Реферат: Математика
Многочленом(полиномом)от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А
Пусть дан многочленр(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х),а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-егопорядка.
Минором наз. определитель,полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данныйэлемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый сознаком Аik=(-1) Mik.
Разложение ∆3-его порядка поэлементам первой строки: ∆=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратнойкв. матрице А наз. кв. матрица А¯¹ удовл. рав. А А¯¹=А¯¹ А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой,если её det≠0.
Теор. Всяк. невыражд. матр.А имеет невыражд. ей обр. матр.: А¯¹=A/detA.
Произвольнуюневыражд. матр. можно привести к еденичной (А«Е) — метод Жордано.
Нахождение обр. матр.с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл.преобр., только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв.матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрицеА. (А|E)»(E|A¯¹).
Ах=В уА=В
х=А¯¹В у=ВА¯¹
РангматрицыВ матр. m*n выберем произв. S-строк,S-столб.(1≤S≤min(m,n)). Элем., стоящ. напересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этойматрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определительназ.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор.порь., а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. изпорядков её миноров,≠0.
Если все миноры =0,то ранг =0.
Свойства ранга1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. Ототсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3. При эл. преобр. R матр. не мен. С ихпом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл.диог. равен произведен. и ≠0, а все миноры более высокого порядка =0, каксодержащие нулевые строки.
Матричная запись линейной ситемыА=(Кооф.),Х=(неизв.), В=(св. чл.), Ấ=(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
|a11 a12 … b1 .. a1m|
∆=|кооф.|,∆k=| a21 a22… b2 .. a2m|
|………………………………..|
| am1 am2… bm ..amm|
ТеоремаКрамера. Невыражн.лин. сит. имеет ед. решение х1=∆1/∆, х2=∆2/∆………
Метод Гаусса-Жордано(и наобарот)
Заключ.в эл. преобраз. матр.
ВЕКТОЫКоллинеарн.вект.– лежащ. на || прямых или на одойпрямой.
Равныевект.– коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы ¯и имеющие равные длины.
Св.векторы– т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-векторомт.наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющимикосинусами векторов наз.косинусы углов α, β, γ образованных ими с коорд. осями.
|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√( x²+y²+z²)
Единичныйвекторe=(cosa,cosb,cosγ)
Коорд. лин. комбинации векторовДаныn векторов. Лин. комб.a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…
Деление отрезка в данном отношенииX=(x1+ℓx2)/(1+ℓ)– вотношении ℓ.
Скалярн. произведение векторовab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos φ=прa b, |a|cosφ=пр b a, ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (αa)b=α(ab)
3.Распределительности(дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав.тройки В.
3не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к однойточке наз. тройкой векторов abc.
Будемсм. с конца c на плоск. образ.вект.а и b, если кратчайшийповорот от а кb совершимпротив часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторнымпроизведением 2-хвекторов aи b наз. вектор [a*b] и удовл. след.усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sinα ;2)[a*b]┴a и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же ориентацию, что и i jk.
Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.
[a*b]=0< = > a комплан.b
Свойства: 1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]
2.Сочетательности относительно скалярн. множ. [(αa)*b]=α[a*b]
3.Распределительности(дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
|i j k |
[a*b]=|x1y1 z1|=|y1 z1|*i+… …
|x2 y2 z2| |y2 z2|
Смешанное произведение векторовДаны3 вект. a,b,c.Умножим векторно a наbи скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярнымпроизведением или смешаным.
Vпараллелипипеда=смеш. произвед.вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
|x1 y1 …|
abc=|x2… …| < = > abc-комплан.
|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |
V3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 … … |
|x4-x1 … … |
Линейная завис. Векторовa1,a2,…an– наз.лин. завис. векторов, если сущ. α1,α2…αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0
Теорема1. a1,a2,…,an,n>1 линзависима <= > поменьшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема2. а и b лин.завис < = >они коллин.
Теорема3.Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а,принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.
Теорема4. a,b,c – лин. завис. < => ониколлинеарны.
Теорема5.Если е1, е2, е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=α1*е1+α2*е2+α3*е3
Теорема6.Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис–любая упорядоченая система 3-ох лин. независ., т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) вбазисе е1е2е3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…F(x,y)=0– ур-елинии в общем виде
F(ρ,φ)=0 – … в полярныхкоординатах. Если это уравнение разрешимо относительно ρ, то ρ= ρ(φ).
x=f(t) \
y= φ (t) / — параметрические уравнения линии.
Еслидан. линии заданы ур-ем ρ=ρ(φ),параметрическиур-я записываются x=ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ
Упрощ.ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдёмк нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е(1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующихканонических уравнений:
х²/a²+y²/b²=1– эллипс – геом. место точекплоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0),F2(c,0),c=√(a²+b²)
Эпсиктриситетомэл.наз. ξ=√(1-(b/a)²) Директрисами эл. наз. прямыеx=a/ξ иx=--a/ξ
х²/a²+y²/b²=0– удовл. коорд. ед. т. (0,0)
х²/a²+y²/b²=-1– неудовл. коорд. ни одной т.
всл. А*С>0линии элипсического типа
х²/a²-- y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы– геом.место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данныхт.(фокусов)=const\
F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²), ξ=c/a, Ассимптоты: у=х*b/a и y=-- х*b/a, Директрисы:x=-a/ξ и x=a/ξ |
Равносторонние Г. – с равными полуосями. /
х²/a²-- y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых /- линии гиперболического типа
у²=2px– парабола — геом. место т.плоскостиравноудалённыхот фокуса и директрисы \
Симметрин. относит. ох: у²=2px, Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0),r=x+p/2 |
oy: x²=2qy, Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2), r=y+q/2 |
y²=b²- пара || прямых > — линии параболического типа
y²=0– парасовпавших прямых /
y²=--b²- неудовл. коорд. ни одной т.
Если С=0, А≠0, то (1) приводится х²=2qyПрямаяна плоскости.Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1), гдех1, у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнениекасательной: y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданыобщими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-енормали: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(углам/у 2-я ∩ прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-епрямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | || < =>A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2
Ур-епрямой вотрезках x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t , t € R
Расстояниеот т. М0(х0, у0) до прямой Ах+Ву+С=0:d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)
Ур-еокружности :(x-a)²+(y-b)²=R²
Упрощ.общее ур-е второй степени: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
Приповароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A— C)/2B
x=x’ cos α –y’ sin α
y=x’ sin α +x’ cos α
Пределф-ии. Постояннаяb наз. lim y=f(x)при x→a, если для любого ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл.усл. 0<|x-a|<δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ