции f(x),определенной на спектре матрицы А,мы получим:
/>.
Возьмем/>, тогда интерполяционныймногочлен
/>.
Случай № 2.
Характеристическиймногочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицыявляется делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни,т.е. />. Вэтом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущемслучае.
Случай № 3.
Рассмотримобщий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
/>,
гдеm1+m2+…+ms=m,deg r(x)<m.
Составимдробно-рациональную функцию:
/> иразложим ее на простейшие дроби.
/>
Обозначим:/>. Умножим (*) на /> и получим
/>
где/>– некоторая функция, необращающаяся в бесконечность при />.
Еслив (**) положить />, получим:
/>
/>
Длятого, чтобы найти ak3надо (**) продифференцировать дважды ит.д. Таким образом, коэффициент akiопределяется однозначно.
Посленахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) иполучим интерполяционный многочлен r(x), т.е.
/>.
Пример:Найти f(A), если />, где t – некоторый параметр,
/>.
Найдемминимальный многочлен матрицы А:
/>
/>
/>.
Проверим,определена ли функция на спектре матрицы А
/>/>
/>
Умножим(*) на (х-3)
/>
прих=3
/>Þ/>
Умножим(*) на (х-5)
/>
/>.
Таким образом, /> - интерполяционныймногочлен.
/>
Пример2.
Если/>, то доказать, что />
Найдемминимальный многочлен матрицы А:
/>— характеристический многочлен.
/>
/>
/>
d2(x)=1, тогда минимальный многочлен
/>
/>.
Рассмотримf(x)=sin xна спектре матрицы:
/>Þфункция является определенной на спектре.
Умножим(*) на />
/>Þ/>.
Умножим(*) на />:
/>
/>.
Вычислимg, взяв производную (**):
/>. Полагая />,
/>, т.е. />.
Итак,/>,
/>,
/>,
/>.
ЧТД.
Пример3.
Пустьf(x) определена наспектре матрицы, минимальный многочленкоторой имеет вид />. Найтиинтерполяционный многочлен r(x)для функции f(x).
Решение:По условию f(x) определена на спектре матрицы А Þf(1),f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.
/>.
/>
/>
/>.
Используемметод неопределенных коэффициентов:
/>
/>
/>
/>
Еслиf(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
4.Простые матрицы.
Пустьматрица />, так как С алгебраическизамкнутое поле, то характеристический многочлен />,где />, ki – алгебраическаякратность корня />.
Обозначиммножество векторов удовлетворяющих собственному значению /> />-подпространство, />, где r – рангматрицы />.
Теорема. Если квадратнаяматрица А имеет собственное значение />, аматрица /> имеет />, то /> имеет кратность />.
DF.Размерность /> называется геометрическойкратностью собственного значения />.
Всвете этого определения теорема переформулируется следующим образом:
Теорема. Алгебраическаякратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.
DF.Матрица /> называется простой, если аглебраическаякратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрическойкратностью.
Излинейной алгебры следует, что матрица /> простаятогда и только тогда, когда />.
Еслиматрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственныхвекторов x1, x2,…,xn таких, что />, для />. Запишем это равенство вматричном виде:
/>
/>,т.е. А – простая тогда и только тогда, когда /> и/>.
Замечание. Обратимвнимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают.Действительно, собственные значения для А’ это значения />. Таким образомхарактеристические многочлены матриц совпадают. Размерность />, тогда />. Поэтому, если /> - собственное значениематрицы А, то и /> являетсясобственным значением матрицы А’, т.е. существует />,что /> (*) или />.Транспонируем (*) и получим /> (транспонируем эторавенство). В этом случае />называютлевым собственным вектором матрицы А. Соответственно, /> - называют правымсобственным подпространством, /> — называют левым собственнымподпространством.
Рассмотримследующую конструкцию: если матрица А простая, то существует nлинейно независимых собственных векторов x1, x2, …, xn и существует n линейнонезависимых собственных векторов y1,y2,…,yn, где x1, x2, …, xn такие, что />, /> (1); y1,y2,…,yn такие, что /> (2), />.
Запишемравенство (1) в виде /> (3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что /> или/> (**).
DF. Множества векторов x1, x2, …, xn и y1,y2,…,yn удовлетворяющие условию />, т.е. /> называютсяквазиортогональными.
Учитываяравенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственныхвекторов простой матрицы А квазиортогональны и />.
Оченьважной для матриц является следующая теорема:
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлениз кольца C[x], и x1,x2, …, xn и y1, y2,…,yn– множества правых и левых собственных векторовматрицы А, то />, а сопутствующаяматрица />, где />.
Следствие. Сопутствующиематрицы обладают следующими свойства:
1. />
2. />
3. />
Пример.Показать, что матрица /> простая. Найтисопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А20, p(x)=x20.
Решение:
/>
/>
/>Þ
существуют2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.
Найдемправые собственные векторы:
/>
/>
Найдем левые собственныевекторы:
/>
/>
/>
Найдем сопутствующиематрицы:
/>
/>
/>.
5.Спектральное разложениефункции f(A).
Спектральноеразложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает кспектральной теореме для простых матриц.
Пустьдана матрица /> и пусть />, />.
Теорема. Если />, а функция f(x) определенана спектре матрицы А и /> - значение j-йпроизводной от f(x) в собственном значении />,где />, />, то существуют такиенезависимые от f(x) матрицы />, что (1) />,при чем /> коммутирует с матрицей А иобразуют линейно независимую систему в пространстве />
Доказательство:заметим, что /> и/>, где /> - базисные многочлены,принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, /> (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что />. Матрицы /> называются компонентамиматрицы А или компонентными матрицами.
ЧТД.
Опишемследующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщаютсвойства сопровождающих матриц.
Теорема. Компонентныематрицы /> обладают следующимисвойствами:
1. />
2. />
3. />
4. />.
Замечание. Для того,чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектрематрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие винтерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связанос некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицыподбирая соответствующим образом системы функций.
Пример:Найти компоненты для матрицы />.
/>.
Пустьf(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральнойтеореме />.
1. f(x)=1
E=1Z11+0Z12+1Z21=Z11+Z21
2. f(x)=x-4
A-4E=0Z11+1Z12+(-2)Z21=Z12-2Z21
3. f(x)=(x-4)2
(A-4E)2=4Z21
/>
/>
/>
/>.
Такимобразом, для любой функции f(x), определенное наспектре матрицы А
/>
/>
/>
/>
/>.
Пример2.
Найтикомпоненты для матрицы
/>.
Найдемминимальный многочлен матрицы А.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1. f(x)=1
E=Z11+Z21+Z31
2. f(x)=x+1
(A+E)=2Z21+Z31+Z12
3. f(x)=(x+1)2
(A+E)2=4Z21+Z31
4. f(x)=x-1
A-E=-2Z11+Z12-Z31
/>
/>
1. f(x)=1 E=Z11+Z21+Z31
2. f(x)=x+1 A+E=Z11Z22+2Z31
3. f(x)=(x+1)2 (A+E)2=Z11+4Z31
4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z11-2Z21+Z22
/>
/>
Z31=A
-Z22=(A+E)2-E-3A
Z12=Z22
Z11=(E-A)-Z22
6.Определенные матрицы.
Эрмитовы и квадратичныематрицы.
ПустьА – эрмитова матрица (А*=А).
Рассмотримфункцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.
Рассмотрим:/>
DF. Функция />, гдеА – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x1, …, xn, где А – матрица эрмитовой формы.
Очевидно,что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаемквадратичную форму />.
Длякаждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг(число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального видасовпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов вквадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительныхсобственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r независят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.
Вдальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2семейства матриц.
DF. Действительная симметрическаяматрица А называется положительно определенной, если /> для />.
DF. Действительная симметрическаяматрица А называется неотрицательно определенной, если /> для />.
Обатипа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительноопределенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что онавырожденная, то />, />, что противоречит условию.
Теорема № 1.Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определеннойранга /> тогда и только тогда, когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) –собственные значения равны 0.
Теорема № 2. Действительнаясимметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда всеее главные миноры положительны.
Теорема № 3.Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и толькотогда, когда все ее главные миноры положительны.
7.Неотрицательные матрицы.
DF. Матрица /> называется неотрицательной,если каждый ее элемент положителен.
Квадратныематрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойствоприводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перонаявляется основным результатом для неотрицательных матриц.
Пустьматрицы />. Будем говорить, что />, если />б в частности A>B, если/>.
Вспомнимматрицу перестановки />, т.е. матрицыперестановки обязательно ортогональны. Произведение /> приводит к перестановке столбцов матрицы А.
DF. При /> матрица /> называется приводимойматрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что /> совподает с матрицей />, где А11, А12,А22 – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Еслиматрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.
Понятиеприводимости имеет значение при решении матричных уравнений /> , ибо если Ф – приводима,то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства />, получаем
/>, где />, />.
/> ирешаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, /> и решаем матричноеуравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокогопорядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственныезначения матриц А11 и А22 в своей совокупности составляетмножество значений матрицы А.
Интересно, что явление приводимости не связано с величинойматрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.
В связи с этим, используют идею направленного графаматрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы.Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимостиматриц.
DF.Пусть р1, р2, …, рn – n различных точек комплекснойплоскости и />. Для каждого нулевогоэлемента матрицы А /> составимнаправленную линию от рi к рj/>. Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленнымграфом матрицы.
/>
Например:
/>
DF.Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек /> существует направленный путь/>.
Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда итолько тогда, когда ее граф является связным.
8.Теорема Фробениуса-Перона.
Очевидно, что если />, то для /> />.Более того, мы покажем, что для достаточно больших p />.
Лемма № 1. Если матрица /> неотрицательнаи неприводима, то />.
Доказательство:
Если взять произвольный вектор /> и/>, то />. И пусть вектор /> имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительныхэлементов, что и y. В самом деле, если предположить,что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим />, тогда /> и разбив матрицу А на блокиследующим образом
/> мы будем иметь />.
Учитывая, что />, то />, тогда получаем, что />, что противоречитнеприводимости матрицы.
Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итогеполучим, что для некоторого ненулевого вектора y />.
ЧТД.
Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотримдействительную функцию r(x), определенную для ненулевыхвекторов /> следующимобразом: />, (Ax)i – i-я координата вектора Ах.
/>. Изопределения следует, что /> и крометого, r(x) –такое наименьшее значение />, что />.
Очевидно, что r(x) инвариантнаотносительна замены x на />,поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество />, такое />.
Однако, r(x) может иметь разрывы вточках, где координата x обращается в 0, поэтомурассмотрим множество векторов /> иобозначим />. По лемме № 1 каждый векториз N будет положительным, а поэтому />т.е. />для />.
Обозначим через /> наибольшеечисло, для которого />, />. /> – спектральный радиусматрицы А. Если /> Можнопоказать, что существует вектор y, что />.
Замечание. Могут существовать и другиевекторы в L для которых r(x) принимаетзначение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальнымдля матрицы А(Az=rz).
Интерес к числу r объясняетсяследующим результатом.
Лемма № 2. Если матрица /> неотрицательнаи неприводима, то число />/> является собственнымзначением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен иявляется правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.
Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона длянепрерывных матриц.
Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица /> неотрицательнаи неприводима, то:
1. Аимеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицыА;
2. существуетположительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.
3. собственноезначение имеет алгебраическую кратность равную 1.
Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом иявилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.
Теорме Перона (следствие). Положительнаяквадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модуливсех других собственных значений матрицы А. Этому rсоответствует положительный собственный вектор.
Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найтимаксимальное действительное значение матрицы, не используя характеристическогомногочлена матрицы.