Реферат: Интегральное исчисление. Исторический очерк

Понятиеинтеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделомматематики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основуматематического анализа.

Истокиинтегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики иберут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками ДревнейГреции.

Методисчерпывания это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработкакоторых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил вработах Евклида, а особым искусством  и разнообразием применения методаисчерпывания славился Архимед.

Типичнаясхема доказательств методом исчерпывания выглядела следующим образом. Дляопределения величины A строилась некоторая последовательность величин С1, С2,…, Сn, … такая, что

/>

Предполагалосьтакже известным такое B, что

/>

ичто для любого целого K можно найти достаточно большое n, удовлетворяющееусловию:

/>

ГдеD – постоянно. После громоздких рассуждений из последнего выражения удавалосьполучить:

/>

Каквидно из приведённой схемы метод был основан на аппроксимации рассматриваемыхобъектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигурили пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п.,обозначенных последовательностью С1, С2, …, Сn, …). В этом смысле методисчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод.

Кризиси упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методеисчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, положившихоснову современного математического анализа.

Вконце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждалиученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятиябесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первоеместо, становятся основой новых методов математики.

Вконце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результатыфундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального иинтегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисленияи аналитической механики.

Основныепонятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всегосвязь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решениюприкладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях,сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом ИоганомКеплером.

Вноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплерпраздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградноговина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимостьбочки, производя одно единственное действие — измеряя расстояние от наливногоотверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенноне учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшаяматематическая задача — по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки.Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но идля объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Длякаждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумныеметоды, что было крайне неудобно. Попытка найти достаточно общие, а, главное,простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современногоинтегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

Труднонайти другое имя, которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировойнауки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л.Ван-дер-Варден пишет в своей книге “Пробуждающаяся наука”: “Каждыйестествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основасовременной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономияначинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самимзначительным н наиболее важным для физики отделом современной математикиявляется анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральноеисчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной частиточных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияютдаже на нашу духовную жизнь, и настолько. что мы редко можем представить этосебе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII векеестествознание, последовал неизбежно рационализм XVIII века, обожествление разума,упадок религии… Кто отдает себе отчет в том, — спрашивает автор, — что систорической точки зрения Ньютон является самой значительной фигурой XVIIвека?”

ИсаакНьютон родился в 1643 году. Мальчик посещал сначала сельскую школу, а вдвенадцать лет его отправили учиться в ближайший город. Директор школы обратилвнимание на способного мальчика и уговорил мать Ньютона отправить сына учитьсяв Кембриджский университет. Ньютон был принят туда в качестве бедного студента,обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.

Кафедруматематике в Кембридже занимал тогда молодой блестящий учёный Исаак Барроу. Онскоро стал не только учителем, но и другом Ньютона, а спустя несколько лет уступилсвоему великому ученику кафедру математики. К этому времени Ньютон получил ужестепени бакалавра и магистра. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать надсозданием математического аппарата, с помощью которого можно было быисследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное иинтегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволилорешать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютонамногие функции определялись только геометрически, так что к ним невозможно былоприменять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий методаналитического представления функции — он ввел в математику и началсистематически применять бесконечные ряды.

Пояснимэту идею Ньютона. Известно, что любое действительное число можно представитьдесятичной дробью — конечной или бесконечной. Так. например:

/>

Этозначит, что любое число a можно представить в виде:

/>

гдеN — целая часть, а a1, a2,… an,… могут принимать одно из значений 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютонпредположил, что любая функция от x, например />, может быть представлена какбесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням />, а по степеням x:

/>

гдеa1, a2,… an, ...- коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены.Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия:

/>

Представлениефункции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, “удаетсяпреодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”.

Одновременнос Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный — ГотфридВильгельм Лейбниц.

ГотфридВильгельм Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательныймальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессоромЛейпцигского университета. К 12 годам он хорошо изучил латинский язык и увлёксядревнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он мог подолгуразмышлять о философских теориях Аристотеля или Демокрита. В 15 лет Лейбницпоступает и Лейпцигский университет, где усердно изучает право и философию. Оночень много читает, среди его любимых книг -  книги Р. Декарта, Г. Галилея, II.Кеплера и Д. Кампанеллы.

 Своиколоссальные знания но математике Лейбниц приобрел самоучкой. Через три года,окончив университет, Лейбниц покинул Лейпциг. Он был обижен отказом ученогосовета университета присвоить ому степень доктора прав. Отказ объяснили тем.что Лейбниц был… слишком молод!

Началасьжизнь, полная напряженного труда и многочисленных путешествии. Легко себепредставить, как неудобны были путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогамЕвропы тех времен. Лейбниц умел не терять времени даром — много удачных мыслейпришло ему и голову именно во время этих продолжительных поездок. Лейбницотличался исключительной способностью быстро “входить” и задачу и решать еенаиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами,Лейбниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в наукеможет стать математика. Всю спою сознательную жизнь он стремился выразитьзаконы мышления, человеческую способность думать и виде математическогоисчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятияили идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводитьправила мышления к правилам в вычислениях но этим символическим формулам.Заменяя oбычные слова четко определенными символами, Лейбниц стремился избавитьнаши рассуждения от всякой неопределенности и возможности ошибиться самому иливводить в заблуждение других. Если, мечтал Лейбниц. между людьми возникнутразногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах. а так,как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и,сказав: “Начнем вычислять” — примутся за расчеты.

Какуже отмечалось, Лейбниц одновременно с Ньютоном и независимо от него открылосновные принципы дифференциального и интегрального исчислений. Теорияприобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, чтодифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Об этомсвойстве хороню знал и Ньютон. Но только Лейбниц увидел здесь ту замечательнуювозможность, которую открывает применение символического метода.

Любойчеловек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающимиоперации дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощногоматематического метода. В наше время такие символы операций называютоператорами. Операторы дифференцирования d( ) и интегрирования /> действуют на функции,“перерабатывая” их в другие, точно вычисляемые функции. Лейбниц разрабатываетособую алгебру действий с этими операторами. Он доказывает, что обычное число аможно выносить за знак оператора:

/>

 Одинаковыеоператоры можно выносить за скобку:

/>

или:

/>

Сокращенновсе перечисленные свойства можно выразить соотношением:

/>

где:a и b — числа.

Операторы.которые обладают таким свойством. называются линейными. Теория линейных операторов,которую с таким успехом начал развивать, Лейбниц,. в современной математикеявляется хорошо разработанной и полезной в приложениях теорией.

Многократноеприменение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ):

/>

То,что основные операторы математического анализа являются взаимно обратнымиЛейбниц подчёркивал своей символикой, утверждая, что в d(x) и />также взаимно обратны,как степени и корни в обычном исчислении. Употребляя так же обозначение,аналогичное обозначению a-1 числа, обратного a, причём произведение a×a-1=1. Обозначая операторы />или наоборот:

/>

ипонимая под их произведением последовательное их применение, имеем:

/>

т.е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.

Однако,в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Лейбници его последователи — братья Бернулли,  Лопиталь и другие — трактовалидифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогдаговорили — “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались стеми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы,которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что такимобразом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одномуосновному свойству основных конечных величин: если А — конечная величина, а a — бесконечно малая, то, чтобы результатисчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводитьвычисления в предположении, что А+a=А.

Дифференциальноеисчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений,оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точныйрезультат, надо было исходить из ошибочного утверждения.

Ньютонпытался обосновать дифференциальное исчисление на законах механики и понятиипредела. Но ему не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков,присущих дифференциальному исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон,как и Лейбниц, применял принцип отбрасывания бесконечно малых.

Такаянепоследовательность позволила назвать дифференциальное исчислениеЛейбница–Ньютона мистическим. Этим в первую очередь подчеркивалось, что Лейбници Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые величиныметафизически, сразу полагая их существующими, без выяснения их возникновения иразвития и без анализа природы их специфических свойств.

Попыткипостроить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии сосновными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешнымрезультатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдатьпринципы анализа бесконечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой,которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.

Другаяпопытка была предпринята в конце XVIII века. Известный немецкий математикВессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве“полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкогораспространения не получила — математики знали механическое и геометрическоеистолкование dx и dy.

Примернос последней четверти XVIII века область приложений математического анализаначинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике игеометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.

Математикипытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIIIвека — Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, чтометоды классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильныеметоды. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связанас узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечномалом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.

Пояснимсказанное одним примером.

Ньютони Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютонтрактовал определенный интеграл как разность соответствующих значенийпервообразной функции:

/>,

гдеF`(x)=f(x).

ДляЛейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

/>.

Перваятрактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощипервообразной подынтегральной функции, вторая — потому, что в приложениях определенныйинтеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).

Примернодо последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенногоинтеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали дваобстоятельства.

 Кначалу XVIII века были установлены правила дифференцирования всех элементарныхфункций и началась успешная разработка методов нахождения их первообразных(рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций).Благодаря этому точка зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективныхалгоритмов интегрального исчисления.

 Непосредственноевычисление /> какпредела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Естественно, чтоэто обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница не способствовало.

Истолкованиеобычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечномалых, от которого математики XVIII века хотели освободить математическийанализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. Факт этотхорошо подтверждался тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральнойсумме. Эйлер не возражал против приближенного вычисления определенныхинтегралов при помощи соответствующих интегральных сумм. Но рассматриватьопределенный интеграл как предел интегральной суммы он не мог. В этом случаевсе слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, т. е., с точкизрения Эйлера, были нулями.

Историческаясправка. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельскомуниверситете. Но учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, и лишьв 1701 г. он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле.19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля1707 г. у них родился сын, названный Леонардом.

Начальноеобучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математикеу Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однакозанимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развитиялогического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросыодин сложнее другого.

Когдау Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в Базельскую латинскуюгимназию – под надзор бабушки.

20октября 1720 г. 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусствБазельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь кматематике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили этинамерения и направили Леонарда по иному пути.

Ставстудентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике.И немудрено, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Онпредложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к немудомой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлерпознакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, такжеувлечённо занимавшимися математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард Эйлерпроизнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декартаи Ньютона -  и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в. в большинствеуниверситетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степеньюдоктора философии).

Эйлеротличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматьсяматематикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнитьсрочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиковпросила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – исправился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболели потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшимспокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, — философски заметил он.

Доэтого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомноесочинение “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”,изданное в 1736 г., принесло ему мировую славу. Эйлер блестяще применил методыматематического анализа к решению проблем движения в пустоте и всопротивляющейся среде. “Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможетвсё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работуполностью”, — заканчивает Эйлер своё предисловие к книге.

Духвремени требовал аналитического пути развития точных наук, применениядифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений.Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.

Конечно,и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась струдностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразныекоторых не могут быть выражены через элементарные функции. Знали математики инекоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого родафакты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушитьне могли. Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно вначале XIX века.

С70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и другихдисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла.Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лапласи др.).

Этобыло время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованысравнительно недавно и современный математический анализ только создавался.Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всехотраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самогоанализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новоеисчисление. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпохаматематического творчества, и Эйлер был один из немногих по своейпродуктивности творцов. Его «Введение в анализ бесконечно малых»,«Основания дифференциального исчисления» и «Основанияинтегрального исчисления» были первыми трактатами, в которых уже обширный,но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку. В нихбыл выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашеговремени.

Разработкаприемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралытак, как вычисляли обычный определенный интеграл — при помощи неопределенного,очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранятьконцепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук,стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (впрямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

Корочеговоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интегралапоказала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны бытьобоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Нокаждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной.Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятиябесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующемего использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо былопреодолеть — обобщить, развить традиционное (Эйлерово) толкование функции ипонятия предела.

Всвязи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемыекоторых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятиебесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойствнепрерывных и разрывных функций. Получение основополагающих результатов связаноздесь с именем Коши. “Между многими понятиями, — указывал Коши, — тесно связаннымисо свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности ипрерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции,которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.

Новаяпостановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что делоне только в признании и применении бесконечно малых — это делали и раньше! — нопрежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этомиспользовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы этосделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкованиепонятия предела, разработать общую теорию пределов.

Изучениеразрывных функций и сопоставление их с функциями непрерывными заставилопризнать то, что ранее считалось невозможным: что предел, к которому стремитьсяпоследовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точкеможет оказаться отличным от значения функции в этой точке. Значит, предел невсегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях пределесть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dxи dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечномалая — это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот спротиворечиями и парадоксами не связан.

Кошипреодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовкепонятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределуне только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные еёпределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность иисключительную гибкость. Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном ЛуиКоши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.

РаботыКоши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа,Тем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления.

Список литературы

БольшаковаА. А. Три кризиса в развитии математики. Дипломная работа; Астрахань: АГПИ,1996.

Детскаяэнциклопедия для среднего и старшего возраста. Т.2; М.: Просвещение, 1965.

Математическаяэнциклопедия. Ред. Виноградова. Т.2; М.: Сов. Энциклопедия, 1979.

ФихтенгольцГ.М. Основы математического анализа. Т.1; М.: Наука, 1968.

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/