Реферат: Лобачевский и неевклидова геометрия

Сигулдскаясредняя школа N2

Кронвальда 7,Сигулда, Латвия

Неевклидовагеометрия.

Проект ученика 11а класса

Чиркова Андрея

Консультант: Степулане Р.Э

1.Введение… стр.

2.История геометрии… стр.

3.Биография Николая Ивановича Лобачевского… стр.

4.Другие авторы… стр.

5.Краткое описание геометрии Лобачевского… стр.

6.5 постулат… стр.

7.Геометрия Лобачевского в реальном мире… стр.

8.Заключение… стр.

9.Приложение… стр.

9.Использованная литература… стр.

Введение

Любая теориясовременной науки считается единственно верной, пока  не создана следующая. Этосвоеобразная аксиома развития науки.

Этот факт многократноподтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та вквантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязиобернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, чтосегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но этотоже нормально – ещё Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь невиновата, что её мать глуповата».

Участь эта не обошлаи геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову,геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории иособенностям и посвящен этот проект.

История геометрии.

Считается, чтогеометрия началась в так называемой Ионийской школе. Её основателем считается ФалесМилетский (640-540 (546?) гг. до н. э.). Он считался одним из семимудрецов Греции, первым математиком, астрономом и философом. Он доказал, чтоуглы при основании равнобедренного треугольника равны, что вертикальные углыравны, что диаметр делит окружность пополам и ещё множество теорем.Предсказание затмения солнца в 585 году также приписывается ему.

Огромный импульсразвития этой школе дал Пифагор (569-470 гг. до н. э.). Восновном о его личных качествах пишут то же самое, что и о Фалесе. Но к этомуещё можно добавить титул чемпиона по боксу на олимпийских играх – звание, средиматематиков редкое.

Несмотря на все егодостижения, мнение современников хорошо выразил Гераклит: «Многознание безразума». Что ж, это было вполне заслужено: Пифагор засекречивал открытия иприписывал себе работы учеников. Пифагор также заставлял своих воспитанниковисполнять целый свод очень странных правил: например, не прикасаться к беломупетуху.

Но факт есть факт  — и одна из теорем Пифагора теперь известна каждому – это теорема о равенствеквадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Эта теорема настолько популярна вмире математиков, что одних только доказательств накопилось 39 штук. Их можнопосмотреть на сайте www.cut-the-knot.com/pythagoras.

Платон (428-348) знаменитвведением принципа дедуктивности в математике, или принципаразвития от простого к сложному. Он также знаменит постановкой трех задач напостроение. Используя только циркуль и линейку, надо было:

1.  Разделить угол на тричасти (задача о трисекции угла).

2.  Построить квадрат,равный по площади данному кругу (задача о квадратуре круга).

3.  Построить куб, равныйпо объему данному (задача об удвоении куба).

Нерешаемость этихзадач была доказана только в 19 веке, но перед этим они успели вызватьнастоящую бурю: например, задача №2 вызвала появление интегрального исчисления.

Закончилось развитиетрадиционной геометрии Евклидом. Его книга «Начала» только до1880 года выдержала 460 изданий, уступив только Библии. Способ построения«Начал» стал единственно верным для всех научных работ: Перечисление основных,естественных понятий ® Перечисление основныхаксиом ® Перечислениеосновных определений ® Формулированиетеорем (утверждений) и их доказательство.

Метод доказательстваот противного – тоже его заслуга. Он же сформулировал пять постулатовгеометрии:

1.   Черездва точки можно провести одну и только одну прямую.

2.   Прямаяпродолжается бесконечно.

3.   Излюбого центра можно провести окружность любым радиусом.

4.   Всепрямые углы равны между собой.

Пятый постулатявляется своеобразным философским камнем геометрии и будет подробнее описан вшестой части.

Биография НиколаяИвановича

Лобачевского.

1729 – 1856

Детство Лобачевскогобыло тяжелым и бедным. />В Казанской гимназиион был казеннокоштным студентом, что накладывало определенные обязанности иограничения. Самым простым было учиться лучше других;  но казеннокоштным студентам,например, не разрешалось выходить дальше, чем за пределы парадного двора. Ноуже с самого начала жизни Лобачевский интересовался геометрией. Этонеудивительно, ведь его отец был землемером. Лобачевский проявил также большуюсклонность к языкам – например, французский он выучил за три месяца. Он писалстихи – его поэмы о Волге считаются одними из лучших. Но при этом он не забывалучиться – в 1807 году он студент, а в 1811 – магистр. Работая над развитиемгеометрии, в 1826 году, уже будучи деканом физико-математического факультета,он сделал доклад, содержавший основы неевклидовой геометрии. Однако время былоне совсем подходящим: открылись хищения из казны Магницким – ещё однимматематиком этой эпохи, Магницкого «записали» в декабристы… Словом, ученомумиру было не до новых теорий.

Но он не сдался. С1829 по 1830 год он публиковал в журнале «Казанский вестник» мемуар «О началахгеометрии», и это была первая публикация основ его теории.

Взлеты и паденияследовали один за другим. Только были сданы в печать первая и вторая части«Новых начал геометрии», как умер его кумир Пушкин, а потом и дочь Надежда.

Лобачевскийпользовался уважением и любовью студентов и коллег. Когда упразднили должностьдиректора университета, то его кандидатуру на пост главного ректора утвердилибез возражений. Не высказался даже его главный соперник – Симонов.

в 1842 году, во времябольшого пожара в Казани он героически спас древние книги, до этого, во времяэпидемии холеры, превратил университет в мини-госпиталь – из-за чего умерлогораздо меньше студентов, чем в других ВУЗ’ах.

Когда негде было разместитьвторой класс Казанской гимназии, он предложил свой дом, обещав потом построитьдля гимназии дворец. Понятно, что в 1845 году он получил должность управляющегоКазанским учебным округом, а после стал член-кореспондентом Гуттенгенскогоуниверситета.

Но жизнь нанесла ещёодин удар: он начал слепнуть. Он начал играть со своей женой в страшную игру,пытаясь убедить её, что ещё хорошо видит. Она закатывала истерики, уговаривалалечиться, но все тщетно – Лобачевский ослеп. Но, тем не менее, он продолжалпреподавать и пользоваться безграничной любовью и уважением учеников. Знаменателенслучай, когда молодого студента, засмеявшегося над споткнувшимся Лобачевским,однокурсники заставили уйти из университета. Лобачевский об этом даже не узнал.

В 1855 году он былуволен со службы с причислением к министерству. В этом же году опубликовал своюпоследнюю работу – «Пангеометрия», которую диктовал своим ученикам. Его горячимжеланием было создать единую механику – но времени не хватило. Он умер в 1856году – забытый царем, лишившись орденов и квартиры – ордена украли, а квартируконфисковали. В его формулярном листе за сорок лет работы в графе отпусковбисерным почерком Лобачевского было написано: «Не был».

Ему поставленпамятник – и поэт В. Фирсов написал о нем:

Высокий лоб,нахмуренные брови,

В холодной бронзе –отраженный луг…

Но даже неподвижный исуровый,

Он, как живой, — спокоен и могуч.

Когда – то здесь, наплощади широкой,

Задумчивый, неторопливый,строгий,

Он шел на лекции –великий и живой.

Пусть новых линий неначертят руки,

Он здесь стоит,взнесенный высоко,

Как утверждениебессмертья своего,

Как вечный символторжества науки.
Другиеавторы.

Идея неевклидовойгеометрии пришла в голову не только Лобачевскому – просто ему относительноповезло. Одним из «конкурентов» был Гаусс – великий затворник, отказавшийся отуслуг почты, чтобы никто не смог обвинить его в плагиате.

В это время сынстарого друга Гаусса, Янош Больяи, занялся теорией параллельных линий. В 1832году он выпустил труд «Аппендикс», содержащий начала неевклидовой геометрии. Ноего работа почти совпадала с мемуаром Лобачевского «О началах геометрии» 1829года; подобных результатов достиг и сам Гаусс.

Тога Гаусс написалФаркашу Больяи то, что тот сам говорил сыну: время для этих выкладок ещё непришло. Януш же посчитал, что Гаусс решил присвоить его труд. Но Гаусс непубликовал его – ведь он был королем математики того периода, и боялся, что егосочтут свихнувшимся.

Гаусс в то времяхотел уехать – куда-нибудь далеко, где никто не помешает. Он думал о Петербургеили Казани. Но из-за бюрократии российских чиновников поездка расстроилась.

Но если Януш Больяисчитал себя гением-одиночкой, то Гаусс узнал о Лобачевском, прочитав «Геометрическиеисследования по теории параллельных линий Николая Лобачевского». Гаусс говорил,что, читая этот труд, он видел в первую очередь себя. Гаусс закончилзатворничество, начал изучать русский язык – и стал бегло читать уже через двамесяца. Но – ирония судьбы – Гаусс стеснялся открыто попросить сочиненияЛобачевского, а тот не отсылал их в Геттинген, так как не знал, что Гаусспонимает по-русски.

Через шесть лет Гауссвсе ещё думает о Лобачевском. Но он понимает, что слишком стар, чтобы защищатьновые идеи. А Лобачевский погибал без поддержки.

Больяи же, получив в1848 году «Геометрические исследования», посчитал, что Гаусс выпустил мемуарпод псевдонимом Лобачевский. Целью его жизни было превзойти этот труд. Это былаагония разума – а Лобачевский даже не подозревал о существовании талантливоговенгра.

За год до этого,зимой 1848 года, к Гауссу пришел студент. Его звали Бернард Риман. Но Гауссоттолкнул его. Тогда Риман, сжав зубы, уехал в Берлин. Но мир тесен, и, защитивдокторскую диссертацию, он решает стать профессором. Удивительно, но темупробной лекции утверждает и принимает именно Гаусс.

Риман создалгеометрию, где прямые замкнуты, где нет параллельных прямых, а сумма угловтреугольника больше 180о. Она похожа на геометрию сферы Гаусса.

Риман оказалсяхорошим учеником великого математика, и из нежеланного гостя стал единственнымдругом. Он умер в Италии, не закончив последний мемуар. На русском языке онпоявился только в 1893 году. Его название было: «О гипотезах, лежащих в основегеометрии».

Краткое описаниегеометрии Лобачевского.

/>/>/>Иногда говорят, что вгеометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но этоне совсем так. Есть только немного другое свойство параллельности: через однуточку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной.Это видно на рисунке 1. Причем параллельность сохраняется только в сторонууменьшения расстояния между прямыми. Этот, казалось бы, простой факт, меняетвсю геометрию. Как, например, в геометрии Евклида доказывается, что сумма угловтреугольника равна 180о? Классическое доказательство приведено на рисунке2. Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что Ð1+Ð2+Ð3=180о. Но так как вгеометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении,то для нахождения суммы углов треугольника*, то нужно провести две прямые,параллельные данной в разные стороны. Что получается, видно на рисунке 3.Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше 180о. Этаразница была названа Лобачевским дефектом треугольника.

Одними из важныхобъектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать этипучки, сначала надо уяснить, что в плоскости Лобачевского есть три типарасположения прямых: прямые или параллельны, или пересекаются, или являются расходящимися.
_______

* Здесь и далее подразумевается геометрияЛобачевского, если нет оговорки на геометрию Евклида.

Так вот, первый видпучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка (рис. 4а). Пучокрасходящихся прямых – это перпендикуляры к одной прямой – оси пучка(рис. 4б). Из этого определения выходит интересное и, казалось бы, абсурдноеутверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие отгеометрии Евклида.

И, наконец, пучок,образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении (рис.4в).

/>/>

Следующими объектамигеометрии Лобачевского являются кривые. Для их построения Лобачевским быловведено понятие соответственных точек. В пучке первого рода это точки напрямых, равноудаленные от центра (рис. 5а). В пучке второго рода это точкипрямых, лежащие по одну сторону от оси и отстоящие от нее на одинаковыерасстояния (рис. 5б). Наконец, в пучке третьего рода они расположенысимметрично относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми, на которыхлежа эти точки (рис. 5в).

Соединивсоответствующие точки первого пучка, мы получим окружность. В случае второгопучка мы получаем линию равных расстояний, а в третьем случае – так называемуюпредельную линию.

Примеры такихпостроений – на рисунке 6.

/>/>Из определенияпредельных линий выходит, что она бесконечна. Поэтому в теоремах используетсяпонятие предельной дуги, или дуги предельной линии.

Для концентрическихпредельных дуг существуют несколько правил: во-первых, равным хордамсоответствуют равные дуги, большей хорде – большая дуга; отрезки осей,заключенные между дугами, равны, и отношение двух предельных дуг, заключенныхмежду одинаковыми осями, зависит только от расстояния. Причем это отношение приS1>S2равно />, где х – расстояние, а к – некотраяконстанта. Сам Лобачевский дает её определение так: к – это расстояние междудвумя предельными дугами, заключенными между двумя осями, отношение которыхравно е. Физический смысл этой константы заключается в отображениикривизны пространства Лобачевского.

Лобачевским быласоздана и стереометрия. Прямые в пространстве могут или скрещиваться, илилежать в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые имеют смысл двух прямых,имеющих общий перпендикуляр, определяющий кратчайшее расстояние между ними. Упараллельных прямых есть два основных свойства: во-первых, если через двепараллельные прямые провести две пересекающиеся плоскости, то прямаяпересечения плоскостей будет параллельна двум другим; во-вторых, две прямые,параллельные третей, параллельны одна другой в том же направлении – даже еслитретья прямая не лежит в плоскости первых двух.

Для анализарасположения прямой и плоскости, на плоскость опускается проекция. Если прямаяи плоскость параллельны, то прямая и её проекция на плоскость тоже параллельны,и наоборот. Так же определяется и расположение двух плоскостей – с тем лишьотличием, что, если нельзя провести плоскость, перпендикулярную двум выбраннымплоскостям и проходящую через выбранную прямую и её проекцию, то плоскостиобязательно пересекутся.

Аналогию пучкам впространстве составляют связки. Связки также делятся на три рода: первыеобразуются прямыми и плоскостями, проходящими через одну точку – центр связки;вторые образованны прямыми и плоскостями, перпендикулярными некой плоскости; и,наконец, третьи образованы прямыми и плоскостями, параллельными даннойплоскости в одном направлении. Точно так же определяются соответствующие точки.В случае связки первого рода они формируют сферу, второго – поверхность равныхрасстояний, третьего – предельную поверхность. Предельная поверхность обладаетудивительным свойством: на ней справедлива геометрия Евклида. Этот факт свидетельствуето том, что неевклидова геометрия не опровергает евклидову, а включает её в себякак органичную часть.

В процессе нахождениятригенометрических формул, Лобачевский проецировал прямоугольный треугольник спредельной плоскости на плоскость, касательную к ней. Пользуясь формулами />/> и/>, вывод которых приведен вприложении, он получил тригинометрические формулы своего пространства.Соотношения в прямоугольном треугольнике при этом остаются одинаковыми, но cos, sin и tg определяютсяпо-другому: />, />, />, где с – сторонапротив прямого угла, а – против a,в – противb.

Несмотря на все кажущиеся странности,геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова являетсятолько её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидовагеометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

5постулат.

Итак, мы дошли допятого постулата. Сам Евклид формулировал его так: «Если прямая пересекает двепрямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, топри неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны,где сумма углов меньше двух прямых». Другие формулировки гораздо проще,например: «через точку вне прямой можно провести одну и только одну прямую,параллельную данной».

Конечно, ещё самЕвклид пытался вывести этот сложный постулат из более простых. После него этойпроблемой занимались почти все известные математики, но чаще всего этозаканчивалось тем, что постулат выводился только при принятии каких-тодополнительных предположений. У менее удачливых математиков не получалосьвообще ничего.

Самую известнуюпопытку доказать пятый постулат методом от противного предпринял итальянскиймонах Джироламо Саккерти в 1733 году. Но отрицание пятого постулата – это иесть главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Он, как идругой математик И. Г. Ламберт в 1766 году, вплотную подошел к неевклидовойгеометрии, но не нашел её реальной.

Гаусс, Больяи,Швейкарт, Тауринус – они все рано или поздно убеждались, что доказать пятыйпостулат невозможно. Сам Лобачевский говорил об этой проблеме: «Напрасныестраданья … в продолжение  двух тысяч лет». И именно он смог отверг этотпостулат, создав новую геометрию.

Гаусс, изучаяповерхности, обнаружил, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма угловтреугольника меньше 180о. Он был в шаге от опровержения пятогопостулата.

Попыток было много –и именно недоказуемость этого предположения привела к открытию неевклидовойгеометрии.

ГеометрияЛобачевского в реальном мире.

Если геометрияЕвклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир– не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?

Как пример можнопривести тот факт, что видимый звездный свод это  ни что иное, как предельнаяплоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлосьпересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.

/>Но вернемся на землю.Есть такое понятие – гауссова кривизна пространства. Если мы возьмем кривуюповерхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касанияотрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль. Проведячерез нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающуюк поверхности. Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можемнайти окружности с минимальным и максимальным радиусом. Подставив их ввыражение />, мы получим Гауссовукривизну пространства. Если К>0, то поверхность в этой точке эллиптическая.Если К<0, то гиперболическая.Если К=0, то параболическая.

Как мы уже знаем, наповерхностях с отрицательной кривизной работает геометрия Лобачевского. Ноименно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей!Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.

Но наглядно геометриюЛобачевского можно устроить и на бумаге. Если нарисовать окружность, то мыможем, не выходя за её пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающихданную (рис. 7). Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель. Такаямодель называется моделью Клейна.

Все эти модели служатодной цели – полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабам.

Заключение.

Когда Евклидформулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. КогдаЛобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемаягеометрия» на поверку окажется реальной.

Нельзя сказать, чтонеевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никакихпретензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдетбыстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда –нибудь и этот проект окажется макулатурой.

Но думаю, что этоговремени он успеет исполнить свое предназначение – рассказать и заинтересоватьчитателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера внем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой геометрии. Нодля поверхностного ознакомления с ней он вполне годен.

Приложение.

/>При доказательстваиспользуют рисунок 1. Пусть ОХ перпендикулярно ОY.

/>Через точку А прямойОY  проведем прямую АА’, параллельную ОХ, ипостроим предельную линию с осью ОХ, проходящую через точку О. Дугу />, заключенную между осями ОХи АА’, обозначим через s, отрезки ОА и АВ –соответственно через u и v. Проведем прямую ММ’, параллельную ОХ и ОY.Предельную дугуОС, заключенную между ОХ и ММ’, обозначим через s. Нашей задачей является выводследующих формул: />(А) и />(В).

Построимпрямую NN’,параллельнуюОY и перпендикулярнуюАА’, и через точку N проведем предельнуюдугу />, концентрическую дуге />. Так как прямая М’М параллельна NN’ и  АА’, то NР = s. Далее, так как ÐОАА’ = П(u)*, Ð YАN, то АN = u, т.е. NВ = u + v. Применяяформулу />  кконцентрическим дугам /> = s и /> =s — s, получаем /> (3). Отложим теперь отрезокОА = u и проведем прямую АА’, параллельную ОХ, и прямую ММ’, параллельную ОХ и ОY. Строим прямую NN’, перпендикулярную АА’ и параллельную ОY (рис. 2). Черезточку О проведем ортогонально к ОХ предельную дугу /> =s + s, через точку N – концентрическуюдугу /> = s. Так как Ð ОАА’ = П(ОА) = П(АN), то АN = ОА = u, т.е. ВN = u – v. Итак, /> (4). Складывая отношения(3) и (4), получаем формулу (А). вычитая (3) из (4), имеем />. Подставляя сюда из (А) />, получаем соотношение (В).

*Имеется ввиду, что отрезок u определяется угломпараллельности   ÐОАА’ .

**Гиперболические функции определяютсятак:

1.  Синус: />.

2.  Косинус: />.

3.  Тангенс: />.

Использованнаялитература.

Смилга В.П. В погоне за красотой./. Н-пиздание. – М.: Молодая гвардия, 1968. – 200 стр. с илл.

Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизньзамечательных людей». – М.: Молодая гвардия, 1965. – 320 стр. с илл.

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрииЛобачевского./. – М.: Наука, 1983. – 76 стр.