Реферат: Дзета-функция Римана

Министерство образования Российской Федерации

Ставропольский Государственный университет

Кафедра математического анализа


Курсовая работа на тему :

 

«Дзета-функция Римана»

Выполнил:студент  2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович

Ставрополь, 2004 г.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучныхдисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивноепредставление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняетсясведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная,показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики кругизвестных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные игиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции),тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует.Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, подфункцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-томножества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества X называются аргументами,а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует однозначение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной.Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X  может бытьподмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функцияназывается числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным,графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этойработе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение,по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методамитеории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладнымвопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющейширочайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великийшвейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства.Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик БернгардРиман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовалнесколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них онраспространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл еёаналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньшихзаданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участиемфункции /> и высказал свою гипотезу онулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которойбезрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

 Научная общественность считала и считает решение этой проблемыодной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на МеждународнойПарижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развитиянауки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть наукудалеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay MathematicsInstitute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функциейбудет и интересным, и полезным.


Глава 1.

Итак,приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В даннойглаве мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя изеё определения с помощью ряда.

Определение.Дзета-функциейРимана ζ(s) называютфункцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

/>                                                                                                      (1)

если она существует.

Основнойхарактеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашейфункции.

Пустьсначала s0, тогда s=−t, где t принадлежитмножеству неотрицательных действительных чисел R+/>{0}. В этом случае /> и ряд (1) обращается в ряд />, который, очевидно,расходится как при t>0,так и при t=0. То есть значения s0 не входят в область определенияфункции.

Теперьпусть s>0. Для исследования сходимостиряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию />, где />, которая является на промежутке непрерывной,положительной и монотонно убывающей. Возникает триразличных возможности:

1)   0<s<1. Тогда />, поэтому ряд (1) расходитсяи промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;

2)   s=1. Получаем />, то есть при s=1 дзета-функция Риманатакже не определена;

3)   s>1.   В   этом    случае    />

/>. Ряд (1) сходится.

Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функцииесть промежуток />. На этомпромежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное числораз.

Докажем непрерывность функции ζ(s) на области определения. Возьмёмпроизвольное число s>1. Перепишем ряд (1) в виде />. Как было выше показано,ряд /> сходится, а функции /> при s>sмонотонно убывают и всевместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>sряд (1) сходится равномерно.Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что влюбой точке s>sдзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности sζ(s) непрерывна на всейобласти определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально,найдём производную дзета-функции Римана:

/>                                                                                                (2).

Чтобыоправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2)равномерно сходится на промежутке /> ивоспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируемлюбое s>1 и представим ряд (2) в виде /> дляs>s. Множители />, начиная с n=2, монотонно убывают,оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходитсяравномерно при s>s, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можнозаключить между /> и />, где />, а />; к промежутку /> применима вышеуказаннаятеорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функциипроизводных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

/>.

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика.Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теоремео почленном переходе к пределу, имеем />.При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому />.

Чтобы исследовать случай />,докажем некоторые вспомогательные оценки.

 Во-первых, известно, что если для ряда /> существует непрерывная,положительная, монотонно убывающая функция />,определённая на множестве />, такая,что />, и имеет первообразную />, то остаток ряда оценивается   так: />, где />.  Применяя  вышесказанное   к  ряду   (1),   найдём,  что   необходимая  функция

/>, а /> и />. Отсюда, подставляя вдвойное неравенство, имеем

/>                                                           (3). В левом неравенстве положим n=0, тогда />,то есть />. В правом же возьмём n=1 и получим />, далее />, /> и, наконец, />. Переходя в неравенствах /> к пределу при />, находим />.

Отсюда, в частности, следует, что />.Действительно, положим />. Тогда />, то есть /> />.Поэтому />. Из того, что />, а />, вытекает доказываемоеутверждение.  

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценкиповедения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше,принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства />. Прибавим ко всем частямнеравенств (3) сумму /> и вычтем />. Имеем />. Пусть здесь s стремится к единице. Поправилу Лопиталя легко вычислить /> и />. Мы пока не знаем,существует ли предел выражения /> при />, поэтому, воспользовавшисьнаибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: />

/>. Ввиду произвольности n возьмём />. Первое и последнеевыражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C/>0,577). Значит />, а, следовательно,существует и обычный предел и />.

 Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительноепредставление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, котораядаст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно,определим значения />, где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение />,где /> - знаменитые числа Бернулли(по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое /> в левую часть равенства.Слева получаем /> />cth/>, а в правой части — />, то есть />cth/>. Заменяем /> на />, получаем />cth/>.

С другой стороны, существует равенство cth/>, из которого />cth/>. Подстановкой /> вместо /> находим />cth/> />. Если />, то для любого />N /> /> и по теореме о сложениибесконечного множества степенных рядов />cth/> />.     

Приравняем полученные разложения: /> 

 />, следовательно />. Отсюда немедленно следуетискомая формула

  />                                                                                      (4),где /> - k-е число Бернулли. Онаудобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.   

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскизграфика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всейобласти определения.

/>

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получилзамечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тожепринимают за определение:

/>, где pii-е простоечисло                                             (4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнивформулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство />

/> Если перемножитьконечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящимзаданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажетсяравным   />, где    символ    *   означает,     что    суммирование распространяется не на все натуральные числа,а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержаттолько простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этимсвойством обладают, то

/>                                                                      (5).

Сумма /> содержит не все числа,большие N+1, поэтому, очевидно, />. Из (5)получаем

/>                                                                 (6).

Ввидусходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится кнулю при N стремящимся к бесконечности, а /> естьпроизведение (4). Значит из неравенства при /> />, что и требовалось доказать.

Формула(4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множествомзначений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг вэтом направлении мы сделаем, оценив />, аименно показав, что />, где /> остаётся ограниченным при />.

Из (4)следует, что />, где />N, а /> при />. Возьмём логарифм от обеих частейравенства, тогда /> />. Натуральные логарифмы подзнаком суммы разлагаются в ряд: /> />. Подставив полученныеразложения в равенство и устремив N кбесконечности, имеем />. Остаётсядоказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что />. Последнее равенствосправедливо,  так как /> />. Далее, очевидно, />, что и завершаетдоказательство.

Наэтом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительногоаргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет  случай изложенный во второй главе.


Глава 2.

 

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, былиполучены в предположении, что её аргумент s – действительное число.Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения сталивозможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел.Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкийматематик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший еёв теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данноев главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет />C. Возникает необходимостьнайти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: вполуплоскости /> (/> действительная часть числа x) ряд

/>                                                                                                               (1)сходится абсолютно.

Пусть />. Подсчитаемабсолютные величины членов ряда (1), />. Первыймножитель содержит только вещественные числа и />,так как />. Ко второму же множителюприменим знаменитую формулу Эйлера, получим />/>. Значит, />. Ввиду сходимости ряда /> при α>1, имеемабсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно,при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд /> мажорирует ряд изабсолютных величин />, где />, откуда, по теоремеВейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда  в полуплоскости />. Сумма же равномерносходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулыбез изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательствапретерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютнымвеличинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использоватьразложение дзета-функции в произведение />,где s теперь любое комплексное число, такое, что />. Применим его к доказательствуотсутствия у функции /> корней.

Оценим величину />,используя свойство модуля />: />, где как обычно />. Так как />, то />, а />, следовательно,дзета-функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросыполучают новые широкие возможности для исследования, если распространить её навсю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможныхспособов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем еёфункциональное уравнение, характеризующее и  однозначно определяющее />.

Для этого нам понадобится формула

/>  (2), которая выводится следующим образом.Используя свойства интегралов можно записать />.Для любого d при /> />,  значит /> и />, а />. />. Следовательно, /> /> />/>/>. Интеграл /> можно найти интегрированиемпо частям, принимая />, />; тогда />, а />. В результате /> />.Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим />,отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) />, />, a и b – целые положительныечисла. Тогда /> />. Пусть сначала />, примем a=1, а b устремим кбесконечности. Получим />.Прибавим по единице в обе части равенств:

/>                                                                       (3).

Выражение /> являетсяограниченным, так как />, а функция /> абсолютно интегрируема напромежутке /> при />, то есть при />, />. Значит, интеграл /> абсолютно сходится при />, причём равномерно в любойконечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой />. Тем самым он определяетаналитическую функцию переменной s, регулярную при />.Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжениедзета-функции на полуплоскость /> и имееттам лишь один простой полюс в точке /> свычетом, равным единице.

Для /> можнопреобразовать выражение (3) дзета-функции. При /> имеем/>, значит, /> и/>. Теперь при /> (3) может быть записано ввиде />.

Немного   более  сложными  рассуждениями  можно   установить,  что  в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции наполуплоскость />. Положим />, а />, то есть />  первообразная для />. /> ограничена, так как />, а интеграл /> /> и/> /> ограничениз-за того, что />. Рассмотрим интеграл/> при x1>x2 и />. Проинтегрируем его почастям, приняв />, />, тогда />, а по указанному вышеутверждению />. Получаем /> />.Возьмём />, а />. Имеем />, />,  потому  что  />  является   ограниченной   функцией.  Значит,

 />                                                                       (4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла />, если />, и ограниченностью функции />, делаем вывод, что в левойчасти равенства (4) интеграл тоже сходится при />.Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правеепрямой />.

Нетрудно установить, что для отрицательных /> />,поэтому из (3) имеем

/>                                                                                       (5) при />.

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение вряд

/>                                                                                    (6).

Подставим егов равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:

/>. Сделаем в полученном интегралеподстановку />, отсюда следует />, а />, и получим далее />. Известно, что /> />,значит /> />.Из известного соотношения для гамма-функции />,по формуле дополнения />,следовательно /> />

Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана

/>                                                                    (7),

которое самопо себе может служить средством изучения этой функции, так как вполнехарактеризует её, в том смысле, что любая другая функция />, удовлетворяющая равенству(7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с />.

Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7)для />. Однако правая часть этогоравенства является аналитической функцией s и при />. Это показывает, чтодзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость,причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при />.

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосноватьпочленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и егочастичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечномотрезке допустимо. Ввиду /> /> для любого />, остаётся доказать, что /> /> при/>. Но интегрируя внутреннийинтеграл по частям   имеем />

/>. Отсюда без трудаполучается наше утверждение.

Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записаномногими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильноеравенство

/>                                                                       (8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число.Имеем />. По формуле (4) первойглавы /> />,а />, поэтому /> и произведя в правой части всесокращения, учитывая, что />, получим/>.

Покажем ещё, что />. Дляэтого прологарифмируем равенство (8): />  /> и результатпродифференцируем /> />. В окрестности точки s=1 />, /> />,/>, где С – постояннаяЭйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим />, то есть />. Опять из формулы (4) главы1 при k=0 />, значит,действительно, />.


Глава3.

 

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется вматематическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел,где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел внатуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных примененияхдзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немногопредставить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересныхутверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самоезнаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит вследующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначимих p1, p2, …, pn. Рассмотрим число p1p2pn+1, оно не делится ни наодно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простымчислом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит,количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию,было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим />, отсюда /> и ввиду расходимостигармонического ряда, имеем при /> 

/>                                                                                         (1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведениеимело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует обобратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде />.Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимостипредыдущего делаем вывод, что ряд /> расходится.Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём,что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так какздесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном рядеимеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: />, />, …, />.

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны вконцептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более иболее глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально,основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции />, то есть количества простыхчисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей /> и />, мы сейчас получимравенство

/>                                                                                     (2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: />. Из логарифмического ряда />, учитывая, что />, приходим к ряду /> />.Значит, />.

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при /> />,то />. Во внутреннем интегралеположим />, тогда /> и />, отсюда />.В промежутке интегрирования/>, поэтому верно разложение /> и /> />.Получаем /> />.Теперь /> /> />. Если сравнить полученноезначение интеграла с рядом для />, тоувидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной иважной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простыхчисел, то есть покажем, что />.

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкийматематик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё впятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц,содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить этоуравнение относительно />, то есть обратитьинтеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом.Пусть /> />.Тогда

/>                                                                                   (3).Этот интеграл имеет нужную форму, а /> неповлияет на асимптотику />.Действительно, так как />, интеграл для /> сходится равномерно вполуплоскости />, что легкообнаруживается сравнением с интегралом />.Следовательно, /> регулярна иограничена в полуплоскости />. То же самоесправедливо и относительно />, так как/> />.

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьмазатруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство(3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем />. Обозначим левую частьчерез /> и положим />, />, (/>, /> и /> полагаем равными нулю при />). Тогда, интегрируя почастям, находим /> при />, или />.

Но /> непрерывна иимеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как />, то /> (/>) и /> (/>). Следовательно, /> абсолютно интегрируема на /> при />. Поэтому /> при />, или /> при />. Интеграл в правой частиабсолютно сходится, так как /> ограниченнапри />, вне некоторой окрестноститочки />. В окрестности /> /> иможно положить />, где /> ограниченна при />, /> и имеет логарифмическийпорядок при />. Далее, /> />.Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой />, то есть />. Во втором члене можноположить />, так как /> имеет при /> лишь логарифмическуюособенность. Следовательно, />.Последний интеграл стремится к нулю при />.Значит,

/>                                                                                                           (4).

Чтобы перейтиобратно к />, используем следующуюлемму.

Пусть /> положительна и неубывает и пусть при /> />. Тогда />.

Действительно, если /> - данноеположительное число, то /> /> (/>). Отсюда получаем длялюбого /> /> />. Но так как /> не убывает, то />. Следовательно, />. Полагая, например, />, получаем />.

Аналогично, рассматривая />,получаем />, значит />, что и требовалосьдоказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что />,/>, поэтому /> и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теориидзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемомусписку использованной литературы.


Списокиспользованной литературы.

 

1.  ТитчмаршЕ.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

2.  ФихтенгольцГ.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

3.  ПриваловИ.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.

4.  АйерлендК., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

5.  ШафаревичЗ.А. Теория чисел. М.,1986г.

еще рефераты
Еще работы по математике