Реферат: Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

/>

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Донской Государственный Технический Университет

кафедра Высшейматематики

_______________________________________________________


Линейные системы
 дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

доклад по математике


Выполнил

Груздев Владимир Викторович

студент группы У-1-47


Руководитель

Братищев Александр Васильевич

г.Ростов-на-Дону

2000 г.


Доклад посвящен теме,которой, по мнению автора,
в курсе дифференциального исчисления уделено
недостаточное внимание,
«СЛДУ с периодическими коэффициентами».

Приведены основныеопределения, теоремы,
на основе которых можно искать решения
(периодические) подобных систем.

Рассмотрены несколько примеровна тему.


Содержание.

1.  Однородная линейная системадифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4

2.  Неоднородная линейная системадифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6

Примечания………………………………………………...…………………..7

Примеры………………………………………………………………….…….8


1.   Однороднаялинейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотримсистему линейных дифференциальных уравнений

ż= F(t)z  (- ¥ < t < + ¥),              (1)

где F(t) — непрерывная периодическая матрицас периодом w:

F(t + w) = F(t).

Пусть z1(t),…, zn(t) — фундаментальная система решений для системыуравнений (1), определяемая начальными условиями

zj(0) = ej (j= 1, …,n),                 (2)

/> <td/> />
где ej= {dj1, …, djn} (см. примечание 1). Поскольку матрица F(t) периодическая,функции z1(t + w),…, zn(t + w) также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций zj(t + w)­­­­ будет линейной комбинацией zk(t)(k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2), поэтому

где с­­jk (j, k = 1, …, n)— постоянные. Последние  соотношения можно записать в виде

Z(t + w) = Z(t)C,                       (3)

где Z(t) — фундаментальная матрица решений zj­(t)(j = 1, …, n), а С = (сjk) — постояннаяматрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

Ż = F(t)Z,  Z(0) = E.

Полагая в равенстве (3) t = 0, получим Z(w) = C.

Таким образом, Z(t + w) = Z(t)Z(w).                              (4)

Матрица Z(w) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно çZ(w)ç¹. Собственные значения матрицы Z(w) называются мультипликаторами системы уравнений(1).

Отметим,что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная,однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.

Теорема 1. Для того чтобы комплексное число rбыло мультипликаторомсистемы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальноерешение j(t) системы (1), длякоторого

j(t + w) = rj(t).                  (5)

Доказательство. Пусть  r— мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z0¹, что

Z(w)z0 = rz0.

Рассмотрим следующее нетривиальное решение системыуравнений (1):

j(t) = Z(t)z0.

В силу (4)

j(t + w) = Z(t + w)z0 = Z(t)Z(w)z0 = Z(t)rz0= rZ(t)z0 = rj(t).

Необходимость условия сформулированного в теореме,доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0получим

j(w) = rj(0).                        (6)

В силу теоремы единственности

j(t) = Z(t)j(0),                     (7)

причем j(0) ¹, так как в противном случае решение j(t) было бы тривиальным. Изравенства (7) в силу (6) следует то, что

Z(w)j(0) = j(w)= rj(0).

Таким образом, j(0) — собственный вектор матрицы Z(ω)ρ — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.

Издоказанной теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеетнетривиальное решение с периодом ωв том и только в том случае, когда один изее мультипликаторов равен единице.

Замечания. 1. Имеетместо

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление:

Z(t) = Ф(t)eAt[1],

где Ф(t) — периодическая матрица с периодомω, а А — постоянная матрица.

/> <td/> />
2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяетследующему условию:

откуда непосредственно следует, что заменапеременных z= Ф(t)y переводит систему уравнений(1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)

/>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическимикоэффициентами.

Рассмотримсистема дифференциальных уравнений

ż= F(t)z + g(t)  (- ¥ < t < + ¥),             (8)

где F(t) — непрерывная периодическая матрица спериодом ω, g(t) — непрерывная периодическаявектор-функция с периодом ω. Нас будут интересовать периодические решенияэтой системы уравнений с периодом ω.

Теорема2. Пустьоднородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) неимеет нетривиальных периодических решений с периодом ω(то есть всеее мультипликаторы отличны от  единицы). Тогда система уравнений (8) имеетединственное периодическое решение с периодом ω.

/>Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может бытьпредставлено в виде

                  (9)

гдеZ(t) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберемфундаментальную матрицу Z(t) так, чтобы было

Z(0) = E.

В этом случае формула (9) примет вид (при t0= 0)

/>

                                                                  (10)

Потребуем,чтобы решение z(t) имело период ω:

z(t + ω) = z(t).                      (11)

В частности,при t = 0

z(ω) = z(0).                        (12)

Оказывается, что если для некоторого решения z(t)выполнено условие (12), то оно имеет период ω. В самом деле, z(t+ ω) и z(t) — два решения системыуравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условиюпри t = 0. В силу теоремы единственности эти решения тождественносовпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того,что решение z(t) имеет период ω, можно записать ввиде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид

/>

                                               (13)

По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1)отличны от единицы. Поэтому çZ(w) — Eç¹(характеристическоеуравнение çZ(w) — ρEç= 0 не имеет корня ρ =1) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z0.Теорема доказана.

      Замечание. В случае, когда однороднаясистема уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодомω, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметьпериодических решений с периодом ω (если система уравнений (13)несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений спериодом ω (если система уравнений (13) имеет бесконечное множестворешений).

Примечания:

1.   dj1= {1;0; …;0}, …, djn= {0;0; …;1}.

2.   Любое решение x(t)однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальнойсистемы решений x1(t), …,xn(t).

3.   Все выводы получаютсяследующим образом:

 

из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)eAt следует то, что,подставляя второе выражение в первое, получим

/>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Примеры:

 

Теперь рассмотрим несколько примеров на применениерассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:

/>Пример 1: Показать, что линейноеуравнение второго порядка

гдеf(t) — непрерывная периодическаяфункция с периодом ω,имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если

/>

Решение.

Сведем дифференциальное уравнение к системе иприменем  теорему 2:

1.   Имеем

/>

/>
2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составитьматрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицыдолжны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу дляоднородной системы, соответствующей неоднороднойсистеме (*):

/>

3. Находим мультипликаторыоднородной системы:

/>

/>Итак, если

все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны отединицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, чтосистема (*), а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственноепериодическое решение с периодом ω.

Задачарешена.

Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка

/>

при a≠2πk/ω(kÎR) имеет единственноепериодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a=±2π/ωне имеет периодическихрешений с периодом ω,а приa=2πk/ω (k — любое целое число, неравное ±1 и) все его решения— периодические с периодом ω.

Решение.

Очевидно, что здесь необходимовоспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примеранеобходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку принахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходногодифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые частидифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоватьсянекоторыми выкладками примера 1.

/> <td/> />
Итак, матрицамонодромии имеет следующий вид:

/>1.[a≠2πk/ω(kÎR)] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение видапри указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическоерешение с периодом ω.

2-3.[a=±2π/ω; a=2πk/ω (k — любое целое число, не равное ±1 и)]

При данных значениях а однородная система(**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии сзамечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующаязаданному дифференциальному уравнению, может или вообще не иметь периодическихрешений с периодом ω(для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), илииметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимоустановить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).

/>Сначала мы будем случаи 2 и3 рассматривать совместно:

Система уравнений (13):

/>Неоднородная система,соответствующая заданному дифференциальному уравнению:

/>

Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а:
если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеетмножество решений, если нет – не имеет их вообще.

2. Подставляем в систему (***)a=±2π/ω:

/> />

3. Подставляем в систему (***)a=2πk/ω (k — любое целое число, неравное ±1 и):

/>

Таким образом, система (13') имеет бесконечное множестворешений для данных значений а Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейнонезависимых периодических решений с периодом ω.

Замечание. Отдельно стоит рассмотретьслучай, когда а=0 (этому случаю соответствует k=0, если a=2πk/ω).

Если а=0, то матрицы, обратнойфундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следуетнесовместность системы (13'), а значит исходное линейное уравнение второгопорядка не имеет периодических решений.

Задачарешена.

 

еще рефераты
Еще работы по математике