Реферат: Кольцевой орбитальный резонанс

Кирилл Бутусов

В 1978 г. нами была опубликована работа«Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечнойсистеме наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, чтопериоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию сознаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовымирядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...),см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение отрезонансного значения nT в %.

Таблица 1

Тело Т, лет n nT, лет δ% Ме 0,24085 377 90,800 1,98 В 0,61521 144 88,590 0,50 З 1,00000 89 89,000 0,03 Ма 1,88089 47 88,401 0,71 С 29,4577 3 88,373 0,74 <td/> <td/> <td/> 89,033 0,79 Ц 4,605 18 82,893 0,10 Ю 11,862 7 83,035 0,06 У 84,015 1 84,015 1,24 Н 164,78 1/2 82,394 0,71 П 247,69 1/3 82,565 0,50 <td/> <td/> <td/> 82,980 0,52

Однако, кроме описанных в статье случаевпроявления «золотого сечения» в Солнечной системе, нам удалось выявить ещё рядновых интересных примеров такого же рода. В частности, мы обнаружили, чтовеличины, обратные эксцентриситетам планетных орбит также близки к числам Люкаи Фибоначчи (см. табл. 2, где e – эксцентриситет орбиты, а n – число Люка илиФибоначчи).

Таблица 2

Тело 1/e n 1/ne δ% П 4,021 4 1,0054 0,44 Ме 4,863 5 0,9726 2,91 Ма 10,711 11 0,9737 2,80 Ц 13,157 13 1,0121 1,10 С 17,946 18 0,9970 0,40 Ю 20,652 21 0,9834 1,79 У 21,195 21 1,0093 0,82 З 59,772 55 1,0867 8,56 Н 116,686 123 0,9486 5,52 В 147,058 144 1,0212 2,01 <td/> <td/> <td/> 1,0010 2,63

Так как орбиты планет эллиптичны ипостепенно прецессируют, то каждая из них занимает кольцевую область междудвумя круговыми орбитами с радиусами:

rπ = (1 – e)a

(1)

rα = (1 + e)a

(2)

где rπ – радиус орбиты вперигелии,

rα – радиус орбиты вафелии,

a – большая полуось орбиты.

Этим круговым орбитам соответствуют своипериоды, а интервал периодов может быть найден по следующей формуле:

/>

(3)

где T – период обращения планеты, аΔT – будет шириной орбиты, выраженной в терминах периодов. Назовем этувеличину «периодом ширины орбиты». При этом оказалось, что «период шириныорбиты» связан с перодом обращения планеты, расположенной через одну орбитуближе к Солнцу, следующим соотношением:

kΔTn = Tn–2 ,

(4)

где k – целое число, чаще всего, близкоек единице, т.е. имеет место своеобразный резонанс, названный нами «кольцевымрезонансом» (см. табл. 3).

Таблица 3а

Тело ΔT, лет k

kΔTn, лет

В 0,0125 5 0,0627 З 0,0501 5 0,2509 М 0,5266 1 0,5266 Ц 1,0497 1 1,0497 Ю 1,7228 1 1,7228 С 4,9235 1 4,9235 У 11,890 1 11,890 Н 4,237 7 29,659 П 184,28 0,5 92,140

Таблица 3b

Teло T, лет

kΔTn / kΔTn–2

δ% k

kΔTn / kΔTn–2

δ% Сл 0,0694 0,903 10,0 11/2 0,993 0,61 Ме 0,2408 1,041 4,8 24/5 1,000 0,07 В 0,6152 0,855 16,0 7/6 0,998 0,08 З 1,0000 1,049 5,6 20/21 0,999 0,02 Ма 1,8808 0,915 8,4 12/11 0,999 0,02 Ц 4,6052 1,069 7,6 14/15 0,997 0,16 Ю 11,862 1,002 0,8 1/1 1,002 0,28 Ст 29,457 1,006 1,3 7/1 1,006 0,73 У 84,015 1,096 10,3 5/11 0,997 0,24 <td/> <td/> 0,993 7,2 <td/> 0,999 0,24

Как видно из таблицы, при грубойподборке коэфициента k он чаще всего принимает значение 1 и даёт отклонение отрезонансности, равное 7,2%, а при более тонкой подборке коэфициента, когда онне целочислен, но равен отношению небольших чисел, это отклонение имеетвеличину только 0,24%. Учитывая, что на самом деле мгновенный период обращенияпланеты меняется в широких пределах, можно считать, что резонанс всегдасоблюдается даже при грубой подборке k. Как оказалось, экваториальный периодвращения Солнца и все «периоды ширины орбит» планет земной группы имеют междусобою общий резонанс. Для планет, внешних по отношению к Земной орбите такжеимеет место общий для них резонанс. Причём средние отклонения от резонансностидля обеих групп планет не превышают 0,55%. Период общего резонанса для внешнихпланет превосходит аналогичный период для земной группы планет в 28 раз (см.табл. 4).

Таблица 4

Тело ΔT n ΔT / n δ% В 0,0125 2 0,00627 0,19 З 0,0501 8 0,00627 0.16 Сл 0,0694 11 0,00631 0,86 Ме 0,1483 24 0,00618 1,35 Ма 0,5266 84 0,00627 0,10 <td/> <td/> <td/> 0,00626 0,53 Ма 0,5266 3 0,17553 0,30 Ц 1,0497 6 0,17495 0,02 Ю 1,7228 10 0,17228 1,58 Н 4,2370 24 0,17654 0,88 Ст 4,9235 28 0,17584 0,48 У 11,890 68 0,17485 0,08 <td/> <td/> <td/> 0,17500 0,55

Если рассмотреть ширину орбиты втерминах частот обращений планет, то мы получим «частоту ширины орбиты». Каквыяснилось, эти величины, нормированные на «частоту ширины орбиты» Нептуна,образуют числовые ряды, близкие к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 5) сосредним отклонением от резонансности меньше 3%.

Таблица 5

Тело

Δν, год–1

Δν / ΔνН

n

Δν / nΔνН

δ% Н 0,000156 1,0000 1 1,0000 1,62 У 0,001690 10,8346 11 0,98496 3,17 П 0,003305 21,1871 21 1,00890 0,72 С 0,057000 36,5384 34 1,07465 5,75 Ю 0,012286 78,7564 76 1,03626 1,97 В 0,033516 212,564 199 1,06816 5,11 З 0,050200 321,794 322 0,99936 1,68 Ц 0,049938 320,051 322 0,99394 2,23 Ма 0,150818 966,782 987 0,97951 3,69 <td/> <td/> <td/> <td/> 1,01619 2,88

Мы рассматривали до сих пор интервалыпериодов и частот, определяемых через радиусы круговых орбит, ограничивающихэллипсы орбит. Однако, интересно рассмотреть разности мгновенных периодовобращения планет в афелиях и перигелиях орбит т.е. интервал, в пределахкоторого меняется мгновенный период при движении планеты по орбите. Назовёмэтот интервал «девиацией периода» Расчёт её будем вести по формуле:

/>

(5)

При этом оказалось, что наблюдаетсярезонанс между «девиацией периода» планеты и периодом соседней планеты,расположенной ближе к Солнцу:

kΔT*n = T*n–1

(6)

См. табл. 6, где значки π, 0,α – определяют значения мгновенных периодов в перигелии, на среднемрасстоянии и в афелии. Мы видим, что чаще всего наблюдается k = 2. Среднееотклонение от резонанса равно 1,75%.

Таблица 6

Тело

ΔTn*

k

k ΔTn*

Тело

T*n–1

kΔT*n / ΔT*n–1

δ% Ме 0,2024 1/3 0,0674

Сле

0,0694 0,97099 2,58 В 0,0167 9 0,1505

Меπ

0,1553 0,96968 2,72 З 0,0669 9 0,6023

Вπ

0,6068 0,99253 0,35 Ма 0,5442 2 1,0884

Зα

1,0338 1,05279 5,69 Ц 1,4040 4/3 1,8720

Ма0

1,8808 0,99528 0,08 Ю 2,3000 2 4,6000

Ц0

4,6052 0,99888 0,28 Ст 6,5757 2 13,1514

Юα

13,0539 1,00746 1,14 У 15,8730 2 31,7460

Сα

32,8829 0,96542 3,17 Н 5,6494 15 84,7412

У0

84,0152 1,00864 1,26 П 254,336 7/11 161,850

Нπ

161,981 0,99919 0,31 <td/> <td/> <td/> <td/> <td/> <td/> 0,99608 1,75

На самом деле, учитывая, что изменениемгновенного периода происходит в широких пределах, мы можем считать, чторезонанс всегда соблюдается гораздо точнее.

Наконец, рассмотрим соотношенияэкстремальных значений мгновенных периодов на соседних орбитах в ближайшихапсидах. Например, отношение мгновенного периода в афелии орбиты к такому жепериоду, но уже в перигелии последующей орбиты, расположенной дальше от Солнца(см. табл. 7, где T1* – мгновенный период в афелииорбиты, а T2* – мгновенный период в перигелиипоследующей). Исключение составляют только Меркурий, где вместо перигелийных иафелийных периодов взяты средние периоды и Венера, где вместо афелийногопериода взят средний период. Резонансный коэфициент равен отношению небольшихчисел, на 85% состоящих из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).

Анализ таблицы показывает, что этисоотношения близки к резонансным со средним отклонением от резонансности 0,53%.

Таблица 7

Тело

T2*

Тело

T1*

k

kT1*

T2* / kT1*

δ%

Ме0

0,2408

Сле

0,0694 7/2 0,2432 0,990304 1,03

Вπ

0,6068

Ме0

0,2408 5/2 0,6021 1,007897 0,73

Зπ

0,9669

В0

0,6152 11/7 0,9667 1,000202 0,03

Маπ

1,6162

Зα

1,0338 11/7 1,6246 0,994791 0,57

Цπ

3,9432

Маα

2,1604 11/6 3,9608 0,995554 0,50

Юπ

10,7539

Цα

5,3472 2/1 10,6944 1,005564 0,50

Стπ

26,3072

Юα

13,0539 2/1 26,1079 1,007633 0,70

Уπ

76,3596

Стα

32,8829 7/3 76,7268 0,995213 0,53

Нπ

161,981

Уα

92,2326 7/4 161,407 1,003557 0,30

Пπ

144,369

Нα

167,630 6/7 143,683 1,004770 0,42 <td/> <td/> <td/> <td/> <td/> <td/> 1,000548 0,53

Выводы

Величины, обратные эксцентриситетаморбит планет образуют числа, близкие к числам Люка и Фибоначчи.

Периоды ширины орбитальных колецнаходятся в резонансе с периодами планет, расположенными через одну орбитуближе к Солнцу.

Частоты ширины орбитальных колецнаходятся в резонансе с частотами обращения планет, расположенных дальше отСолнца через одну орбиту.

Периоды ширины орбитальных колец какземной группы планет, так и планет, внешних по отношению к земной орбите,образуют две группы тел с общими резонансами внутри группы.

Частоты ширины орбитальных колец,нормированные на частоту ширины орбиты Нептуна, образуют числовой ряд близкий кчислам Люка и Фибоначчи.

Девиации периодов обращений планетнаходятся в резонансе с периодом обращения соседней планеты, расположеннойближе к Солнцу.

Экстремальные периоды в ближайшихапсидах соседних планет находятся в резонансе, а числовые коэфициентырезонансов на 85% состоят из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).

Имеют место ещё и другие резонансныесоотношения для частот ширины орбит, девиаций частоты и экстремальных значенийчастот планетных орбит, но ввиду ограниченности объёма работы мы этихрезультатов вычислений не приводим.

Список литературы

К.П. Бутусов. «Золотое сечение в Солнечнойсистеме». Проблемы исследования Вселенной, вып. 7. М.-Л., 1978.