Реферат: Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Определение 28.7: Функция />называется равномерно непрерывнойна множестве />,если: />. (вотличие от критерия Коши: />).
Пояснение: /> Пусть: />. Тогда: /> Т.е. функция />не является равномернонепрерывной на множестве />.

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывнана нём.

 Классы интегрируемых функций

Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция />определена и ограничена на отрезке />,и если />можноуказать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функциина />. Причём общая длина этих интервалов меньше />. То /> — интегрируема на />.
Замечание: Очевидно, что если /> — интегрируема на />, а />отличается от />только вконечном числе точек, то /> — интегрируема на />и/>.

Существование первообразной

Определение 28.9: Пусть /> — интегрируема на />, />, тогда: />функция />интегрируема на />и функция />называетсяинтегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция /> — интеграл с переменнымнижним пределом.

Теорема 28.6: Если функция /> — непрерывна на />, то у неё существует на />первообразная,одна из которых равна: />, где />.
Замечание 1: Из дифференцируемости функции />следует её непрерывность, т.е. />
Замечание 2: Поскольку /> — одна из первообразных />, то поопределению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: />. Это связьмежду определённым и неопределённым интегралами

Пустьдля вычисления интеграла />от непрерывнойфункции сделана подстановка />.

Теорема.Если 1. Функция />и ее производная />непрерывны при />

2.множеством значений функции /> при />является отрезок [a;b]

3. />, то />=/>.

Док-во:Пусть F(x) естьпервообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда поформуле Ньютона-Лейбница />=/>. Т.к. />, то />является первообразной дляфункции />, />. Поэтому по формулеНьютона-Лейбница имеем

/>=/>/>.

Формулазамены переменной в определенном интеграле.

1.    при вычислении опред. интег-ламетодом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2.    часто вместо подстановки />применяют подстановку t=g(x)

3.    не следует забывать менять пределыинтегрирования при замене переменных.