Реферат: Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»
/>Задача.Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепидействует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во временитоков и напряжений после коммутации в ветвях схемы.
Задачуследует решить двумя методами: классическим и операторным. На основанииполученного аналитического выражения построить график изменения искомойвеличины в функции времени в интервале от t = 0 до t = />, где />– меньший помодулю корень характеристического уравнения.
Параметрыцепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
Решение.
Классический метод.
Решениезадачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:
i(t) = iпр(t) + iсв(t); u(t) = uпр(t)+ uсв(t), (1)
где/>, а />.
/>1. Находим токи и напряжениядокоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному токуравно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так,как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостьюисключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1(0–)равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего одинконтур.
Составляемуравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
/>,
откуда
/> = 4 А.
Напряжениена емкости равно нулю [uC(0–)= 0].
2.Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времениt = 0+. Расчетная схема приведена на рис.3. По первому закону коммутации iL(0–)= iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4А. По второму закону коммутации uC(0–)= uC(0+) = 0.
/>Для контура, образованного ЭДС Е,сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:
/>
или
/>;
i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.
Напряжениена сопротивлении R2 равно Е – uC(0+)= 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.
/>3. Рассчитываем принужденные составляющиетоков и напряжений для />. Как и для докоммутационного режимаиндуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена нарис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.
/> = 10 А;
/> = 100 В; />; />
4.Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+).
iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) =10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) =0; />.
5.Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственнопосле коммутации (t = 0+), для чего составим системууравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положивЕ = 0.
/>;
/> (2)
/>
Производнуютока через индуктивность можно найти, используя выражение: />, а производную напряженияна емкости – из уравнения />. Т.е.
/> и />,
откуда
/>; /> (3)
Подставляя(3) в (2), после решения получаем:
/>; />; />; />
Всеполученные результаты заносим в таблицу.
i1
i2
i3
uL
uC
uR2
t = 0+ 14 10 4 100/>
10 10 100/>
/>
4 10 –6/>
/>
–105
–105
106
106
–106
6.Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим впослекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительноразрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока />. Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:
/>.
Заменимj на р и приравняем полученное уравнениенулю. Получим:
/>
или
R2CLp2 + pL + R2 = 0.
Откуданаходим корни р1 и р2.
/> р1 = –1127, р2 = –8873.
7.Определим постоянные интегрирования А1 и<sub/>А2.Для чего составим систему уравнений:
/>;
/>
или
/>;
/>
Например,определим постоянные интегрирования для тока i1 инапряжения uL. Для тока i1уравнения запишутся в следующем виде:
4= А1i + А2i;
/>.
Послерешения: А1i = –8,328 А, А2i = 12,328 А.
длянапряжения uL:
/>;
/>.
Послерешения: />= 129,1 В, />= –129,1 В.
8.Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени позакону:
i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,
анапряжение uL:
uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.