Реферат: Математическая модель всплытия подводной лодки
Московский ГосударственныйТехнический Университет
имени Н.Э. Баумана.
Курсовая работа
По предмету
“Дифференциальные уравнения.”
Тема: Математическая модельвсплытия подводной лодки
Выполнила:
студентка группы
ФН 2-31, Иванова А.
Научный руководитель:
профессор В.И. Ванько.
Москва 2001 г.
Введение.
Под словамиматематическая модель всплытия подводной лодки подразумевается описаниефизического процесса, происходящего при её всплытии с некоторойглубины.Естественно, математическая модель существенно отличается от реальнопроисходящего процесса, так как при построении модели берется приближение, прикотором пренебрегают некоторыми силами и факторами среды.
В данном случае,вместо лодки, идущей на какой-то глубине, рассматривается материальная точка спеременной массой, первоначально движущаяся горизонтально. Мы будемпренебрегать гидродинамикой этого процесса рассматривая только три основныхсилы действующих на эту точку.
Рассматривая, такимобразом, действия сил на объект, используя основные законы механики исоотношения между силами мы можем составить дифференциальное уравнение илисистему дифференциальных уравнений, решая которую, можно получить её частноеили общее решение (в зависимости от вида системы).
Получив решение, мыможем ответить и на другие вопросы, касающиеся всплытия лодки, такие, какнахождение значений параметров при которых время всплытия лодки будетминимальным, и ряд других.
На идеемоделирования, по существу, базируется любой метод исследования – как теоретический(прикотором используются абстрактные модели), так и экспериментальный (использующийпредметные модели).
Построениематематической модели процесса позволяет понять его суть и его физическийсмысл.
Рассмотрим подводную лодку как материальнуюточку, которая движется по горизонтали на некоторой глубине, с некоторойпостоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют налодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая силаАрхимеда) равны по модулю.
/>По горизонтали, на лодку действует силасопротивления, модуль которой примем в виде:
/>
Где степень /> и коффициент пропорциональности /> это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие отфакторов среды, таких как: плотность
Рис. 1 воды, еётемпература, и величины скорости.
Сила Архимеда, действущая на лодку, зависит отразмеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды.
/>
В этой формуле /> – это плотностьжидкости, />–объем тела, погруженного в жидкость, /> = 9.81 м / c2 –ускорение свободного падения.
/>Пусть в некоторый моментвремени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, атакже под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории(рис.2).
Проведем радиус вектор />из начала координат:
/>
Вектор скорости также можно разложить насоставляющие по осям x и y:
Рис.2 />
Тогда силу сопротивления мы можем записать так:
/>
,
так как вектор скорости всегда направлен покасательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположноенаправление.
По второму закону Ньютона:
/>,
где вектор /> - это вектор силы тяжести, действующей на лодку. /> — некоторая функция зависящая от времени.
Запишем это векторное уравнение впроекциях на оси.
В проекции на ось />: />
В проекции на ось />: />
В результате получим систему дифференциальныхуравнений:
/> ,
где масса />-функция зависящая от времени. Решая этусистему для произвольного значения />,и заданных начальных условий, мы получимуравнение траектории движения подводной лодки.
/>Пусть масса лодки изменяетсяпо линейному закону />, где /> - масса корпуса, /> -это скорость вытеснения воды из цистерн,которую будем считать постоянной, а /> - некоторый момент времени, в который вся вода изцистерн вытеснена. Как показано на рис.3, в некоторый момент временипроизведение /> будет равняться 0, и мы
Рис. 3 получим />, то – есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.
Решим эту систему для частного случая.
Пусть /> =1. В начальный момент времени лодка находитсяв начале координат, а вектор её скорости направлен по горизонтали и равен />.
Тогда начальные условия будут такими:
/>
/> .
В рассматриваемом частном случае, система уравненийпринимает следующий вид:
/> .
Первое уравнение этой системы зависит только от/>, второе только от />, поэтому их можно разделить.Решим сначала первое уравнение системы.
/>
Так как в это уравнение не входит />, можно сделать замену />. Решая таким образом полученное уравнение первогопорядка с разделяющимися переменными, получим:
/>
/>
/>.
/>.
Решим второе уравнение системы.
/>
Делая аналогичную замену, получим линейноенеоднородное уравнение, решая которое, получим:
/>
/>
/>
/>В итоге получается траектория движения лодкизаданная параметрически:
/>
/>Траектория движения подводной лодки для заданныхначальных условий и />=1 изображена на рис. 4.
Решим исходную систему для произвольного значенияпараметра />.
На /> накладывается ограничение: />,
так как только при выполнении этого условия, силасопротивления оказывается прямо
Рис 4. пропорциональна скорости.
Систему
/>
приведем к нормальной форме Коши, вводя новыепеременные.
/>.
В результате получим систему состоящую из четырехдифференциальных уравнений первого порядка:
/>.
Начальные условия для которой имеют вид:
/> .
Решения этой системы для нескольких значенийпараметра /> представлены на рис. 5.
/>
Рис. 5а.
Так как при близких значениях /> траектория почти не изменяется и графики сливаются, для большейнаглядности изобразим их в более крупном виде.
/>
Рис.5 б.
На рис.5 а, б изображены решения исходной системыдля /> /> /> /> />/>
Найдем значение /> для которого время всплытия будет наименьшим иуравнение движения при этом значении параметра. Очевидно, что если /> то />, и система принимает следующий вид:
/>,
где /> -функция, зависящая от времени.
/>График решения этой системы представлен на рис.6.
Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другимзначением />. А это значит, что, при данном значении параметра,она всплывет с определенной глубины за минимальное время.
Рис.6 При отрицательном значении праметра траектория будетпрактически совпадать с траекторией />, но, в этом случае, задача теряет физический смысл.
Заключение.
Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи.Исходную систему, невозможно решить в общем виде, без использования ЭВМ, иличисленных методов решения задачи.
Но, уже по частным случаям решений, можно увидетьнекоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-товыводы.
Сам процесс всплытия подводной лодки – достаточносложный физический процесс. На всплытие лодки влияют не только несколько силдействующие на неё. Большое значение имеют гидродинамические параметры, которыев построении данной модели не учитывались. Для численных решений системы ипостроения графиков были взяты реальные размеры и начальная скорость подводнойлодки, что позволило как можно больше приблизить рассмотренный процесс креальному.
Список литературы.
1. Агафонов С.А., Герман А.Д., МуратоваТ.В. Дифференциальные уравнения
М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э.Баумана, 2000. — 347 с.
2. Степанов В.В. Курс дифференциальныхуравнений
М.: Изд-во технико-теоретическойлитературы, 1950. — 467 с.
3. Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомная подводная эпопея
М.: “Боргес”, 1994. — 350 c.