Реферат: Кривые третьего и четвертого порядка

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯРАБОТА

на тему:

«Кривыетретьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты

группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила:

доцент кафедры высшей математики

к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002

Декартов лист

1. Особенности формы. Декартовым листом называетсякривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

/>                (1)

Иногда удобно пользоватьсяпараметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решаяполученную систему относи­тельно х и у, в результате будем иметь:

/>

откуда следует, что декартов листявляется рациональной кривой.

Заметим еще, что      полярноеуравнение декартова листа имеет вид

/>                      (3)

Координаты х и у входятв уравнение декартова листа симмет­рично, откуда следует, что кривая симметричнаотносительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при­водитк заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа.Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей сначалом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членовнизшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откудаполучим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Этикасательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в началекоординат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что впервом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у =х в точке

/>

Точки этой петли, в которыхкасательные парал­лельны координатным осям, имеют координаты

/>   и  />    (cм. рис. 1)

Для окончательного заключения о формекривой следует еще найти асимптоту/>Заменяя в уравнении кривой у на /> приравняем нулюв полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х.Получим />

/>и b= — а. Таким образом, де­картов  лист имеет асимптоту

у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-мкоординатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

/>

Рис. 1

2. Свойства. Согласно теоре­ме Маклорена, если втрех точках алгебраи­ческой кривой 3-го порядка, ле­жащих на одной прямой, про­вестикасательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать такжена прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказываетсяпросто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точекдекартова листа, соответствующих значениям t1, t2 и t3 параметра, на одной прямой. Еслиуравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пере­сеченияэтой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

/>

Система эта приводит к уравнению

/>

корни которого и будут искомымизначениями t1, t2 и t3 параметра, откуда следует, что

/>      (4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3 (t3) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремыМаклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можнорассматривать как прямую, которая пересекает декар­тов лист в двух совпадающихмежду собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которойсоответствующее значение параметра обозначим через T1.Условие (4) примет вид t12T1= -1. Для касательных в точках М2и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2= -1 и t32T3 = -1. Перемножая эти три равен­ства, будемиметь

(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем,что и T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченнуюпетлей декартова листа, получим:

/>

3. Способ построения. Заметим предварительно, что если осьсимметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

/>              (5)

Пусть теперь имеется окружность срадиусом r и центром в точке

/>

и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности ипроведем прямую QA и прямую QN,перпендикуляр­ную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QAс прямой  х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q1 с прямой QN. Та­ким образом,точке Q на окруж­ности будет поставлена всоответ­ствие точка Q1. Геометрическое место точек Q1 представляет со­бой декартов лист.

/>

Рис 2.

Для доказательства заметим, чтокоординаты точки Q можно записать в виде

/>

угол, состав­ляемый радиусом круга,проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. Всоответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде

/>

Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату

/>

точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ1 запишется в виде

/>         (6)

В то же время уравнение прямой Q1N имеет вид

/>         (7)

Исключая из уравнений (6) и (7)параметр w, находим уравнение гео­метрического места точек Q1 в виде

/>

Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденноегеомет­рическое место точек является декартовым листом.

Преобразование точек окружности вточки декартова листа, осу­ществляемое при таком его построении, называется преобразованиемМаклорена.

4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая,названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Фермав 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссеи ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе,ординате и неко­торой константе. Форма кривой устанавливается впервыеРобервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлениикривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квад­рантах, онполучает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическоеназвание кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой сналичием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли.Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой,открытой древними в поисках решения знамени­той задачи об удвоении куба, мыостановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей)с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВи на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким обра­зом точка Мпринадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделавуказанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то /> но /> откудаполучаем полярное уравнение циссоиды

/>                (1)

Пользуясь формулами перехода от полярныхкоординат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в пря­моугольной системе:

/>             (2)

Параметрические    уравнения циссоидыможно получить, пола­гая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем ксистеме

/>

/>

Рис. 3

Уравнение (2) показывает, чтоциссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравне­ний (3)следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относи­тельнооси абсцисс, имеет бесконеч­ные ветви; касательная к производящей окружности,т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координатявляется точ­кой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может бытьполучена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС,передвигаю­щегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит пооси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Ена оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив серединуотрезка ОЕ через D, замечаем,что поскольку ВС=ЕО, êВСЕ=êВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, êNBE— равнобедренный, а так как  ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения спродолжением отрезка DMпря­мой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишемокружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точкепересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К.Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что тре­угольники DOF и МВК равны между собой. Изравенства их сле­дует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическоеместо точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоидыоснованы на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоидаяв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

/> – уравнение данной параболы.Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (x, h)этой параболы можно записать в виде /> уравнение перпендикуляра, опущенногоиз

/>

Рис. 4.

начала координат на эту касательную,будет /> координатыточки N пересечения его с касательной определятся по формулам

/>                (4)

Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение  />

/> выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки,симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у2= 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно,определятся формулами

/>

Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получимциссоиду с уравнением /> Отсюда следует, что циссоидаявляется геометрическим местом точек, симметричных вершине параболыотносительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек,симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматриватькак траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится поданной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образованияциссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится подругой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствахциссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениямициссоиды в виде />

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняетсяутроенной площади производящего круга; действительно,

/>

Это соотношение получено былоГюйгенсом и независимо от него Ферма.

/>

Рис. 5.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5),найдем, интегрируя в границах /> до /> что она равна /> Если теперь провестикасательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейноготреугольника CMANC будет равна />

/> Выражение, стоя­щее в правойчасти, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак,пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращениемчасти плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординатопределится по формуле

/>

Если учесть, что объем тора,получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется/>то изполученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением частиплоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пятьраз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг тойже оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь хс — абсциссацентра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогдапо теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pхс, где V и U—соответственно объем и площадь,которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим />

Таким образом, центр тяжести частиплоскости, ограни­чиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок междувершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в своюочередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ееасимптоты. По тео­реме Гюльдена будем иметь

/>

/>

Этот результат можно истолковать также как объем тора,полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом,объем тела, полученного вращением циссоиды во­круг ее асимптоты, равен объемутора, полученного от вращения производящего круга. Это  соотношение установленовпервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины доточки с абсциссой х определится по формуле

/>

/>

3. Применение циссоиды к решению делосскойзадачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поискахрешения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласнолегенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали отмора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно былоумиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачисводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза большеобъема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, тосправедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внуше­нием математиков,нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении кубаявлялась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи опостроении квадрата с пло­щадью, в два раза большей площади данного квадрата,и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели всознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решенияделосской задачи при­писывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Воз­можностьнайти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данногокуба, усматривается из следую­щих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда /> и,следовательно, /> Отсюда ясно, что графическоерешение задачи должно свестись к построению />

Пе­репишем для этой цели уравнениециссоиды в виде /> Заметим далее, что прямая /> отсекает откасательной отрезок (рис. 6)

/>       (5)

и пересекает циссоиду в точке М,координаты которой удо­влетворяют уравнению />

Это уравнение можно рассматривать какуравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординатотрезок

/>                  (6)

Если теперь принять /> и на оси ординатотложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точкупересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученныйотрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из фор­мул (5) и (6),отрезок AD и будет равен />

Древние рассматривали только ту частьциссоиды, которая нахо­дится внутри производящего круга. Вместе с дугойокружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую листплюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей уциссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза­висимо от него Слюзом.Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписываетсяНьютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическимпутем, но и графическим.

/>

Рис. 6

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить кактраекторию точ­ки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по ок­ружности неподвижного круга с такимже радиусом. Она будет представ­лять собой, таким образом, эпициклоиду смодулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу жезаписать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенныхпараметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

/>         (1)

Чтобы получить полярное уравнениекардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить пооси абсцисс. Так как че­тырехугольник AOO1M бу­дет равнобедреннойтрапе­цией, то полярный угол j точки М окажется равным углу поворота производя­щего круга, т. е.парамет­ру t. Учитывая это обстоя­тельство, заменим во вто­ром уравнениисистемы (1) у через rsin t. Сокращая по­лученное таким образом ра­венство на sin t, получим полярноеуравнение кардио­иды

/>

Рис. 7

По виду этого уравнения

/>

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Па­скаля.Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) впрямоугольную систему координат, получим:

/>         (3)

Из этого уравнения следует, чтокардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоидаявляется эпи­циклоидой с m=1,на нее можно перенести все свойства рассмот­ренных нами в предыдущем параграфеэпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точкекардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметральнопротивопо­ложную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол m, составляемый касательной ккардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемогоэтим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно/>

/>

Из этого соотношения непо­средственновытекает, что угол, составляемый касательной к кардио­иде с осью абсцисс, равняется /> (каквнешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой /> можно доказать, чтокасательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс,взаимно перпендику­лярны.

Действительно,   так   как />

/>

Рис. 8

Заметим еще, что геомет­рическоеместо точек пересе­чения этих касательных есть окружность /> Дей­ствительно,уравнение первой касательной на основании урав­нений (1) кардиоиды, будет иметьвид />

/> а второй касательной /> Ис­ключая изэтих уравнений параметр, получим уравнение указанной ок­ружности.

3. Радиус кривизны в произвольнойточке кардиоиды опре­делится по формуле

/>             (4)

Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 по­лярнойнормали N в заданной точке.

Действительно, /> откуда  на основании (4) получаем /> Соотношение этоможет быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.

4. Эволюта кардиоиды, согласно общемусвойству эволют эпи­циклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, скоэффициен­том подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А допроизвольной точки М определится по формуле

/>             (5)

 Если длину дуги отсчитывать от точкиА1, диаметрально противопо­ложной точке А, то формула для определениядлины дуги может быть записана в виде

/>        (6)

6. Натуральное уравнение кардиоидыполучится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

/>          (7)

7. Площадь, ограниченная кардиоидой,определится по фор­муле

/>

и, как видно, равна ушестереннойплощади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

/>

и, как видно, равна восьми диаметрампроизводящего круга. Объ­ем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ееоси, равен />

Поверхность тела, полученного отвращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется />

Мы видели, что кардиоида органическисвязана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет сокруж­ностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительноточ­ки, принадлежащей этой окруж­ности.

/>

Рис.9

Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный нака­сательную к окружности с ради­усом, равным 2r,проведенную в точке N.

Так как ОМ = OB + ВМ, или r== 2r cos j + 2r,то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравне­нием r = 2r (1 + cos j).

Заметим в заключение, что кар­диоидаотносится также к семей­ству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ееповторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, чтоинверсия кардиоиды, относительно точки воз­врата дает параболу.

1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная вышекривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидойс моду­лем m, равным 1/4. Она представляет собой,следовательно, траекторию точки, лежащей на окружно­сти круга радиуса r, который ка­тится по внутреннейстороне друго­го, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.

Параметрические   уравнения астроидыможно получить, пола­гая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:

/>

/>

Рис. 10

где t, как и ранее, угол поворота производящего круга(рис. 10)

Исключая из уравнений (1) параметр t,получим:

/>          (2)

Из уравнения (2) следует, чтоастроида является алгебраической кри­вой 6-го порядка.

Параметрические уравнения (1)астроиды можно привести к виду

/>                   (3)

Исключая из этих уравнений параметрt, получим часто употребляе­мый вид уравнения астроиды

/>          (4)

Полагая в ранее выведенных общихсоотношениях для циклои­дальных кривых модуль

m = -1/4, получим соответствующие соот­ношениядля астроиды:

1) радиус кривизны в произвольнойточке астроиды опре­деляется по формуле

/>         (5)

2) длина дуги астроиды от точки А допроизвольной точки M(t) определится по формуле

/>            (6)

длина одной ветви равна /> а длина всейкривой 6R;

3) для получения натуральногоуравнения астроиды за­метим предварительно, что если началом отсчета длины дугипола­гать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = p, то длина дуги определится формулой

/>            (6)

исключая параметр t из уравнений (5)и (6), получим натуральное уравнение астроиды

/>

4) эволюта астроиды есть также астроида,подобная дан­ной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительноданной на угол p/4(рис.11)

5) площадь, ограниченная всейастроидой, равна /> объем тела, полученного отвращения астроиды, равняется 32/105p R3

поверх­ность тела, образованноговращением астроиды, равна />

Обратимся теперь к рассмотрениюнекоторых частных свойств астроиды.

Астроида является огибающей отрезкапостоянной длины, кон­цы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярнымпря­мым.

Принимаем эти прямые за оси координати, обозначая угол на­клона скользящего отрезка ND=R через a (рис.12), будем иметь уравнениепрямой ND в виде

/>    (7)

Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:

/>

Исключая из последнего уравнения иуравнения (7) параметр a,будем иметь уравнение огибающей в виде /> т. е. астроиду.

Практически перемещение отрезка NDможно осуществить с по­мощью так называемых кардановых кругов. Один из этихкругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза мень­шим, катится по внутренней стороне неподвижногокруга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося кругабудут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оунеподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будетастроида.

/>

Рис. 11

/>

Рис. 12

Рассмотренный способ образованияастроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, двестороны ко­торого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформи­руетсятак, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибаю­щая диагонали и будетастроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональDN, служит нормалью к оги­бающей, то астроида представляет собой геометрическоеместо оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоуголь­ника на егодиагональ.

2. Свойства касательных к астроиде. Уравнение (7) выражает прямую ND,т. е. касательную к астроиде в некоторой точке М, причем параметр a представляет собой угол, составляемыйэтой ка­сательной с осью абсцисс. Уравнение другой касательной, перпенди­кулярнойк первой, будет иметь вид

/>   (8)

Исключая из уравнений (7) и (8)параметр а, получим уравнение /> или, в полярной системе, /> котороевыражает четырехлепестковую розу. Итак, геометрическое место вершин прямогоугла, стороны которого касаются астроиды, есть четырех лепестковая роза.

Другое свойство касательных кастроиде таково: каждая касательная пересекает астроиду в двух точках, касательныев которых пересекаются в точке, лежащей на окружности описанного около астроидыкруга.

Определим подэру астроиды от­носительноточки Р, лежащей на бис­сектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР=с отначала коорди­нат. Выше было показано, что астроиду можно рассматривать как огибающуюотрезка ND = R, скользящего своими концами по координатным осям. Отсюда

/>

Рис. 13

следует, что искомую подэру можноопределить как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных източки Р на пря­мую ND (рис. 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — серединаотрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом, а прямую РК полярной осью. Полярный уголКРМ точки М подэры обозначим через j, а радиус-вектор РМ — через r. Тогда, как легко видеть, угол />

Так как />

Но, с другой стороны, /> На основании последнихдвух равенств, полярное уравнение подэры запишется в виде /> а в прямоугольной системес началом в точке Р в виде

/>

Полученная таким образом кривая 6-гопорядка имеет в начале коор­динат четырехкратную точку и называется «жуком». Вчастном слу­чае, пои с=0, жук становится розой,

3. Косая астроида. Обобщениемрассмотренной астроиды является так называемая косая астроида, котораяпредставляет собой оги­бающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своимикон­цами по двум прямым, пересекающимся под произвольным углом f.

/>

Рис. 14

Полагая эти пересекающиеся прямыекоординатными осями, обозна­чим угол, составляемый прямой ND с осью абсцисс,через t. Тогда из треугольника OND (рис. 14) будем иметь:

/>

откуда

/>

и следовательно, уравнение прямой NDв отрезках на осях запи­шется в виде

/>

Дифференцируя это урав­нение по t иисключая из полученного после дифференцирования равенства и уравнения прямойпараметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде

/>

при /> эти уравнения выражаютрассмотренную ранее прямую астроиду.