Реферат: Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Расчетная работа

Выполнил Шеломанов Р.Б.

Кафедра математической статистики и эконометрики

Московский государственный университет экономики,статистики и информатики

Москва 1999

ЗАДАНИЕ № 23

Продолжительностьгорения электролампочек  (ч) следующая:

750 750 756 769 757 767 760 743 745 759 750 750 739 751 746 758 750 758 753 747 751 762 748 750 752 763 739 744 764 755 751 750 733 752 750 763 749 754 745 747 762 751 738 766 757 769 739 746 750 753 738 735 760 738 747 752 747 750 746 748 742 742 758 751 752 762 740 753 758 754 737 743 748 747 754 754 750 753 754 760 740 756 741 752 747 749 745 757 755 764 756 764 751 759 754 745 752 755 765 762

По выборочным данным,представленным в заданиях №1-30, требуется:

1* Построитьинтервальный вариационный ряд распределения;

Построениеинтервального вариационного ряда  распределения

Max:769

Min: 733

R=769-733=36

H=R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712

A1=x min — h/2=730,644

B1=A1+h; B2=A2+h

/>

2* Вычислить выборочныехарактеристики по вариационному ряду:

среднюю арифметическую (xср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднееквадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек),медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);

Вычислениевыборочных характеристик распределения

 Di=(xi — xср)

/> xср =åxi mi/åmi

 xср  751,7539  

 

Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов

 

/>

Выборочныйцентральный момент К-го порядка равен

/>/>/>/>/>/>/>                            M k=                     ( xi — x)^k mi/        mi  

/>/>/>       

В нашем примере:

Центр момент 1 0,00 Центр момент 2 63,94 Центр момент 3 -2,85 Центр момент 4 12123,03

 

Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второгопорядка:

В нашем примере:

S^2= 63,94

Ввыборочное среднееквадратическое отклонение:

В нашем примере:

S=  7,996

Выборочные коэффициентыасимметрии Ас и эксцесса   Fk   по формулам

Ac = m3/ S^3;

В нашем примере:

Ас =-0,00557

Ek = m4/ S^4 -3;

В нашем примере:

Ek = -0,03442

Медиана Ме — значение признака  x (e), приходящееся на середину ранжированного ряданаблюдений  ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных всередине ранжированного ряда:          Me=( x(e) + x( e+1)/2

Если исходить изинтервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле

Me= a me +h * (n/2 — mh( me-1) / m me

где mе- означает номермедианного интервала, ( mе -1) — интервала, редшествующего медианому.

В нашем примере:

Me=751,646

Мода Мо  длясовокупности наблюдений равна тому значению признака, которому соответствуетнаибольшая частота.

Для одномодальногоинтервального ряда вычисление моды можно производить по формуле

Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m(mo-1) — m( mo+1)

где мо означает номермодального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номерапредшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В нашем примере:

Mo =751,49476

Так как  Хср,Mo  Me почтине отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическоераспределение нормальным.

/>Коэффициентвариации       Vs= S/ x*100 %= 3.06%

В нашем примере:

Vs=1,06%

3* Построить гистограмму,полигон и кумуляту.

Графическоеизображение вариационных рядов

       

Длявизуального подбора теоретического распределения, а также выявления положениясреднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S)вариационные ряды изображают графически.

Полигон икумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов,гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этихграфиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный)относительных частот (частостей)   

Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi инайдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4.

Интервалы         xi           Wi            Whi          Wi/h

                    Ai-bi

                         1                  2             3              4               5

                 4,97-5,08         5,03         0,02         0.02          0,18 

                 5,08-5,19         5,14         0,03         0,05          0,27

                 5,19-5,30         5,25         0.12         0,17          1,09

                 5,30-5,41         5,36         0,19         0,36          1,73

                  5,41-5,52        5,47         0,29         0,65          2,64

                 5,52-5,63         5,58         0,18         0,83          1,64

                 5,63-5,74         5,69         0,13         0,96          1,18

                 5,74-5,85         5,80         0,04         1,00          0,36

-            1,00           -

   

Дляпостроения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсциссоткладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник,площадь которого равна относительной частоте  Wi  данного i-гоинтервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,.Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот,т.е. единице.

Изгистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхнихоснований прямоугольников соединить отрезками прямой.

4* Сделать вывод о форме рядараспределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениямкоэффициентов Ас и Ек.

4 Анализ графиков и выводы

Гистограмма иполигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции)теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их видуможно судить о гипотическом законе распределения.

Для построениякумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака  xi, апо оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Дляинтервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

С кумулятойсопоставляется график интегральной функции распределения F(x).

В нашемпримере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля.Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствуето небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказалсятакже отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающаяряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскуювершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения(рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, чтораспределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Примечание:Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.

5* Рассчитать плотность иинтегральную функцию теоретического нормального распределения и построить этикривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.

Расчеттеоретической нормальной кривой распределения

Приведем одиниз способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденнымвыборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.

При расчететеоретических частот m^тi за оценку математического ожидания  (мю) и среднегоквадратического отклонения G  нормального закона распределения принимают значениясоответствующих выборочных характеристик x ср. и S,т.е. (мю)=Xср.=751,7539; G=S=7,99.

Теоретическиечастоты находят по формуле:        M^i=npi,

где  n –объем; Pi – величина попадания значения нормальнораспределенной случайной величины в i-й интервал.

Вероятность Pi определяется по формуле

                  Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],

/> 


Где Ф(t)=2\  2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx      - интегральная функция Лапласа – находится по таблице для

                   T2i=bi-x ср.\S

                    T1i=ai-x ср.\S

Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривойраспределенияИнтервалы Mi T1 T2 1/2Ф(T1) 1/2Ф(T2) Pi a(i) b(i) 730,644 735,356 2 -2,640 -2,051 0,4958 0,4798 -0,0080 735,356 740,068 8 -2,051 -1,461 0,4798 0,4279 -0,0260 740,068 744,780 6 -1,461 -0,872 0,4279 0,3078 -0,0601 744,780 749,492 18 -0,872 -0,283 0,3078 1,1103 0,4013 749,492 754,204 35 -0,283 0,306 0,0300 0,6619 0,3160 754,204 758,916 12 0,306 0,896 0,1179 0,3133 0,0977 758,916 763,628 11 0,896 1,485 0,3133 0,4306 0,0587 763,628 768,340 6 1,485 2,074 0,4306 0,4808 0,0251 768,340 773,052 2 2,074 2,664 0,4808 0,4960 0,0076 Pi*n Mi(теор) Mi(теор)/h Mi(теор)накоп -0,8000 1 0,002 0,0080 -2,5950 3 0,006 0,0340 -6,0050 6 0,013 0,0940 40,1250 40 0,085 0,4953 31,5950 32 0,068 0,8153 9,7700 10 0,021 0,9130 5,8650 6 0,012 0,9716 2,5100 3 0,005 0,9967 0,7600 1 0,002 1,0000 100

Сравнение гистограммы инормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим иэмпирическим распределением.

Примечание: Построенныеграфики находятся в приложениях к работе.

6* Проверить гипотезу онормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).

Проверкагипотез о нормальном законе распределения

Частоты для проверкисоответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используюткритерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi стеоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определеннойнулевой гипотезы.

Значение X^2набл.– наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно

                                        к                                     

/>/>/>                     F^2набл.=       (mi-m^тi)

/>/>                                         I=1    m^i

Где   к – число интервалов(после объединения).  M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты,необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.

                                                                                     Таблица 1.6.

Вычисление критерия X^2при проверке нормальности  продолжительности горения электролампочек

Интервалы Mi(Практ) Mi(теор) (Mi-Mi(теор))^2 …../Mi(теор) a(i) b(i) 730,644 735,356 2 2 9 1,29 735,356 740,068 8 5 740,068 744,780 6 13 49 3,88 744,780 749,492 18 21 9 0,43 749,492 754,204 35 25 100 4,01 754,204 758,916 12 21 81 3,89 758,916 763,628 11 12 1 0,08 763,628 768,340 6 5 1 0,14 768,340 773,052 2 2 X^2набл 13,71

Правило проверки гипотезызаключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значениеX^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3и заданного уровня значимости альфа.Затем сравниваем X^2кр.

Если X^2 набл.<=X^2кр., то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается  (непротиворечит опытным данным).

Если X^2 набл. >X^2кр., то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается свероятностью ошибки a.

Для нашего примера X^2набл.=13,71,a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения сталоравным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9

Так как X^2набл.<X^2кр.,то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается свероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределениепродолжительности горения электролампочек  является нормальным. Чтоподтверждают графики и значения моды и медианы.

Список литературы

Для подготовки данной работыбыли использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/

 

еще рефераты
Еще работы по математике