Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт

(Технический Университет)

Кафедра                                                                        ФакультетVIII

Прикладной                                                                           Курс II

Математики                                                                       Группа 891

Дисциплина: Информатика – 2Курсовая работа

Тема: «Исследование распределения температуры в тонкомцилиндрическом стержне»

Руководитель:

Поляков В.О.

Исполнитель:

Солнцев П.В.

Санкт-Петербург 2001Введение

В решении любой прикладнойзадачи можно выделить три основных этапа:

-    построение математической моделиисследуемого объекта

-    выбор способа и алгоритма решенияполученной модели

-    численная реализация алгоритма

Цель данной работы – напримере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержнеосвоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыкисамостоятельных исследований, существенно опирающихся  на использование методовприкладной  математики.

Содержание

1.   Постановка задачи

1.1      Физическая модель

1.2       Математическая модель

2.   Обработка результатов эксперимента

2.1      Задача регрессии. Метод наименьшихквадратов.

2.2      Гипотеза об адекватности моделизадачи регрессии

3.   Нахождение коэффициентатеплоотдачи a

3.1      Вычисление интеграламетодом трапеций

3.2      Вычисление интеграламетодом парабол (Симпсона)

4.   Вычисление времени Т0установления режима

4.1      Решение уравнениякомбинированным методом

4.2      Решение уравненияметодом итерраций

5.   Решение краевой задачи(метод малого параметра)

6.   Заключение

Литература

1.   Постановка задачи

1.1      Физическая модель

Вряде практических задач возникает необходимость исследования распределениятемпературы вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого ввысокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводитьсялибо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точкахстержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

Внастоящей работе используются оба подхода.

Тонкийцилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой q, на концах стержня поддерживается постояннаятемпература q0.

                                     

/>

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осьюстержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределениятемпературы по стержню) мосле момента установления режима Т0.

/> <td/> />
Первая математическая модель используетэкспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Uiрассматривают как функцию регрессии иполучают статистики. Учитывая чётность U(x) можноискать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся4-ой степенью этого многочлена)./> <td/> />
                                        (1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестныхпараметров, т.е. коэффициентов a0, a1 и a2, например, методом наименьшихквадратов.

Вторая математическая модель, также использующаяэкспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и можетупотребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимомала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui

/> <td/> />
Третья математическая модель основана наиспользовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеетвид:

                                        (1.2)

где l — коэффициенттеплопроводности, a — коэффициент теплоотдачи, D – диаметрстержня, q- температура потока, в который помещёнстержень.

/> <td/> />
Ищем U(x) как решение краевой задачидля уравнения (1.2) с граничными условиями:

                                        (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длинастержня, q0 — постоянная температура, поддерживаемаяна концах стержня.

Коэффициент теплопроводности l зависит оттемпературы:

/> <td/> />
                                        (1.4)

где l0 — начальноезначение коэффициента теплопроводности, sl — вспомогательный коэффициент.

/> <td/> />
Коэффициент теплоотдачи a вычисляют по формуле:

                                        (1.5)

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь a0 — значение a при t стремящемсяк бесконечности, b – известный коэффициент.

/> <td/> />
Время Т0, по истечении которогораспределение температуры в стержне можно считать установившимся определяетсяпо формуле:

                                        (1.6)

/> <td/> />
где а – коэффициент температуропроводности, x — наименьший положительный корень уравнения:

                                        (1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

1.   L = 0.0386 м

2.   D = 0,00386 м

3.   q = 740оС

4.   q0= 74 оС

5.   l0= 141,85 (Вт/м*К)

6.   sl= 2,703*10-4

7.   B = 6,789*10-7

8.   a0= 3,383*102 (Вт/м2*К)

9.   T = 218 оС

10.        А = 3,043*10-5(м2/с)

11

X, м

U, oC

353 0,00386 343 0,00772 313 0,01158 261 0,01544 184 0,01930 74

2.Обработка результатов эксперимента.

 

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

/> <td/> />
Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценкикоэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки,обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии отэкспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всемэкспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

                                        (2.1)

/> <td/> />
В нашем случае необходимым т достаточнымусловием минимума S будут:

Гдеk = 0, 1, 2.                (2,2)

/> <td/> />
Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:/> <td/> />
                                        (2.3)/> /> /> /> /> /> <td/> />
Сумма/> <td/> />
Система (2.3) примет вид:

                                        (2.4)

/> <td/> />
В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через“p”:/> <td/> />
Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдёмобратную матрицу p-1. В результате получаем:/> <td/> />
Подставляя в (2.1) найденные значения оценоккоэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

                               Smin=0.7597

Припостроении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяемпредварительно точечные оценки.

/> <td/> />
Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайныеошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией s2, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:/> <td/> />
Где r – число степеней свободысистемы, равное разности между количеством экспериментальных точек иколичеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3./> <td/> />
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

 

/> <td/> />
Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентовнайдём по формулам:

 ГдеSk – минор соответствующего диагонального элемента матрицынормальной системы;

D — главныйопределитель нормальной системы.

Внашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

/> <td/> />
Откуда:/> <td/> />
Найденные оценки коэффициентов распределены понормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённыхэкспериментальных данных Ui./> <td/> />
Известно, что эти оценки несмещённые иэффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

/> <td/> />
Выбираем доверительную вероятность b=0,9 и по таблице Стьюдента находим критическоезначение gb равное 2,35, удовлетворяющееравенству:/> <td/> />
Доверительные интервалы для коэффициентов:

                                        (2.4*)

/> <td/> />
В нашем случае примут вид:

/>

2.2 Проверка статистическойгипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

/> <td/> />
Имеется выборка объёма n экспериментальныхзначений (xi;Ui).Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией s2. Мы выбрали функцию регрессии в виде:/> <td/> />
Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленомвторого порядка, т.е. функцией вида:

                                        (2.5)

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Cпомощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсииотдельного измерения Ui для этих случаев:

Гдеr1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

/> <td/> />
Нормальная система уравнений для определенияновых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

                                        (2.7)

/> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> /> />
Решая эту систему методом Гаусса, получим:

                                                                               (2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неёдолжна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдутсвязанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобысделать выбор между функциями U(x)и U(1)(x) нужнопроверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е.проверить гипотезу:

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Н0 – альтернативная гипотеза

Т.е.проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.

/> <td/> />
В качестве статического критерия рассмотрим случайнуювеличину, равную:

                                        (2.9)

имеющуюраспределение Фишера с(r; r1) степенями свободы.Выбираем уровень распределения Фишера,находим критическое значение F*a, удовлетворяющее равенству: p(F>F*a)=a

Внашем случае F=349.02, а F*a=10,13.

/> <td/> />
Если бы выполнилось практически невозможноесоотношение F>Fa, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

,коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности a.

/> <td/> />
 Коэффициент a вычислим по формуле (1.5), обозначим:/> <td/> />
                                        (3.1)/> <td/> />
Определим допустимую абсолютную погрешностьвеличины интеграла I, исходяиз требования, чтобы относительная погрешность вычисления a не превосходила 0,1%, т.е.:

                                        (3.2)

/> <td/> />
Т.к. из (3.1) очевидно, что a>a0, то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

                                        (3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютнойпогрешности вычисления интеграла Iвозьмём                        d=0,001Т    (3.4)

Т=218 оС, следовательно, d=0,218 оС.

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

 

 Использование теоретической оценки погрешности/> <td/> />
Для обозначения требуемой точности количествачастей n, на которые нужноразбить отрезок интегрирования [0;T] определяетсяпо формуле:

, где M2=[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3

/> <td/> />
Учитывая формулу (3.4) получаем:

                                        (3.5)

/> /> /> /> /> /> <td/> />
Дифференцируя f(t), получим:/> <td/> />
А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10-4

f’’(t2)=-1.6627 10-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10-6

Итак: M2=1,5886 10-4, откуда n=25.66;принимаем N=26.

/> <td/> />
Далее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления a:

/>

3.2 Вычисление интеграла I методом парабол

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
При расчётах будем использовать теоретическую оценкупогрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точностиколичество частей n, на которое следует разделить интервал интегрированияможно определить по формуле:/> <td/> />
, откуда:

Нахождение М4 можно провести аналогичнонахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге –наиболее простой способ.

Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученноепри разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2nинтервалов. Если выполнено равенство:  |I2n-In| = 15d (*1), то |I-I2n|=d

/> <td/> />
Будем, начиная с n=2, удваивать n дотех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

                                        (3.6)

/> <td/> />
Согласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

n

In

I2n

4 102.11 8 101.61 0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61 что впределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8 n=4

ti (8)

y8

ti (4)

y4

1 1 27.25 0.9864 54.5 0.8959 54.5 0.8959 81.75 0.6901 109 0.4151 109 0.4151 136.25 0.1796 163.5 0.0514 163.5 0.0514 190.75 0.0089874 218 0.00088179 218 0.00088179

4. Вычисление времени Т0установлениярежима

 

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

 

Времяустановления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

F(x) -1 -0.6285 0.4843 x 0.01 0.05 0.1

т.е. x с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует иявляется единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на[a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условиеединственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью  непревышающей e=10-4

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

/> <td/> />
f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x).f”(x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа, ахорды слева. Приближение корня по методу касательных: /> <td/> />
по методу хорд:/> <td/> />
Вычисление ведём до того момента, пока невыполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

n

an

bn

f(an)

f(bn)

0.05 0.1 -0.6285 0.4843 1 0.07824 0.08366 -0.0908 0.0394 2 0.08202 0.08207

-9.1515 10-4

3.7121 10-4

3 0.08206 0.08206

-8.4666 10-8

3.4321 10-8

Т0= 72,7176 секунд.

 

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = j(x). Для этогоумножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим кобеим частям х:

X = x — m f(x)

/> <td/> />
j(x) = x- m A x sin(x) + m cos(x)

В качестве m возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b],а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a;b]имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда m = 0,045.

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Приближение к корню ищем по следующей схеме:/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнитсяусловие:

                     (q = max |j’(x)|на [a’b])

j’(x) на[a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном изконцов.

j’(0,05) = 0,3322                      j’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322< 1. В этом случае выполняется условиесходимости и получается последовательность:

i

xi

j( xi)

D xi

0.075 0.082392 0.00739 1 0.082392 0.082025 0.000367 2 0.082025 0.08206

3.54 10-5

3 0.08206 0.082057

3.33 10-6

4 0.082057 0.082057

3.15 10-7

Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем:

Т0 = 72,7176 с., x = 0.03142

5. Решение краевой задачи

/> <td/> />
Используем метод малого параметра. Краевуюзадачу запишем в виде:

                                        (5.1)

/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Введя новую переменную y = (U — q0)/(q — q0), запишем (5.1) в виде:

                                        (5.2)

/> <td/> />
e = sl(q- q0) =0.18, L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём e./> /> /> /> /> /> <td/> />
 Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены приодинаковых степенях e, получим:

                                        (5.3)

/> <td/> />
Ограничимся двумя первыми членами ряда:/> <td/> />
Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнениядля y0:

где y0с тильдой – частное решение данногонеоднородного уравнения; y(1)и y(2) – линейнонезависимые решения однородного уравнения.

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Корни уравнения:

y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p= 0.01953

/> <td/> />
Константы найдём из граничных условий:

откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е.имеем функцию:

y0= 1 — 0.57 sh(px)

/> <td/> />
Общее решение:/> <td/> />
Частное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А1= 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569;

Тогда общее решение для y1 имеетвид:

/> <td/> />
с3 = 0; с4 = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

/> <td/> />
q0= 0;q1 = -374.11; q2 = -12.9863; q3 = 2057/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Итоговое уравнение:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значенийфункции U(x):

x U(x) U 352.9075 353 0.0019 350.4901 0.0039 343.1972 343 0.0058 330.9053 0.0077 313.4042 313 0.0097 290.391 0.0116 261.4598 261 0.0135 226.0893 0.0154 1836255 184 0.0174 133.2579 0.0193 74 74

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

                                        [см.приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощивычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонкомцилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания иобработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределахпогрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

      Литература

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений.Решение нелинейных уравнений»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённыеметоды ислисления определённых интегралов»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

3.   Методические указания «Изучениераспределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)

/> <td/> />
Приложение 1
еще рефераты
Еще работы по математике