Реферат: Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»

/>

Задача.Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепидействует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во временитоков и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачуследует решить двумя методами: классическим и операторным. На основанииполученного аналитического выражения построить график изменения искомойвеличины в функции времени в интервале от t = 0 до t = />, где />– меньший помодулю корень характеристического уравнения.

Параметрыцепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решениезадачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

i(t) = iпр(t) +  iсв(t);     u(t) = uпр(t)+  uсв(t),                         (1)

где/>, а />.

/>1. Находим токи и напряжениядокоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному токуравно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так,как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостьюисключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1(0–)равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего одинконтур.

Составляемуравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

/>,

откуда

/> = 4 А.

Напряжениена емкости равно нулю [uC(0–)= 0].

2.Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времениt = 0+. Расчетная схема приведена на рис.3. По первому закону коммутации iL(0–)= iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4А. По второму закону коммутации uC(0–)= uC(0+) = 0.

/>Для контура, образованного ЭДС Е,сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

/>

или

/>;

i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.

Напряжениена сопротивлении R2 равно Е – uC(0+)= 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

/>3. Рассчитываем принужденные составляющиетоков и напряжений для />. Как и для докоммутационного режимаиндуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена нарис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

/> = 10 А;

           /> = 100 В;      />;       />

4.Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+).

iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) =10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) =0; />.

5.Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственнопосле коммутации (t = 0+), для чего составим системууравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положивЕ = 0.

/>;

/>                                   (2)

/>

Производнуютока через индуктивность можно найти, используя выражение: />, а производную напряженияна емкости – из уравнения />. Т.е.

/>  и  />,

откуда

/>;    />                             (3)

Подставляя(3) в (2), после решения получаем:

/>;     />;     />;    />

Всеполученные результаты заносим в таблицу.

i1

i2

i3

uL

uC

uR2

t = 0+ 14 10 4 100

/>

10 10 100

/>

/>

4 10 –6

/>

/>

–105

–105

106

106

–106

6.Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим впослекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительноразрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока />. Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:

/>.

Заменимj на р и приравняем полученное уравнениенулю. Получим:

/>

или

R2CLp2 + pL + R2 = 0.

Откуданаходим корни р1 и р2.

/>             р1 = –1127,      р2 = –8873.

7.Определим постоянные интегрирования А1 и<sub/>А2.Для чего составим систему уравнений:

/>;                 

/>         

или

/>;

/>

Например,определим постоянные интегрирования для тока i1 инапряжения uL. Для тока i1уравнения запишутся в следующем виде:

4= А1i + А2i;                

/>.

Послерешения:                 А1i = –8,328 А,   А2i = 12,328 А.      

длянапряжения uL:

/>;                 

/>.

Послерешения:            />= 129,1 В,   />= –129,1 В.             

8.Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени позакону:

i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,

анапряжение uL:

uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.

еще рефераты
Еще работы по математике