Реферат: Вычисление двойных интегралов методом ячеек
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИЧувашский государственныйуниверситет им. И. Н. УльяноваКУРСОВАЯ РАБОТАпо вычислительной математике.Вычисление двойных интегралов методом ячеек.
Выполнил студент
факультета ИиВТ,
группа ИВТ-11-00Борзов ЛеонидЧебоксары-2002
Содержание.
Теоретическая часть…………………………………………3
Задание………………………………………………………..4
Текст программы. ……………………………………………5
Блок-схема программы…………………….………………...6
Выполнение программы в математическом пакете………..7
Список использованной литературы……………………......8
Теоретическая часть.
Численные методы могутиспользоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрениемдвойных интегралов вида
I=/> (1)
Одним из простейшихспособов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотримсначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: />/>, />.По теореме о среднем найдём среднеезначение функции f(x,y):
/> S=(b-a)(d-c). (2)
/>Будем считать, что среднее значение приближённо равнозначению функции в центре прямоугольника, т. е. />.Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:
/> (3)
Точность этой формулы можно повысить,если разбить область G напрямоугольные ячейки D/>ij (рис. 1): xi-1/>i(i=1,2,…,M), yi-1/>i (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу(3), получим
òòDGijf(x,y)dxdy»¦(/>)DxiDyi.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значениедвойного интеграла:
/>I,/>j) (4)
В правой части стоит интегральнаясумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягиванияих в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывнойфункции f(x,y).
Можно показать, что погрешностьтакого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением
Rij»/>DxiDyj/>.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все ихплощади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде
/>O(Dx2+Dy2).
Таким образом, формула (4) имеетвторой порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычныеметоды сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают водинаковое число раз, т. е. отношение M/Nостаётся постоянным.
Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привестик прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пустьобласть задана в виде криволинейного четырёхугольника: />, />. Данную область можнопривести к прямоугольному виду с помощью замены />,/>. Кроме того, формула (4)может быть обобщена и на случай более сложных областей.
Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла />, где /> – область, ограниченнаяфункциями />.Текстпрограммы.
#include<conio.h>
#include<iostream.h>
float f(float,float);
void main() {
const float h1=.0005,h2=.001;
float s1,x,y,i,I;
clrscr();
s1=h1*h2;
I=0;
y=h2/2;
x=1-h1/2;
for(i=0;i<1/h2;i++) {
while (y<2*x-1) {
I+=s1*f(x,y);
x-=h1;
}
y+=h2;
x=1-h1/2;
}
cout<<«Площадьинтеграла равна: „<<I;
getch();
}
float f(float x,float y){
return x*x+y*y;
}
Блок-схема программы.
x=1-h1/2
/>/>/>
/>/>
Выполнениепрограммы в математическом пакете.
h1=.0005;
h2=.001;
s1=h1*h2;
I=0;
y=h2/2;
x=1-h1/2;
for i=1:1/h2
while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y);
x=x-h1;
end
y=y+h2;
x=1-h1/2;
end
disp('Площадь интеграла равна:');
disp(I);
В зависимости от шагов сетки получаем сразличной точностью значение искомого интеграла
/>
Площадь интеграла равна:
0.2190
/>
/>
Список использованной литературы.
1. Бахвалов Н.С. Численныеметоды. т.1 – М.: Наука. 1975.
2. Демидович Б.П., Марон И.А.Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.
3. Калиткин Н.Н Численныеметоды. – М.: Наука, 1978.
4. Турчак Л. И. Основычисленных методов. – М.: Наука, 1987.