Реферат: Математическая статистика

 

1-я контрольная работа

Задача № 1.33

Вычислить центральный момент третьего порядка (m3) поданным таблицы:

 

Производитель­ность труда, м/час

80.5 – 81.5

81.5 – 82.5

82.5 – 83.5

83.5 – 84.5

84.5 – 85.5

Число рабочих 7 13 15 11 4

Производитель­ность труда, м/час

XI

Число рабочих, mi

mixi

(xi-xср)3

(xi-xср)3mi

80.5 – 81.5 81 7 567 -6,2295 -43,6065 81.5 – 82.5 82 13 1066 -0,5927 -7,70515 82.5 – 83.5 83 15 1245 0,004096 0,06144 83.5 – 84.5 84 11 924 1,560896 17,16986 84.5 – 85.5 85 4 340 10,0777 40,31078

/>
Итого:

50 4142 6,2304

/>

Ответ:m3=0,1246

Задача № 2.45

          Вовремя контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200пачек чая равен />=26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какогоколичества пачек чая ве будет находится в пределах от (/> до />.

            Р(25<x<27)=P/>=2Ф(1)-1=0,3634

m=n*p=200*0,3634» 73

 

Ответ: n=73

Задача № 3.17

          На контрольныхиспытаниях n=17 было определено />=3000 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально с />=21 ч.., определить ширинудоверительного интервала для генеральной средней с надежностью />/>=0,98

/> 

Ответ: [2988</><3012]

Задача № 3.69

          Поданным контрольных испытания n=9 ламп были полученыоценки />=360 и S=26 ч. Считая, что сроки  служб ламп распределены нормально определитьнижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью />

/>

Ответ:358

Задача № 3.71

          Порезультатам n=7  измерений средняя высота сальниковой камеры равна />=40 мм, а S=1,8мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, чтогенеральная средняя будет внутри интервала />.

/>

Ответ: P=0,516

Задача № 3.120

/>
          По результатам измерений длины n=76плунжеров было получено />=50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральнойсредней.

Ответ:50,2

 

Задача № 3.144

            На основание выборочных наблюдений запроизводительностью труда n=37 рабочих было вычислено />=400метров ткани в час S=12 м/ч. в предложение онормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическоеотклонение будет находится в интервале от 11 до 13.

/>

Ответ: P(11<s<13)=0,8836

Задача № 4.6

          С помощьюкритерия Пирсона на уровне значимости a=0,02проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующихданных.

Mi

85 120 25 10

Mti

117 85 37 9

mi

miT

(mi-miT)2

(mi-miT)2/ miT

85 117 1024 8,752137 120 85 1225 14,41176 25 37 144 3,891892 10 9 1 0,111111 27,1669

c2факт.=S(mi — miT)/miT=27,17

c2табл.= (n=2, a=0,02)=7,824

c2факт>c2табл

Ответ: Выдвинутаягипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибкиальфа.

2-я контрольная работа

Задача 4.29

По результатам n =4  измеренийв печи найдено />/>= 254°C. Предполага­ется, что ошибка измерения естьнормальная случайная величина с s= 6°C. На уровне значимости a= 0.05 проверить гипотезу H0: m= 250°Cпротив гипотезы H1: m= 260°C.В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного ифактического значений выборочной характеристики.

m1 > mÞвыберем правостороннююкритическую область.

/>

Ответ: Т.к.используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на данном уровнезначимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| - |tнабл |=0,98).

 Задача 4.55

 Наоснование n=5  измерений найдено, что средняя высота сальниковойкамеры равна /> мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровнезначимости  a=0,01 мощность критерия при гипотезе H0:/>50и H1: />53

/>

Ответ:  23

Задача 4.70

На основании n= 15измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна />= 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величинана уровне значимости a= 0.1 проверить гипотезуH0: />  мм2при конкурирующей гипотезе />. Вответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактическогозначений выборочной характеристики.

/>построим левостороннююкритическую область.

/>

Вывод: />на данном уровне значимостинулевая гипотеза не отвергается (/>).

Задача 4.84

По результатам n = 16независимых  измерений диаметра поршня одним прибором получено />= 82.48 мм и S= 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, науровне значимости a= 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0: /> при конкурирующей гипотезе H1: />.

/>построим левостороннююкритическую область.

/>

Ответ: 23;

Задача 4.87

Из продукции двух автоматических линий взятысоответственно выборки n1 = 16и n2 = 12 деталей.По результатам выборочных наблюдений найдены /> = 180мм и /> = 186 мм.Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления естьнормальные случайные величины с дисперсиями /> мм2и /> мм2.  Науровне значимости a = 0.025 проверить гипотезу H: m1 = m2против H1: m1 < m2.

Т.к. H1: m1 < m2,будем использовать левостороннюю критическую область.

/>

Вывод: />гипотезаотвергается при данном уровне значимости.

Задача 4.96

Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей.По результатам выборочных наблюдений найдены /> = 260мм, S1 = 6мм, /> = 266мм и S2 =7мм. Предполагая, что погрешностиизготовления есть нормальные случайные величины и />,на уровне значимости a = 0.01проверить гипотезу H: m1 = m2против H1: m1 ¹ m2.

/>

Вывод: /> приданном уровне значимости гипотеза не отвергается.

Задача 4.118

Из n1 = 200 задач первого типа,предложенных для решения, студенты решили m1 = 152,а из n2 = 250 задач второготипа студенты решили m2 = 170 задач.Проверить на уровне значимости a = 0.05гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какомутипу она относится, т.е. H0: P1 = P2.В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного ифактического значений выборочной характеристики.

/>

Вывод:/>нулеваягипотеза при данном уровне значимости принимается (/>).

Задача 1.39:

Вычислить центральный момент третьего порядка (m3*) по данным таблицы:

Урожайность (ц/га), Х

34,5-35,5 34,5-36,5 36,5-37,5 37,5-38,5 38,5-39,5

Число колхозов, mi

4 11 20 11 4

Решение:

Урожайность (ц/га), Х

Число колхозов, mi

Xi

mixi

(xi-xср)3

(xi-xср)3mi

34,5-35,5 4 35 140 -8 -32 34,5-36,5 11 36 396 -1 -11 36,5-37,5 20 37 740 37,5-38,5 11 38 418 1 11 38,5-39,5 4 39 156 8 32

Итого:

50

-

1850

-

/> <td/> />

/>

Ответ: m3*=0

Задача 2.34:

В результате анализа технологического процесса полученвариационный ряд:

Число дефектных изделий 1 2 3 4 Число партий 79 55 22 11 3

Предполагая, что число дефектных изделий в партиираспределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектныхизделий.

Решение:

 

m

1 2 3 4

p

0.4647 0.3235 0.1294 0.0647 0.0176 /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> />
Ответ: P=7.79*10-7

Зпадача 3.28:

В предложении о нормальной генеральной совокупности с s=5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужнопровести, чтобы с надежностью g=0.96 точность оценкигенеральной средней m времени обработки зубчатого колеса будет равна d=2 сек.

/> <td/> />
Решение:/> <td/> />
n=(5.1375)3=26.39»27

Ответ: n=27

/>
Задача 3.48:

На основании измерения n=7 деталейвычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовленияраспределена нормально, определить с надежностью g=0.98точность оценки генеральной средней.

Решение:

/>
St(t,n=n-1)=g=St(t,6)=0.98

Ответ: d=0.4278

Задача 3.82:

На основании n=4 измерений температуры однимприбором определена S=9 °С. Предположив, чтопогрешность измерения есть нормальная случайная величина определить снадежностью g=0.9 нижнюю границу доверительного интервала длядисперсии.

Решение:

/>
Ответ: 41.4587

Задача 3.103:

Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того,что вес клубня превысит 50 г.

Решение:

/>
t=2.33

/>
Ответ: 0.3

Задача 3.142:

По результатам 100 опытов установлено, что в среднемдля сборки вентиля требуется Xср=30сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределенииопределить с надежностью g=0.98 верхнюю границу для оценки s генеральной совокупности.

Решение:

/>
t=2.33

/>
Ответ: 8.457

Задача 4.18:

Гипотезу о нормальном законе распределения проверить спомощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0.05 последующим данным:

mi

6 13 22 28 15 3

miT

8 17 29 20 10 3

Решение:

mi

miT

(mi-miT)2

(mi-miT)2/ miT

6 8 4 0.5 13 17 16 0.941 22 29 49 1.6897 28 20 64 3.2

/>/>15

10 25 1.9231 3 3

Итого:

-

-

8.2537

/>
Ответ: -2.2627

1.36.

Вычислить дисперсию.

Производительность труда Число рабочих Средняя производительность труда 81,5-82,5 9 82 82,5-83,5 15 83 83,5-84,5 16 84 84,5-85,5 11 85 85,5-86,5 4 86 Итого 55

/>

2.19.

Используя результаты анализа и предполагая, что числодефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определитьтеоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.

m

1 2 3 4 5 Итого

fi

164 76 40 27 10 3 320

Pm

0,34 0,116 0,026 0,004 0,001

Pm*fi

288,75 25,84 4,64 0,702 0,04 0,003 320

fi теор.

288 26 5 1 320

m – числодефектных изделий в партии,

fi – число партий,

fi теор.= теоретическое число партий

/>
 Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.

Соответственно, теоретическое количество партий с тремядефектными изделиями равно 1.

3.20.

По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняядиаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти снадежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочнаясредняя оценивает математическое ожидание, зная, что  среднее квадратическоеотклонение поршневых колец равно 4 мм..

/>
3.40.

/> <td/> />
По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальномраспределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутриинтервала (0,98х;1,02х).

3.74.

По данным контрольных 8 испытаний  определены х=1600 ч. и S=17ч… Считая, чтосрок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, чтоабсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклоненияменьше 10% от S.

/>

3.123.

По результатам 70измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находитьсявнутри интервала (149;151).

/>

3.126

По результатам 50 опытовустановлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек.,S=12 сек… В предположении о нормальномраспределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценкинеизвестного среднего квадратического отклонения.

/>

4.10

С помощью критерия Пирсона науровне значимости  α=0,02 проверить гипотезу о законе распределенияПуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениямиχ2).

mi

miT

(mi-miT)2

(mi-miT)2/miT

80 100 400 4 125 52 5329 102,5 39 38 1 0,03 12 100 4 0,4 ∑=256 200 5734 122,63

/>
Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.