Реферат: Математика бесконечности

Юрий Лебедев

Аш-функция Хевисайда

Все происходит по ступеням,

Как жизнь сама.

Я чувствую, что постепенно

Схожу с ума.

Н. Глазков, 1943 г.

Однажды вечером Серафим Серафимович Аралов, директор музея истории МХТИ им. Д.И. Менделеева, позвонил мне и сказал, что в связи с реконструкцией дома у метро «Смоленская» под угрозой находятся остатки архива известного химика Петра Петровича Будникова. Нужно было попытаться спасти документы. Следующий день у меня был занят, и мы договорились поехать за бумагами послезавтра. Увы! Мы опоздали. Именно назавтра весь «хлам» из будниковской квартиры был выброшен строителями на помойку. С тех пор я не могу проходить спокойно мимо куч строительного мусора – мне все кажется, что среди этих палок, битого кирпича и клочков бумаги могут валяться чьи-то рукописи, потеря которых приведет в отчаяние будущих историков науки.

И, представьте себе, эти опасения оказались не напрасными! Спустя некоторое – довольно продолжительное – время случай снова поманил меня к архивным изысканиям. В заброшенной деревне Копьево Костромской области, где я проводил лето, рухнул от ветхости дом, и я, глядя не еще пылящую кучу старых бревен, соломы, ободранных обоев, вспомнил историю будниковского архива. А вдруг?!

Когда у меня в руках оказалась старая картонная папка, я был уже уверен, что в ней не вырезки из газет о «царице полей» кукурузе. И совершенно не удивился тому, что моя уверенность оправдалась. В папке находились рукописи или, точнее, черновики двух статей – «Принципы семиотической термодинамики», «Отказ от исключения» – и целая пачка других, для прочтения которых потребуется еще много усилий. Ни имени автора, ни даты написания на листках не было. Вероятнее всего, папку забыл кто-то из «дикарей» прошлых лет. Не имея возможности объясниться с автором, я решил предложить вашему вниманию свой вариант расшифровки одной из этих до крайности небрежно написанных неудобочитаемым почерком статей.

Я долго не мог понять, к какому жанру относится найденная мною рукопись, чего хотел неизвестный автор? Теперь, как мне кажется, я нашел ответ. Папка хранила научные фантазии! Этот жанр, широко известный благодаря трудам С. Лема, не следует путать с научной фантастикой, в которой столь же плодотворно работал Лем. «Солярис» – это научная фантастика, а «История битической литературы» – это научная фантазия. И поскольку любой жанр, кроме скучного, имеет право претендовать на внимание читателя, найденные мною тексты попытаются реализовать это свое право. Насколько оно законно, судите сами.

Отказ от исключения

… одни сотрудники все время занимались делением нуля

на нуль на настольных «мерседесах», а другие отпрашивались

в командировки на бесконечность...

А. и Б. Стругацкие. Понедельник начинается в субботу

Листок первый

Весь предшествующий опыт утверждает нас

в вере, что природа представляет собой реализацию

простейших математически мыслимых элементов.

А. Эйнштейн. О методе теоретической физики.

Спенсеровская лекция, 10 июля 1939 г.

Что значит «простейших»? когда летом 1966 г. я задумался над удивительным запретом арифметики – запретом деления на нуль, мне казалось, что простейшим элементом, альфой и омегой всей теории чисел является нуль. Теперь ясно, что и он также сложен, как и все в мире. Как точно сказал об этом Леонардо да Винчи: «Среди великих вещей, который находятся меж нас, существование Ничто – вещь величайшая!»

Сейчас не важно, откуда взялась уверенность в том, что нуль – полноправное число, да и не важно строго математическое понимание термина «число». Все дальнейшее – не более чем интуитивная догадка, из которой профессионалы (если захотят!) могут извлечь «научную компоненту», а остальные, смею надеяться, порадуются тем ассоциациям, которые возникнут при чтении.

Кстати, скажу для профессионалов, что и о работах индийского математика и астронома VI...VII вв. Брахмагупты, который рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях, я тогда, летом 1966 г., абсолютно ничего не знал.

Главное, по-моему, все-таки то, что идея возникла. Прав Эйнштейн, «открытие не является делом логического мышления, даже если конечный продукт связан с логической формой».

Итак, утверждение: нуль есть число.

Следствие: 1/0 – тоже число! Но 1/0 > M, где M – сколь угодно велико! И это очень важно – существует число, качественно отличающееся от любого до сих пор известного. Качественно новое число… k-число. Пусть так и обозначается в дальнейшем. Любопытно отметить, что среди «бесконечных» чисел оно не единственное, оно только начало ряда: k, 2k, 3k и т.д. Числовая ось перешагнула порог бесконечности.

Листок второй

Дорогу осилит идущий...

Ригведа. Гимн щедрости, X век до н.э.

Еще раз. Для ясности, k-число так же конкретно и единственно, как и любое другое число. Просто раньше бесконечность являлась той мусорной кучей, куда валили обломки всех функций, разбившихся при делении на нуль.

(Хм… Опять мотив мусорной кучи, в которой и была найдена эта рукопись… Но не в этом дело. Фраза у автора получилась выразительной, но по сути она неправильна, ибо с натяжкой может быть отнесена лишь к потенциальной бесконечности, к актуальной же и вовсе неприменима. Кроме того, в ней подразумевается, что нуль – это предел функции, и бесконечность – функциональная. В тексте же рассматривается числовая бесконечность. Но не будем придираться, как всякая образная фраза, интуитивно она может быть и глубока. – Ю.Л.)

Более того, k-числа – продолжение оси действительных чисел:

1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — … — k — 2k — 3k — 4k — 5k — 6k-…

А что такое ∞·k? Может быть, это – k2? В таком случае – опять качественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось принимает вид:

0 — 1 — 2 — … — k — 2k — 3k — … — k2 — 2k2 — 3k2 — … — k3 — 2k3 — 3k3 — … — kn —

Эти отрезки числовой оси имеют качественные границы k, k2, ..., kn. Но они не изолированы друг от друга. Все тот же нуль связывает их. Действительно,

k2 ·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k,

ибо нуль – число, и его можно сокращать как обычные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида kn происходит переход в область чисел вида kn–1. При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область kn+1 .

Листок третий

Разбросанным в пыли по магазинам

(Где их никто не брал и не берет!)

Моим стихам, как драгоценным винам,

Настанет свой черед.

М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель

Увы!.. Все новое – это хорошо забытое старое. Цитирую из «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первыя три отделения, переведенныя с французского языка на Российской, со многими присовокуплениями, Василием Висковатовым, Академии Наук Экстраординарным Академиком». Издано в 1812 г. в Санкт-Петербурге:

Ǥ83

… Поелику дробь 1/∞ показывает частное, происходящее от деления 1 на ∞, и мы знаем также, что когда делимое 1 на частное число 1/∞ или 0, как прежде мы видели, разделится, то выйдет делитель ∞, и из сего получаем мы новое понятие о бесконечности, а именно, что оная происходит от разделения 1 на 0; чего ради по справедливости сказать можно, что 1, разделенная на 0, означает бесконечно великое число, или ∞...»

Итак, о том, что 1/0 есть именно число, а не предел функции, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Однако здорово же пропылилась на книжных полках эта «новость»...

(Может быть, именно эта пропыленность и мешает современным математикам воспринимать ее серьезно? Ведь k-числа не только не вошли в школьные учебники, но и среди преподавателей математики мало кто о них знает. – Ю.Л.)

Но хватит эмоций. Продолжу цитату:

Ǥ84

Здесь надлежит еще опровергнуть довольно обыкновенное заблуждение: многие утверждают, что бесконечно великое количество увеличено уже быть не может; но сие мнение не согласуется с вышеупомянутыми твердыми основаниями. Ибо когда 1/0 бесконечно великое число означает, и 2/0 неоспоримо в два раза больше 1/0, то из сего явствует, что бесконечно великое число сделаться может еще вдвое, или даже в несколько раз больше».

И чему это я так бурно радовался? Мои «прозрения» – это только несколько элементарных утверждений из области чисел, больших бесконечности, о которых еще в XVIII в. говорил Эйлер.

(Да, Эйлер говорил вполне внятно. Но слушали его почему-то впол-уха. – Ю.Л.)

Листок четвертый

Если же существуют математические предметы, то необходимо,

чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом...

либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого...

а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо

вообще не существуют, либо существуют иным способом.

Аристотель, Метафизика, кн. 13, гл. 1

Итак, числовая ось включает качественно однородные отрезки, разделенные особыми точками. Назовем их точками связи. Удобно рассматривать математику целых k-чисел. Обобщение может быть получено при умножении целых k-чисел на некое неравное целому a. Рассмотрим отрезки между точками связи. Начнем с отрезка от 1 до k. Далее – от k до k2, еще далее – от k2 до k3. В этой серии отрезков обобщенной числовой оси точками связи являются числа вида kn, где n – целое положительное. Продвигаясь в том же направлении далее, мы встретимся с точками связи нового вида: при n = k точка связи имеет вид kk. Точки связи в первой серии можно назвать точками связи первого рода (символ k входит в них один раз), во второй – точками связи второго рода (символ k входит в них два раза). Например, kk, k2k, kk^2, kk+1 и т.д. Но и они не замыкают последовательность! Возникают точки связи третьего рода: kk^k! А там и четвертого, пятого… Качественное разнообразие числовой оси безгранично. И безгранично велико разнообразие качественно различных бесконечных чисел.

(А почему, собственно, нужно тут удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого множества, и было бы более удивительно, если бы оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.)

Листок пятый

Рассказали страшное,

Дали точный адрес.

Б. Пастернак. Звезды летом.

Ну, а теперь можно крикнуть «Эврика!». А если n = –2? В этом случае:

k–2 = 1/k2 = 1/(1/0)2 = 02 !

Это число получено от умножения нуля на нуль. Следовательно, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – бесконечно много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тишине нуля скрыто нескончаемое движение Вселенных...

Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим:

— –1 — 0 — +1 — или — –k0 — k–1 — +k0-

Глубже:

— –0 — 02 — +0 — или — –k–1 — k–2 — +k–1 -

И наконец, поняв идею сложного строения нуля:

— –0n–1 — 0n — +0n–1 — или — –k–(n–1) – k–n — +k–(n–1) —

Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода.

Теперь очень важное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не изменится». В самом деле, что значит Вселенная плюс атом? Без большого греха результат такого сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так...

Сумма двух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему разряду, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на тонкую структуру линий спектра. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит в себе противоречие – тождественно и нетождественно самому себе – и, следовательно, способно к какой-то форме движения и развития.

Листок шестой

В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось,

когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно?

М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа»

Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:

Первая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книге «Оснований алгебры...» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда:

1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 +… + an + an+1 /(1 – a)

и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно;

а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже заметили выше, что 1/0 есть число бесконечно великое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение

1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 +… + an + an+1 /(1 – a).

Когдаположима = 1, товыйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 +… + 1/0 или 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совсем нелепо...

Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет

1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение

1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к нелепому и к истинному заключению; а сие само показывает, что выражение сие само есть нелепое».

Весьма обстоятельно, но… неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы

n + 1 + 1/0.

В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k0, т.е. сумма k и k0, каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1.

(Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.)

Вторая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: «… так как 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то опять-таки 2/0 = 1/0. С тем же успехом, как с помощью ряда из единиц вроде

1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + ...

можно представить ∞ посредством бесконечного ряда чисел, растущих в любом заданном отношении. Хотя при этом определенная часть одного бесконечного ряда может быть равна 1 /2, 1 /3 и т.д. определенной части другого бесконечного ряда, но ни первая, ни вторая определенная часть не находится в какой-нибудь пропорции ко всему бесконечному ряду, и в этом случае можно сказать только, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.)

Может быть, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-таки рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и убедительно продемонстрировал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Доказать же это более строго можно следующим образом:

1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0.

Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, так как 2·0 = 2·k–1, что совсем не то же самое, что k–1 .

Любопытно отметить, что Маркс обращался к понятию нуля и в других работах. Например, в работе «О дифференциале» он совершенно четко разделил «нуль-число» и «нуль-предел» как совершенно различные самостоятельные понятия.