Реферат: Кватернионы

/>

Как сделать из точек числа?

    Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета и масштабс направлением, можно получить из прямой числовую ось и тем самым превратить каждуюточку в действительное число – ее координату.

    С точками на плоскости сложнее. Выбираем две оси и начало отсчета. Для каждойточки плоскости сопоставляем ее координаты (x;  y). Эта парабудет называться дуплетом. Чтобы сделать дуплет числом, нужнонаучиться “складывать” и “умножать” их в соответствии со свойствами сложения иумножения.

    Дуплеты складываются как векторы – покоординатно:

(x; y) + (x’; y’) = (x + x’; y + y’).(1)

Дляумножения существует иная формула:

(x; y) /> (x’; y’)= (xx’ -  yy’; xy’ + x’y). (2)

Умножениеи сложение (1), (2) дуплетов подчиняются привычным свойствам сложения иумножения. Следовательно, множество дуплетов с операциями (1), (2) можносчитать полноценным числовым множеством.

    На самом деле дуплеты – это комплексные числа. Их записывают так:x + yi, где i –мнимая единица (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен />. Это позволяет извлекатьквадратные корни из отрицательных чисел.

    Но встает проблема превращения точек пространствав числа.Здесь снова введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трехкоординат (x; y; z). Эти так называемые триплетытожескладываются покоординатно:

(x; y; z) + (x’; y’; z’) = (x + x’; y + y’; z + z’). (3)

Триплетыможно будет считать числами, если научиться их умножать, обладая, вместе сосвойствами сложения, обычными способами умножения этих операций.

    В 1833 г. умножением триплетов занимался ирландский математик У. Р.  Гамильтон(1805 – 1865). О нем мы расскажем особо.

Уильям Роуан Гамильтон

    Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владелдевятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академииработу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г. получил званиекоролевского астронома Ирландии.

    К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и былизвестен работами по оптике и аналитической механики. Он предсказал эффектдвойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

    В течение долгих десяти лет Гамильтон безуспешно пытался придумать правилоумножения триплетов.

Векторное произведение

    Задача поначалу казалась несложной. Складывать векторы следовало по формуле(3). Оставалось найти формулу умножения, подобную формуле (2). Но Гамильтонбезуспешно пытался подбирать формулы для умножения триплетов.

    В то время было известно правило векторного произведения:

векторнымпроизведением /> ненулевыхвекторов /> называется вектор,перпендикулярный плоскости, проходящей через векторы /> имеющий направление,определяемое правилом “правой руки”,  и длину ê/>ê/> ê/>ê/>.Если для данных векторов заданы координаты в прямоугольной системе координат:

/>

/>

то/> (4)

Нооперация векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеетобратной. Например, если /> то угол(/>) между векторами равеннулю. Значит, длина векторного произведения /> равнанулю, т.е. и сам вектор /> нулевой.

    Но несмотря на неудачи, Гамильтон пытался решить поставленную перед собойзадачу. Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже). Но трудне пропал даром. В 1843 г. Гамильтон вдруг решил, что для определения умножениянужно рассматривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или кватернионы.Вот история их создания.                             

Случай на Брогемском мосту

/>

   В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16-й день октября,который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской ИрландскойАкадемии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоейматерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельныефразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-тотворилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснулаискра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли итруда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет дарованодостаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не всостоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского мостафундаментальную формулу о символах i, j, k,

/>,

содержащуюрешение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако болеепрочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, гдезасвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад окватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственнов Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.

Определениекватернионов

  Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v),которые удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk, где i, j, k– новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах.Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям:

/> (5)

/> /> (6)

которыеудобно записать в виде “таблицы умножения”.

                                  x      i      j       k

                                  i      -1      k      j

 

                                  j      -k     -1     i

 

                                  k      -j     -i    -1

   

    По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся пообычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом правил(5) –  (6).

    Согласно этому определению, если /> и /> – два кватерниона, то

/>/> (7)

Это,разумеется, привычное нам “покоординатное” сложение. Далее, произведениекватернионов /> и /> вычисляется так:

/>     

Длинная,но совершенно автоматическая проверка показывает, что умножение кватернионовобладает сочетательным свойством:

/>

Естественносчитать, что действительные и комплексные числа являются частным случаемкватернионов. Так, действительное число x – это кватернион вида

/>

Комплексноечисло z = x + yi  представляется как кватернион

/>

       

    У операции сложения кватернионов, очевидно, имеется обратная операция–вычитание. Именно, разность двух кватернионов /> и/> определяется формулой:

/>

Если/>, то разность кватернионов –это нулевой кватернион.

Деление кватернионов

    Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции умножения.Вообще, что мы понимаем под частным от деления числа a на число b,не равное нулю? Это такое число c, что

bc = a. (10)

Такопределяется частное от деления для действительных и комплексных чисел. Ксожалению, для кватерниона применить непосредственно это определение мы неможем. Для того чтобы формула (10) “корректно” определяла частное, нужно, чтобыпроизведение не зависело от порядка сомножителей. В противном случае наряду счастным /> определенным формулой (10),существует вполне равноправное “левое” частное” с’, определяемое формулой

c’b = a,

котороеможет отличаться от “правого частного” c из (10). Вот здесь, кроменеобходимости выйти за пределы трехмерного пространства, Гамильтону пришлосьпринести еще одну жертву.

    Оказывается, определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще однопривычное качество: произведение кватернионов зависит от порядка сомножителей.Действительно, уже в формулах (6) при изменении порядка сомножителейпроизведение меняет знак.

    Таким образом, можно говорить лишь о “делении справа” и “делении слева”. Какреально найти, скажем, “левое частное” от деления кватерниона /> на кватернион />?

   Обозначим искомое частное через q = x + yi + uj + vk. Тогда, используяправило умножения для кватернионов и определение левого частного, получимследующее равенство кватернионов:

/>,

или

/>

   Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений спеременными x, y, u, v:

/>

   Аналогичным образом находится “правое частное” от деления /> на />.

   Рассмотрим частный случай, когда делимое /> равноединице. В этом случае частное от деления />=1на кватернион /> (и “слева” и“справа”) равно одному и тому же кватерниону

/>

Поэтомукватернион p обозначается через />.Тогда “правое частное” от деления кватерниона /> на/> выражается формулой

/>,

а“левое частное” от деления кватерниона /> на/> – формулой

/>

   Практически частное от деления двух кватернионов ищется другим путем. Для этогонам потребуются

Скалярные и векторные кватернионы

   Так же как комплексные числа разлагаются в сумму своей действительной и мнимойчастей, кватернион тоже можно разложить в сумму q = x + (yi + uj + vk). Первоеслагаемое в этом разложении называется скалярной частью кватерниона,а второе – векторной частью. Скалярная часть х – это простодействительное число, а векторная часть может быть изображена вектором r =yi + uj + vk в трехмерном пространстве, где i, j, k мы теперьрассматриваем как единичные вектора прямоугольной системы координат.

   Таким образом, каждый кватернион q представляется в виде суммы q = x+ r, где x – скалярная часть кватерниона q, а r –векторная часть. Если r = 0, то q = x и кватернион q называетсяскалярным кватернионом. Если же x = 0, то q = r и qназывается векторным кватернионом.

   При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и векторныечасти.

   При умножении дело обстоит сложнее. Если /> и/> – скалярные кватернионы, тоих произведение тоже скалярный кватернион. В случае, когда />= х – скалярныйкватернион, а /> = r –векторный кватернион, произведение /> являетсявекторным кватернионом, и операция умножения совпадает с умножением вектора rв пространстве на действительное число x.

   И, наконец, если оба кватерниона векторные, то

/>

Каквидно из последней формулы, скалярная часть произведения />/> равна скалярномупроизведению /> векторов /> и /> с обратным знаком.Векторная же часть />/> – это наш старый знакомый –векторное произведение />, записанное вкоординатах.

/>   Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножениякватернионов. Если   /> и/>, то

/>

А как же триплеты?

   Почему же Гамильтону не удалось найти способа умножения триплетов? Раньше ужебыло отмечено, что эту задачу решить нельзя. Доказано, что попросту несуществует способа умножения точек пространства, удовлетворяющего нашимтребованиям (ассоциативности, дистрибутивности относительно покоординатногосложения, возможности деления на ненулевые элементы). Сейчас, к тому же,известны все случаи, когда можно вести такое умножение. Это доказал немецкийматематик Ф. Г. Фробениус (1849 – 1917). По его словам, этих случаев три: вразмерности один (действительные числа), в размерности два (комплексные числа)и в “размерности четыре” (кватернионы).

Что было дальше

   Гамильтон и его последователи возлагали большие надежды на кватернионы. Откватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел, и дажебольше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаруженысовершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важныхфизических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического ифункционального исчисления кватернионов не оправдались.

   Для кватернионов не имеет места основная теорема алгебры о существовании корнейу многочлена с кватернионными коэффициентами, а, с другой стороны, существуеттакой многочлен с кватернионными коэффициентами от одной переменной, длякоторого любой кватернион является корнем. 

  Оптимизм сменился скепсисом. В начале нашего века математики пересталиинтересоваться кватернионами. Но время шло, и физики упорно искалиматематический формализм для некоторых эффектов, связанных с так называемым спиномэлементарных частиц. Кватернионы снова получили признание, когда была понята ихроль в построении различных геометрических преобразований пространства, используемыхв квантовой физике. Геометрические свойства кватернионов – это особая большаятема.

Дляэтого будет посвящен другой реферат.

 Использованнаялитература:

 Квант.Изд. “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы, Москва,1983(9).