Реферат: Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице если AB =BA= I; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если .

Если – невырожденная матрица, то

где алгебраические дополнения элементов

Пример 4. Найти если

.

Сделать проверку.

Решение., следовательно, существует

Найдем алгебраические дополнения:

;

;

;

Отсюда получаем

.

Сделаем проверку:

найдено верно.

4. Ранг матрицы

Выберем в матрице k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка, который назовем минором k-го порядка матрицы A.

Пример 5. Найти минор 2-го порядка матрицы

(выбранные строки и столбцы отмечены знаком «v»).

Решение. Имеем

Рангом матрицы Aназывается неотрицательное целое число r, удовлетворяющее двум условиям:

1) существует по крайней мере один минор порядка r матрицы A, отличный от нуля;

2) все миноры порядка матрицы A равны нулю.

При этом пишут rank A = r. Если rankA= r, то любой отличный от нуля минор порядка r матрицы Aназывается базисным минором.

Теорема 2. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы A. Более того, это число равно рангу матрицы A.

Не изменяют ранга матрицы следующие операции:

1) перестановка столбцов или строк;

2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число;

4) зачеркивание нулевого столбца (строки);

5) транспонирование.

Трапецеидальной матрицей называется матрица имеющая вид

где Другими словами, матрица является трапецеидальной, если при i > j и

Ранг трапецеидальной матрицы равен m. Для нахождения ранга матрицы достаточно, пользуясь преобразованиями
1- 4, называемыми элементарными, привести матрицу к трапецеидальному виду.

Пример 6. Найти ранг матрицы

Решение. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу A к трапецеидальному виду:

~ ~

~ ~ ~

~ ~ .

Ранг последней матрицы, являющейся трапецеидальной, равен 3; следовательно, rank A= 3.

Из определения ранга следует, что матрица является невырожденной в том и только в том случае, если rangА = n.

5. Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида

(3)

Система (3) называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является совместной — она имеет решение (возможно, не единственное).

Матрицы

называются матрицей системы (3) и расширенной матрицей системы (3) соответственно; столбцы

называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему (3) можно записать в матричной форме

(4)

Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда и общий случай.

1. Квадратная система. Существует три основных метода решения совместной СЛАУ

(5)

а) правило Крамера;

б) матричный способ;

в) метод Гаусса.

а) Правило Крамера. Обозначим

(определитель получается из D заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при СЛАУ (5) совместна и имеет единственное решение

б) Матричный способ. Система (5) совместна при и имеет единственное решение – столбец

В этом и состоит матричный способ решения системы (5).

в) Метод Гаусса. При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы (5) элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду.

Пример 7. Решить систему

а) по правилу Крамера;

б) матричным способом;

в) методом Гаусса.

Решение.а) Имеем

Отсюда находим

б)

Найдем

;

;

Поэтому .

Отсюда находим

.

Итак,

в) Решим систему методом Гаусса:

Последней матрице, имеющей треугольный вид (если исключить столбец свободных членов), соответствует следующая СЛАУ, равносильная исходной системе:

Из последнего уравнения находим, подставив его во второе уравнение, найдем и, наконец, подставив найденные и в первое уравнение, найдем :

Следует иметь в виду, что при решении СЛАУ методом Гаусса перестановка столбцов приводит к перенумерации неизвестных.

2. Общий случай.

Теорема 3 (Кронекер–Капелли).Система (3) совместна в том и только в том случае, если ранг матрицыA равен рангу расширенной матрицы .

Систему (3) удобно решать методом Гаусса, который состоит в приведении расширенной матрицы к трапецеидальному виду путем применения элементарных преобразований. Если при этом на некотором этапе получается строка, в которой все элементы, кроме элемента столбца свободных членов, равны нулю, то система несовместна. Если, то система (3) имеет бесчисленное множество решений, и каждое решение зависит от (n-r) не зависящих друг от друга параметров, т.е. степень свободы системы равна (n-r). В качестве параметров удобно брать «лишние неизвестные», которые объявляются свободными.

Пример 8.Решить системы уравнений:

Решение.Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

~

~ .

Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» и свободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестные и в правую часть:

Степень свободы системы равна двум, значит решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестными найдем

где произвольные числа.

б)

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна.

в)

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит степень свободы равна Объявляем неизвестные свободными.

Положив получим

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры).

Комплексные СЛАУ решаются, как и действительные. Комплексную систему порядка можно свести к действительной системе порядка путем разделения действительной и мнимой частей.

Пример 9.Решить систему:

Решение.Будем искать неизвестные в алгебраической форме Система примет вид

или

Приравняв действительные и мнимые части, получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными

Решив эту систему, найдем

Таким образом, решением исходной системы является

Задание 3.1

Даны матрицы и числа и

Найдите: a) б) ранг матрицы

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задание 3.2

Вычислите определитель: а) разложением по некоторой строке или столбцу; б) путем приведения матрицы к треугольному виду.

1. ;7. ;

2.; 8. ;

3.; 9. ;

4.; 10. ;

5.; 11. ;

6.; 12. ;

13.; 19. ;

14.; 20. ;

15.; 21. ;

16.; 22. ;

17.; 23. ;

18.; 24. ;

25.; 28. ;

26.; 29. ;

27.; 30. .

Задание 3.3

Решите системы уравнений: а) по правилу Крамера;

б) методом Гаусса; в) матричным методом.

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

9) 17)

10) 18)

11) 19)

12) 20)

13) 21)

14) 22)

15) 23)

16) 24)

25) 28)

26) 29)

27) 30)

Задание 3.4

Решите системы уравнений.

Задание 3.5

Решите матричные уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задание 3.6

Решите системы уравнений.