Реферат: Учебники математики в прошлом, настоящем и будущем

Введение

Вопросыо том, как складывались первичные математические представления, какой вид онипринимали, как проходили первые этапы их совершенствования, никогда не терялисвоей актуальности и не потеряют ее в будущем. В том, чтобы правильно освещатьэти вопросы, заинтересованы весьма широкие слои человеческого общества: и те,кто начинает свое математическое образование; и те, кто учит детей математике,так как это способствует отысканию и использованию наиболее эффективных методическихприемов.

Своеобразиепроблемы состоит в том, что поиски действительного начала математических знанийчеловечества уводят нас в седую, еще дописьменную древность…

Причина выбора данной темы, цель работы

Причинавыбора нами данной темы очень проста; мы хотели, как можно больше узнать о том,как развивалась математика, как проводилось обучение в различные времена и чтопредшествовало тому, что мы имеем сейчас. Также хочется понять ту тенденцию, скоторой совершенствовались сами учебники, сначала в виде простых записей, азатем, со временем, обретя сегодняшний вид.

Мыпостараемся узнать, с чего началось обучение математике, зачем этопотребовалось, как на протяжении столетий менялось отношение к обучению и какэто сказалось на развитии науки, в данном случае – математики. Также мы выясниму самих учеников то, как бы они сами хотели ее изучать. То есть постараемсяпредположить, какими станут учебники в ближайшем будущем.

Начало формирования математики

Начнемс описания того, как складывалось понятие о числе (на первых порах натуральном,т.е. целом положительном). Очевидным представляется высказывание, что этопонятие возникло и сформировалось в результате многократно применяемой (в силупрактической необходимости) операции счета, перечисления предметов. Однако,несмотря на кажущуюся простоту, естественность, свою «изначальность», операциисчета не является на самом деле первичной, простейшей. Она возникает иприменяется на уже сравнительно высоком уровне развития математическихэлементов мышления. Ей предшествовало, как выясняется, несколько ступенейусовершенствования логических суждений.

Историячеловечества со всей очевидностью показывает, что даже самые. Казалось бы,изначальные понятия людей не являются врожденными (и уж тем более не посланы«свыше»). Они суть отражения свойств и отношений реальных предметов объективносуществующего мира. Приобретены они в ходе активной деятельности людей. Именноблагодаря труду и сопровождающей его членораздельной речи, мозг и органы чувствчеловека достигли значительного совершенства. В результате после длительнойэволюции, мозг человека выработал способности создавать абстракции, необходимыедля счета и измерения.

Помере перехода людей на более высокий уровень интеллектуального развитиячувствительный счет оказался недостаточным. Появляется необходимость сравниватьмножества, например, поэлементно сопоставляя их численность. Появляется онапреимущественно в процессе общения людей. Так начинают появляться записи, гдефигурируют символические обозначения чисел и действия над ними.

Преждевсего, заслуживает внимание то, что в ряде ранних источников содержатсявысказывания, говорящие о преемственности математических и вообще научныхзнаний. Так, в них упоминается о поездках купцов и образованных граждандревнегреческих полисов в другие страны. Чаще речь идет о Египте и иных странахБлижнего Востока, о развитии в них науки и о технических достижениях.Практический характер математики и успехи ее в этих странах были оценены высокои восприняты полностью.

Далеемы рассмотрим, как проходило развитие математики в различных цивилизациях ипочему возрастала потребность передачи знаний из поколения в поколение.

Древний Египет

Египтянеиспользовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемызернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведениятех или иных сооружений. Наше знание древнеегипетской математики основаноглавным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемыев этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду –около 3500 до н.э. В папирусах можно найти также задачи, связанные сопределением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числакружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортахзерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

Ноглавной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты,связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозныхпраздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развитияастрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне.

Древнеегипетскаяписьменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода такжеуступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой,в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальныхчерточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальныесимволы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любоечисло. С появлением папируса возникло, так называемое, иератическое письмо –скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы.Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10,100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывалисьв виде суммы дробей с числителем, равным единице. С такими дробями египтянепроизводили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычисленийоставалась очень громоздкой.

Геометрия,у египтян, сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников,трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надосказать, что математика, которую египтяне использовали при строительствепирамид, была простой и примитивной.

Задачии решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без какихбы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типамиквадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому ите общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшеговида. Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами;весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формули правил.

Хотямайя, жившие в Центральной Америке, не оказали влияния на развитие математики,их достижения, относящиеся примерно к 4 в., заслуживают внимания. Майя, по –видимому, первыми использовали специальный символ для обозначения нуля в своей двадцатеричнойсистеме. У них были две системы счисления: в одной применялись иероглифы, а вдругой, более распространенной, точка обозначала единицу, горизонтальная черта– число 5, а символ обозначал нуль. Позиционные обозначения начинались с числа20, а числа записывались по вертикали сверху вниз.

Вте времена бумаги еще нигде не было. В Месопотамии писали, например, натабличках из сырой глины, которые потом обжигали. В некоторых странах писали напергаменте. Египтяне же изобрели дешевый и удобный писчий материал, по своимкачествам очень близкий к бумаге – листы из папируса, которые можно былосклеивать в свитки любой длины. Ученые долгие годы пытались разгадать секретдревних мастеров. Он должен был быть простым, так как папируса требовалосьмного.

Папирусраньше обильно рос в болотистых районах Нижнего Египта, где теперь его нет. Ониграл в Египте огромную роль: из него изготовляли веревки, корзины, картонаж,плетенки, лодки и т.д., но главная ценность – изготовление материала дляписьма. Папирус рос очень быстро, давая новые побеги круглый год. По берегамНила были густые заросли папируса высотой до 2 – 3 метров.

Собиралипапирус ранним утром, затем отвозили в мастерскую. Привезенные стеблискладывали на землю и, прежде чем палящее солнце успевало подсушить их, быстронарезали на большие куски. Затем мастера специальными ножами осторожно сдирализеленую кожицу со стеблей, обнажая мягкую белую сердцевину. Теперь сердцевинунадо было разрезать вдоль на несколько тонких полосок, но очень точно иосторожно. На ровном специальном столе полоски укладывали в ряд, слегкавнахлест, на кусок плотной ткани, тщательно подгоняя друг к другу. Поверхпервого ряда, поперек него, клали второй, точно такой же ряд полосок. Все этопокрывалось тонкой материей хорошо впитывающей влагу, и в течение часа или двухработники непрерывно колотили по ней деревянными молотками, стараясь ничего несдвинуть с места. Затем они осторожно клали на ткань легкий пресс и оставлялина несколько часов. За это время сок, выступивший из папируса, крепко склеивалполоски, и они превращались в сплошной лист тонкой белой бумаги. Когда листпросыхал, его аккуратно нарезали на куски и склеивали в полосы разной длины,обычно от метра до двух, но нередко хозяин мастерской получал заказы и на оченьбольшие папирусы — до двадцати метров. Папирус разглаживали круглыми гладкимикамнями или лопаточками из слоновой кости, чтобы тростниковое перо могло легкодвигаться по нему, сворачивали в трубочки и перевязывали шнурами. На следующийдень его везли на продажу.

/>

Папирусберегли: часто старые записи аккуратно смывались, листок высушивался, и затемопять использовался. Когда листок папируса исписывали до конца, к немуподклеивали другой. Книга получалась все длиннее. Для хранения ее сворачивали всвиток. Некоторые книги получались до сорока метров.

Папирус Ринда

  Источниками для изучения древнеегипетских математических знаний являютсядва папируса – папирус Ринд, (Лондон, Британский музей) и Московскийматематический папирус (Москва, ГМИИ им. А.С.Пушкина). Оба — копии более раннихтекстов: папирус Ринда был переписан в XVIII династию с оригинала эпохиСреднего царства; Московский папирус, датируемый временем правления фараоновXII династии, отражает еще более ранний документ. Эти памятники трудно назватьнаучными трактатами в  нашем понимании данного определения, ибо они не содержатсвойственного современным работам осмысления теоретических проблем, таких каканализ или доказательство правильности того или иного решения. Напротив, в нихданы условия разнообразных практических задач – измерения площади поля,вместимости амбара, раздел имущества и т.д. (в папирусе Ринда их 80,в Московском — 25). 

Вследза условием задачи следует алгоритм решения и указан правильный ответ. Можнопредположить, что эти папирусы были учебными пособиями по выполнению определенныхопераций.

Математическиепапирусы показывают высочайшие достижения Древнего Египта в областиматематического знания. Однако они не дают представления о степени осмысленияэтого знания самими египтянами – интересовало ли их теоретическое развитиематематики или же они заботились только о ее практическом применении? Крометого, нет неоспоримых доказательств, что пропорции архитектурных сооружений,таких как пирамиды, не были результатом богатого опыта и чутья строителей, азаранее просчитывались. Но одно, несомненно: за тысячу лет до Архимеда иПифагора египтяне открыли и успешно применяли на практике законы, вошедшие всокровищницу античной, а затем и мировой математической мысли.

Задачи математических папирусов

/>

Тот и Хор с «Оком Хора». Фрагмент росписи гробницы Сети I

Средизадач математических папирусов можно выделить чисто алгебраические (№ 24-28папируса Ринда и №1,19 и 25 Московского папируса), показывающие, что египтянемогли решать линейные уравнения с одной неизвестной х, называемой «куча» (типаax + bx+...+cx =d), а также возводить в степень и извлекать корень.  

ПапирусРинда содержит задачи на вычисление геометрической (№79) и арифметическойпрогрессии: «Тебе сказано разделить 10 «хекат» ячменя между 10 людьмитак, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла 1/8 «хекат»ячменя. Средняя доля есть 1 «хекат». Возьми 1 из 10, остаток есть 9. Составь половинуразницы — это есть 1/16 «хекат». Приложи ее к средней доле. Теперь ты долженвысчитать для каждого лица по 1/8 «хекат», пока не достигнешь конца» (Ринд,№64).

Египтянетакже решали и геометрические задачи – вычисляли площадь треугольника,прямоугольника, круга и даже поверхности шара. Они рассчитали число ∏ — отношениедлины окружности к диаметру — с точностью до 0,6% (3,16 вместо 3,14).

Математическиепапирусы являются свидетельством знакомства египтян со стереометрией. Описаныспособы вычисления объема цилиндра, призмы и пирамиды: «Если тебе называютусеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 – в нижней стороне, 2 – в верхней,вычисляй с четырех. Возводя их в квадрат, получаешь 16. Удвой 4, получишь 8.Сложи 16 с этими 8 и с этими 4. Получается 28. Вычисли 1/3 от 6. Получается 2.Вычисли 28 2 раза. Получается 56. Смотри! Он есть 56. Ты нашел правильно» (Московскийпапирус).

Нашипознания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух большихпапирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках. Один избольших папирусов называется математическим папирусом Ринда (по имениобнаружившего его учёного) и находится в Лондоне. Он примерно 5,5 м  длины и0,32 ширины. Другой большой папирус, почти такой же длины и 8 см ширины,находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относятсяпримерно к 2000 г. до н.э.

ПапирусРинда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решенииэтих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника,треугольника, трапеции и круга, объёмы параллелепипеда, цилиндра, размерыпирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении однойзадачи находится сумма геометрической прогрессии.

/>

Вмосковском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа,как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляетсяобъём усечённой пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче содержитсясамый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности:вычисляется боковая поверхность корзины, т.е. полуцилиндра, высота которогоравна диаметру основания.

Приизучении содержания математических папирусов обнаруживается следующий уровеньматематических знаний древних египтян.

Ковремени написания этих документов уже сложилась определённая система счисления:десятичная иероглифическая. Алгоритмические числа записывались комбинациямиузловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями,в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создалиспециальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы.

Сложилисьтакже определённые приёмы производства математических операций с целыми числамии дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является её аддитивныйхарактер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению.

Приумножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоенияодного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений.

Приделении также используется процедура удвоения и последовательного деленияпополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией дляегиптян. Здесь наблюдается самое большое разнообразие приёмов. Так, иногда вкачестве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или однойдесятой доли числа и т.п.

Присложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение ихна вспомогательные числа. Способы подбора этих вспомогательных чисел не дают,однако, права судить об этом приёме как о единообразном процессе, адекватномспособу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции вомногом ещё спорны и не подтверждены достаточным количеством фактов.

Материалы,содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры вЕгипте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы ещётолько начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены ихсодержанию. Техника вычислений ещё примитивна, методы решения задач неединообразны. Однако материалов, которые позволяли бы судить о развитииматематики в Египте, ещё недостаточно.

Вавилон

Источникомнаших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняныетаблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые датируются от 2000 дон.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связанас ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обменеденег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов идоли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца.Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи состроительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Оченьважной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарьиспользовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозныхпраздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берутначало в вавилонской астрономии.

Вавилонянесоздали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10.Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинациюсимвола числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел, начиная с 60 ибольше, вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60.Существенным продвижением стал позиционный принцип, согласно которому один итот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от тогоместа, где он расположен. Примером могут служить значения шестерки в записи(современной) числа 606. Однако ноль в системе счисления древних вавилонянотсутствовал, из – за чего один и тот же набор символов мог означать и число 65(60 + 5), и число 3605 (602 + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовкедробей. Например, одни и те же символы могли означать и число 21, и дробь 21/60и (20/60 + 1/602). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретногоконтекста.

Вавилонянесоставили таблицы обратных чисел (которые использовались при выполненииделения), таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов икубических корней. Им было известно хорошее приближение числа />. Клинописные тексты,посвященные решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют отом, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравненийи могли решать некоторые специальные типы задач, включавших до десяти уравненийс десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений иуравнений четвертой степени. На глиняных табличках запечатлены только задачи иосновные шаги процедур их решения. Так как для обозначения неизвестных величиниспользовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основномзаключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касаетсяалгебраических задач, то они формулировались и решались в словесныхобозначениях.

Около700 до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движенийЛуны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важнокак для астрологии, так и для астрономии.

Вгеометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, какпропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Им былаизвестна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность – прямой.Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, втом числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число Пивавилоняне считали равным 3.

В1849-1850 гг. в развалинах древнего города Ниневия была найдена древнейшаябиблиотека. Выяснилось, что почти за 2000 лет до н. э. были составлены таблицыумножения, квадратов последовательных целых чисел. Для решения квадратныхуравнений народы Месопотамии разработали систему действий, эквивалентнуюсовременной формуле. Но не были найдены рассуждения, приведшие к используемомуалгоритму, т. е. математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной,хотя неизвестно, каким образом были получены эти рецепты.

/>Для обозначения чисел вавилоняне пользовались двумя значками:вертикальным и горизонтальным клиньями. Числа от 1 до 9 записывались с помощьюсоответствующего числа вертикальных клиньев; 10 — горизонтальный клин, 60 — снова вертикальный клин. Данную систему нельзя назвать совершенной, так какодна комбинация могла обозначать различные числа.

Следывавилонской нумерации сохранились до сих пор: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60секунд; аналогично при делении окружности на градусы, минуты, секунды. Такаятрадиция пришла из астрономии. Вавилоняне проводили систематические наблюденияза звездным небом, составляли календарь, вычисляли периоды обращения Луны ивсех планет, могли предсказывать солнечные и лунные затмения. Эти знанияастрономии впоследствии перешли к грекам, которые вместе с астрономическимитаблицами заимствовали и шестидесятеричную нумерацию.

Приразвитии математики первоначально формируются понятия «больше», «меньше»,«равно», все это тесно связано с конкретными предметами. Счет предметовпроизводили чаще всего с помощью пальцев. Поэтому самыми распространеннымиявляются десятеричная или двадцатеричная системы счисления. С появлением нулявозникла позиционная система счисления

Древняя Греция

Сточки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классическогопериода (6 – 4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период,была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новоеутверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность егонеприятия.

Настаиваниегреков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни однадругая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно наоснове дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом.Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим вустройстве греческого общества классического периода. Математики и философы(нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, гделюбая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие.Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношенияхрешению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретическийаспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставлялисвободнорожденным низших классов и рабам.

Греческаясистема счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическаясистема, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицывертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальныебуквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления дляобозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаическиебуквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чиселот 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта.

Десяткитысяч обозначались буквой М (от греческого «мириои» – 10 000), после которойставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч

Дедуктивныйхарактер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона иАристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать ФалесуМилетскому (ок. 640–546 до н.э.), который, как и многие древнегреческиематематики классического периода, был также философом. Высказывалосьпредположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторыхрезультатов в геометрии, хотя это сомнительно.

Другимвеликим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок.585–500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетскойматематикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцветкоторого приходится на период ок. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистуюматематику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли ввиде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствиис формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет,вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3,6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее числокамешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. –квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в видеквадрата, и т.д.

Изпростых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел.Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольныхчисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (всовременных обозначениях) n2 – квадратное число, то n2 +2n +1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственныхделителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным.Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496.Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно суммеделителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь самочисло исключается из собственных делителей).

Дляпифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественнуювеличину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялосьс мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число,равное произведению двух одинаковых множителей.

Пифагорейцытакже открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратноечисло. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такиетройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Ониимеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинамкатетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине егогипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознаниюболее общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласнокоторой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен суммеквадратов длин катетов.

Рассматриваяпрямоугольный треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, чтодлина его гипотенузы равна />, и это повергло их в смятение, ибоони тщетно пытались представить число />в виде отношения двух целых чисел,что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в видеотношения целых  чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин– «иррациональные числа». Около 300 до н.э. Евклид доказал, что число />несоизмеримо.Пифагорейцы

имелидело с иррациональными числами, представляя все величины геометрическимиобразами. Если 1 и />считать длинами некоторых отрезков,то различие между рациональными и иррациональными числами сглаживается.Произведение чисел />и />есть площадь прямоугольника состоронами длиной />и />.Мы и сегодня иногда говорим о числе25 как о квадрате 5, а о числе 27 – как о кубе 3.

Древниегреки решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений.Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания,умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков;ныне этот метод называется геометрической алгеброй.

Приведениезадач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числастали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать снесоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов.Геометрия стала основой почти всей строгой математики, по крайней мере, до 1600г. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математическийанализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» былоравнозначно слову «математик».

Именнопифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем быласистематизировано изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основанияполагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы отреугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах иправильных многогранниках.

Однимиз самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427–347 до н.э.). Платон былубежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается,что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического методадоказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, котороетребуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до техпор, пока не будет достигнут какой – нибудь известный факт; доказательствополучается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователиПлатона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство отпротивного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученикПлатона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идейотносительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрическихпостроений.

Величайшимиз греческих математиков классического периода, уступавшим по значимостиполученных результатов только Архимеду, был Евдокс (ок. 408–355 до н.э.).Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы.Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейскийметод обращения с иррациональными числами.

РаботыЕвдокса позволили установить дедуктивную структуру математики на основе явно формулируемыхаксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического анализа,поскольку именно он изобрел метод вычисления площадей и объемов, получившийназвание «метода исчерпывания». Этот метод состоит в построении вписанных иописанных плоских фигур или пространственных тел, которые заполняют(«исчерпывают») площадь или объем той фигуры или того тела, которое являетсяпредметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая теория,объясняющая наблюдаемое движение планет. Предложенная Евдоксом теория былачисто математической; она показывала, каким образом комбинации вращающихся сферс различными радиусами и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярнымидвижения Солнца, Луны и планет.

Около300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целоеЕвклидом, написавшим математический шедевр “Начала”. Из немногих проницательноотобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важныерезультаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определениятаких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десятьсамоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этихдесяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклидадолгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в немимеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование не сформулированныхв явном виде допущений.

Аполлоний(около 262–200 до н.э.) жил в александрийский период, но его основной трудвыдержан в духе классических традиций. Предложенный им анализ коническихсечений – окружности, эллипса, параболы и гиперболы – явился кульминациейразвития греческой геометрии. Аполлоний также стал основателем количественной математическойастрономии.

Втечение долгого времени математические сведения не были выделены в отдельнуюобласть науки. Важные и интересные астрономические, технические и другиеоткрытия, наблюдения за явлениями природы, новые методы вычислений и решения новыхклассов задач стекались в Грецию со всех сторон, распространялись в кругахобразованных людей, сливаясь в единую, хотя и слабо поначалу объединенную,область всеобщего научного знания. Называли эту область матема ( — знание,наука). Факты этой науки приобрели название научных, математических.

Новремя шло и постепенно накопление научных сведений объективно вынуждало к тому,чтобы их упорядочить, классифицировать. То же стремление к разделению,дифференциации знаний вырастало из практики школьного обучения. Известно, чтовсе дети свободных граждан рабовладельческих Афин и других полисов ссемилетнего возраста учились в школах. Там их обучали как дисциплинампрактического назначения, так и начаткам теоретического научного знания, в томчисле основам теоретической арифметики и геометрии. Став взрослыми, онивследствие привилегированного положения в обществе передавали подневольнымлюдям не только физический труд, но и решение практических задач, связанных снеобходимостью счета и измерений. Такое разделение математических занятий,возникшее в силу социального неравноправия людей, ускоряло объективное течениеисторического процесса дифференциации научных знаний и выделения слоя людей,занимающихся теоретическими проблемами математики. Этому же способствовалодеятельность учебно-научных объединений натурфилософского направления (научныхшкол). Это были по преимуществу небольшие группы молодых людей, собиравшихсявокруг известных ученых; преподавание велось главным образом устно.

Древнегреческие школы

Элейская школа

Элейскаяшкола довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ,в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонневзаимодействуют. Основными представителями Элейской школы считают Парменида(конец VI — V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

ФилософияПарменида заключается в следующем: всевозможные системы миропониманиябазируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие, небытия нет; 2)существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и небытие тождественны.Истинный Парменид признает только первую посылку. Согласно ему – бытие едино,неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее;множественность, изменчивость, прерывность, текучесть — все это удел мнимого.  

Свозражением выступил его ученик Зенон. Древние приписывали ему сорокдоказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественностивещей) и пять доказательств его неподвижности (против движения). Из них до насдошло всего девять. Наибольшей известностью во все времена пользовалисьзеноновы доказательства против движения.

АргументыЗенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого смысла», выводам, ноих нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и посодержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апорииЗенона на составные части и двигаясь от заключений к посылкам, можнореконструировать исходные положения, которые он взял за основу своей концепции.Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке,фундаментальные философские представления существенно опирались наматематические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

1.Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, нопротяженных величин должна быть бесконечно большой;

2.Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных величин всегдаравна нулю и никогда не может стать некоторой заранее заданной протяженнойвеличиной.

Именнов силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальнымиматематическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям,существенно затронул систему математических знаний. Целый ряд важнейшихматематических построений, считавшихся до этого, несомненно, истинными, в светезеноновских построений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привелик необходимости переосмыслить наиболее важные методические вопросы.

Милетская школа

Милетскаяшкола – одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшаясущественное влияние на развитие философских представлений того времени. Онасуществовала в Ионии в конце V — IV вв. до н.э.; основными деятелями ееявлялись Фалес (около 624-547 гг. до н.э.), Анаксимандр (около. 610-546 гг. дон.э.) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н.э.). Рассмотрим на примере милетскойшколы основные отличия греческой науки от догреческой и проанализируем их. Еслисопоставить исходные математические знания греков с достижениями египтян ивавилонян, то вряд ли можно сомневаться в том, что такие элементарныеположения, как равенство углов у основания равнобедренного треугольника,открытие которого приписывают Фалесу Милетскому, не были известны древнейматематике. Тем не менее, греческая математика уже в исходном своем пунктеимела качественное отличие от своих предшественников. Ее своеобразиезаключается, прежде всего, в попытке систематически использовать идеюдоказательства. Фалес стремится доказать то, что эмпирически было получено ибез должного обоснования использовалось в египетской и вавилонской математике.Возможно, в период наиболее интенсивного развития духовной жизни Вавилона иЕгипта, в период формирования основ их знаний, изложение тех или иныхматематических положений сопровождалось обоснованием в той или иной форме.

Однако,как пишет Ван дер Варден, «во времена Фалеса египетская и вавилонскаяматематика давно уже были мертвыми знаниями. Можно было показать Фалесу, какнадо вычислять, но уже неизвестен был ход рассуждений, лежащих в основе этих правил».Греки вводят процесс обоснования как необходимый компонент математическойдействительности – доказательность, которая действительно рассматриваемогоположения, уверенность в силе человеческого являлась отличительной чертой ихматематики. Техникой доказательства ранней греческой математики, как вгеометрии, так и в арифметике, первоначально являлась простая попытка приданиянаглядности. Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметикебыло доказательство при помощи камешков, в геометрии — путем наложения. Но самфакт наличия доказательства говорит о том, что математические знаниявоспринимаются не догматически, а в процессе размышления. Это, в свою очередь,обнаруживает критический склад ума, уверенность (может быть, не всегдаосознанную), что размышлением можно установить правильность или ложность Грекив течение одного – двух столетий сумели овладеть математическим наследиемпредшественников, накопленного в течении тысячелетий, что свидетельствует обинтенсивности, динамизме их математического познания. Качественное отличиеисследований Фалеса и его последователей от догреческой математики проявляетсяне столько в конкретном содержании исследованной зависимости, сколько в новомспособе математического мышления. Исходный материал греки взяли упредшественников, но способ усвоения и использования этого материала был новый.Отличительными особенностями их математического познания являются рационализм,критицизм, динамизм. Эти же черты характерны и для философских исследованиймилетской школы.

Индия и Арабы

Преемникамигреков в истории математики стали индийцы. Индийские математики не занималисьдоказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных методов.Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное число, и как символ отсутствияединиц в соответствующем разряде. Махавира (850 н.э.) установил правилаопераций с нулем, полагая, однако, что деление числа на нуль оставляет числонеизменным. Правильный ответ для случая деления числа на нуль был дан Бхаскарой(р. в 1114), ему же принадлежат правила действий над иррациональными числами.Индийцы ввели понятие отрицательных чисел (для обозначения долгов). Самоераннее их использование мы находим у Брахмагупты (ок. 630). Ариабхата (р. 476)пошел дальше Диофанта в использовании непрерывных дробей при решениинеопределенных уравнений.

Нашасовременная система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисели нуля как кардинального числа и использовании обозначения пустого разряда,называется индо – арабской. На стене храма, построенного в Индии около 250 дон.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим очертаниям нашисовременные цифры.

Около800 индийская математика достигла Багдада. Термин «алгебра» происходит от началаназвания книги Аль-джебр вал – мукабала (Восполнение и противопоставление),написанной в 830 астрономом и математиком аль-Хорезми. В своем сочинении онвоздавал должное заслугам индийской математики. Алгебра аль-Хорезми былаоснована на трудах Брахмагупты, но в ней явственно различимы вавилонское и греческоевлияния. Другой выдающийся арабский математик Ибн аль – Хайсам (около 965–1039)разработал способ получения алгебраических решений квадратных и кубическихуравнений. Арабские математики, в их числе и Омар Хайям,  умели решатьнекоторые кубические уравнения с помощью геометрических методов, используяконические сечения. Арабские астрономы ввели в тригонометрию понятие тангенса икотангенса. Насирэддин Туси (1201–1274) в Трактате о полном четырехугольникесистематически изложил плоскую и сферическую геометрии и первым рассмотрелтригонометрию отдельно от астрономии.

Средние Века и Возрождение

/>Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставилазаметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практическихпроблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (около400–1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине:интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии изагробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики ипростых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики вСредние века считалась астрология; астрологов называли математиками. Апоскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологическихпоказаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, какстать математиками.

Около1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоениясохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока.Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получилаобширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовалподъему математических исследований. Все великие ученые того временипризнавали, что черпали вдохновение в трудах греков.

Первымзаслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский(Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев синдо – арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. Втечение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла.Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, несодержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.

/>Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождениябыли художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии сосходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404–1472)ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателяк различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается припрохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выгляделареалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сеченияпорождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическимисвойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различныхсечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями,пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возниклапроективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг (1593–1662) с помощьюдоказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход кразличным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлонийрассматривал отдельно.

Древняя Русь

Многиеи по сию пору уверены, что в допетровскую эпоху на Руси вообще ничему не учили.Более того, само образование тогда якобы преследовала церковь, требовавшаятолько, чтобы ученики кое-как твердили наизусть молитвы и понемногу разбиралипечатные богослужебные книги. Да и учили, мол, лишь детей поповских, готовя ихк принятию сана. Те же из знати, кто верил в истину «учение — свет...»,поручали образование своих отпрысков выписанным из-за границы иностранцам.Остальные же обретались «во тьме незнания».

Всеэто опровергает Мордовцев. В своих исследованиях он опирался на любопытныйисторический источник, попавший к нему в руки, — «Азбуковник». В предисловии кмонографии, посвященной этой рукописи, автор написал следующее: «В настоящеевремя я имею возможность пользоваться драгоценнейшими памятниками 17 – го века,которые еще нигде не были напечатаны, не упомянуты и которые могут послужить кобъяснению интересных сторон древней русской педагогики. Материалы этизаключаются в пространной рукописи, носящей название «Азбуковника» и вмещающейв себя несколько разных учебников того времени, сочиненных каким-то«первопроходцем», отчасти списанных с других, таких же, изданий, которые озаглавлены,были тем же именем, хотя и различались содержанием и имели различный счетлистов».

Исследоваврукопись, Мордовцев делает первый и важнейший вывод: в Древней Руси училища кактаковые существовали. Впрочем, подтверждает это и более древний документ — книга «Стоглав» (собрание постановлений Стоглавого Собора, проходившего сучастием Ивана IV и представителей Боярской думы в 1550 – 1551 годах). В нейсодержатся разделы, говорящие об образовании. В них, в частности, определено,что училища разрешено содержать лицам духовного звания, если соискатель получитна то разрешение у церковного начальства. Перед тем, как выдать ему таковое,надлежало провести испытания основательности собственных познаний претендента,а от надежных поручителей собрать возможные сведения о его поведении.

Нокак были устроены училища, как управлялись, кто в них обучался? На эти вопросы«Стоглав» ответов не давал. И вот в руки историка попадает несколько рукописных«Азбуковников» — книг весьма любопытных. Несмотря на свое название, это, посути, не учебники (в них нет ни азбуки, ни прописей, ни обучения счету), аскорее руководство для учителя и подробнейшие наставления ученикам. В немпрописан полный распорядок дня школяра, кстати, касающийся не только школы, нои поведения детей за ее пределами.

Из«Азбуковника» мы узнаем очень важный факт: образование в описываемые времена небыло на Руси сословной привилегией. В рукописи, от лица «Мудрости», содержитсяпризыв к родителям разных сословий отдавать отроков для обучения «прехитрой словесности»:«Сего ради присно глаголю и глаголя не престану людям благочестивым вослышание, всякого чина же и сана, славным и худородным, богатым и убогим, дажеи до последних земледельцев». Ограничением к обучению служили лишь нежеланиеродителей либо уж совершеннейшая их бедность, не позволявшая хоть чем-нибудьоплатить учителю за обучение чада.

Нопоследуем за учеником, вошедшим в училище и уже положившим свою шапку на «общуюгрядку», то есть на полку, поклонившимся и образам, и учителю, и всей ученической«дружине». Школяру, пришедшему в школу ранним утром, предстояло провести в нейцелый день, до звона к вечерней службе, который был сигналом и к окончаниюзанятий.

Учениеначиналось с ответа урока, изучавшегося накануне. Когда же урок был всемирассказан, вся «дружина» совершала перед дальнейшими занятиями общую молитву: «Господи,Иисусе Христе, Боже наш, содетелю всякой твари, вразуми мя и научи книжногописания и сим увем хотения Твоя, яко да славлю Тя во веки веков, аминь!». Затемученики подходили к старосте, выдававшему им книги, по которым предстоялоучиться, и рассаживались за общим длинным ученическим столом. Каждый занималместо, указанное ему учителем, соблюдая при этом следующие наставления:

Малиив вас и велицыи все равны,

Ученийже ради вящих местом да будут знатны…

Непотесняй ближнего твоего

Ине называй прозвищем товарища своего…

Теснодруг к другу не сочитайтеся,

Коленямии локтями не присвояйтеся…

Книги,будучи собственностью школы, составляли главную ее ценность. Отношение к книгевнушалось трепетное и уважительное. Требовалось, чтобы ученики, «замкнув книгу»,всегда клали ее печатью кверху и не оставляли в ней «указательных древец»(указок), не слишком разгибали и не листали попусту. Категорически запрещалоськласть книги на лавку, а по окончании учения книги надлежало отдать старосте,который складывал их в назначенное место. И еще один совет – не увлекаться разглядываниемкнижных украшений – «повалок», а стремиться понять написанное в них

Вообщедисциплина в древнерусской школе была крепкая, суровая. Весь день четкорасписан правилами, даже пить воду позволялось только трижды в день, а «радинужды на двор отходити» можно было с разрешения старосты считанные разы

Все«Азбуковники» имели обширный раздел – о наказаниях ленивых, нерадивых истроптивых учеников с описанием самых разнообразных форм и методов воздействия.Не случайно «Азбуковники» начинаются панегириком розге, писанным киноварью напервом листе:

Благослови,Боже, оные леса,

Ижерозги родят на долгие времена…

Ненужно, однако, думать, что ту власть, которой обладал учитель, он употреблялсверх всякой меры – хорошее учение искусной поркой не заменишь. Тому, ктопрославился как мучитель да еще плохо учащий, никто бы не дал своих детей вучение. Врожденная жестокость (если таковая имеется) не проявляется в человекевнезапно, и патологически жестокой личности никто не позволил бы открытьучилище. О том, как следует учить детей, говорилось и в Уложении СтоглавогоСобора, бывшем, по сути, руководством для учителей: «не яростью, нежестокостью, не гневом, но радостным страхом и любовным обычаем, и сладкимпоучением, и ласковым утешением»

Итак,большую часть дня ученики неотлучно находились в школе. Для того чтобы иметьвозможность отдохнуть или отлучиться по необходимым делам, учитель избирал себеиз учеников помощника, называемого старостой. Роль старосты во внутренней жизнитогдашней школы была чрезвычайно важна. После учителя староста был вторымчеловеком в школе, ему даже дозволялось замещать самого учителя. Поэтому выборстаросты и для ученической «дружины», и для учителя было делом важнейшим.«Азбуковник» предписывал выбирать таковых самому учителю из старших учеников, вучебе прилежных и благоприятных душевных качеств. Учителя книга наставляла: «Имейу себя в остерегании их (то есть старост. — В.Я.). Добрейших и искусныхучеников, могущих и без тебе оглашати их (учеников. — В.Я.) пастушеским словом».

Околичестве старост говорится по-разному. Скорее всего, их было трое: одинстароста и два его подручных, поскольку круг обязанностей «избранных» былнеобычайно широк. Они наблюдали за ходом учебы в отсутствие учителя и дажеимели право наказывать виновных за нарушение порядка, установленного в школе.Выслушивали уроки младших школьников, собирали и выдавали книги, следили за ихсохранностью и должным с ними обращением. Ведали «отпуском на двор» и питьемводы. Наконец, распоряжались отоплением, освещением и уборкой школы. Староста иего подручные представляли учителя в его отсутствие, а при нем – доверенныхпомощников.

Всеуправление школой старосты проводили без всякого доносительства учителю. Покрайней мере, так считал Мордовцев, не найдя в «Азбуковниках» ни одной строчки,поощрявшей фискальство и наушничество. Наоборот, учеников всячески приучали ктовариществу, жизни в «дружине». Если же учитель, ища провинившегося, не могточно указать на конкретного ученика, а «дружина» его не выдавала, тогдаобъявлялось наказание всем ученикам, и они скандировали хором:

Внекоторых из нас есть вина,

Котораяне перед многими дньми была,

Виновни,слышав сие, лицом рдятся,

Понежеони нами, смиренными, гордятся.

Частовиновник, дабы не подводить «дружину», снимал порты и сам «восходил на козла»,то есть ложился на лавку, на которой и производилось «задавание лозанов пофилейным частям».

Стоитли говорить, что и учение, и воспитание отроков были тогда проникнуты глубокимпочтением к православной вере. Что смолоду вложено, то и произрастет вовзрослом человеке: «Се бо есть ваше детское, в школе учащихся дело, паче жесовершенных в возрасте». Ученики были обязаны ходить в церковь не только впраздничные и воскресные дни, но и в будни, после окончания занятий в училище.

Вечернийблаговест давал знак к окончанию учения. «Азбуковник» поучает: «Егда отпущеныбудите, вси купно воссташе и книги своя книгохранителю вдаваше, единымвозглашением всем купно и единогласно воспевайте молитву преподобного СимеонаБогоприимца: «Ныне отпущаеши раба Твоего, Владыко» и «Преславная Приснодево».После этого ученики должны были идти к вечерне, учитель же наставлял их, дабы вцеркви вели себя благопристойно, потому что «все знают, что вы учитесь вшколе».

Однакотребования пристойно вести себя не ограничивались только школой или храмом.Училищные правила распространялись и на улицу: «Егда же учитель отпустит вас вподобное время, со всем смирением до дому своего идите: шуток и кощунств,пхания же друг друга, и биения, и резвого бегания, и камневержения, и всякихподобных детских глумлений, да не водворится в вас». Не поощрялось и бесцельноешатание по улицам, особенно возле всяческих «зрелищных заведений», называемыхтогда «позорищами».

Конечноже приведенные правила – более благие пожелания. Нет в природе таких детей, чтоудержались бы от «пхания и резвого бегания», от «камневержения» и похода «напозорище» после того, как они целый день провели в школе. Понимали это встарину и учителя и потому стремились всеми мерами уменьшить времябезнадзорного пребывания учеников на улице, толкающей их к соблазнам и кшалостям. Не только в будние дни, но в воскресные и в праздничные школярыобязаны были приходить в училище. Правда, в праздники уже не учились, а толькоотвечали выученное накануне, читали вслух Евангелие, слушали поучения иразъяснения учителя своего о сути праздника того дня. Потом все вместе шли вцерковь к литургии.

Любопытноотношение к тем ученикам, у которых учение шло плохо. В этом случае«Азбуковник» отнюдь не советует их усиленно пороть или наказывать как – тоиначе, а, наоборот, наставляет: „кто «борзоучащийся», да не возносится надтоварищем «грубоучащимся». Последним настоятельно советовалось молиться,призывая на помощь Бога. А учитель с такими учениками занимался отдельно,говоря им постоянно о пользе молитвы и приводя примеры «от писания»,рассказывая о таких подвижниках благочестия, как Сергий Радонежский и АлександрСвирский, которым учение поначалу совсем не давалось.

Из«Азбуковника» видны подробности учительской жизни, тонкости взаимоотношений сродителями учеников, вносившими учителю по договоренности и по возможностикаждого плату за обучение своих деток – частью натурой, частью деньгами.

Помимошкольных правил и порядков «Азбуковник» рассказывает о том, как послепрохождения первоначального образования ученики приступают к изучению «семи свободныххудожеств». Под коими подразумевались: грамматика, диалектика, риторика, музыка(имелось в виду церковное пение), арифметика и геометрия («геометрией» тогданазывалось «всякое землемерие», включавшее в себя и географию и космогонию),наконец, «последней по счету, но первой действом» в перечне наук, изучавшихсятогда, называлась астрономия (или по-славянски «звездознание»).

Аеще в училищах занимались изучением стихотворного искусства, силлогизмов,изучали целебры, знание которых считалось необходимым для «виршеслогательства»,знакомились с «рифмом» из сочинений Симеона Полоцкого, узнавали стихотворныемеры – «един и десять родов стиха». Учились сочинять двустишия и сентенции,писать приветствия в стихах и в прозе.

Ксожалению, труд Даниила Лукича Мордовцева остался неоконченным, его монографиябыла завершена фразой: «На днях перевели Преосвященного Афанасия в АстраханскуюЕпархию, лишив меня возможности окончательно разобрать интересную рукопись, и потому,не имея под рукой «Азбуковников», и принужден я окончить свою статью тем, на чемостановился. Саратов 1856 год».

Итем не менее уже через год после того, как работа Мордовцева была напечатана вжурнале, его монографию с тем же названием издал Московский университет. ТалантДаниила Лукича Мордовцева и множественность тем, затронутых в источниках,послуживших для написания монографии, сегодня позволяют нам, минимально«домысливая ту жизнь», совершить увлекательное и не без пользы путешествие«против потока времени» в семнадцатый век.

ДаниилЛукич Мордовцев (1830 – 1905), окончив гимназию в Саратове, учился сначала вКазанском, затем в Санкт – Петербургском университете, который окончил в 1854году по историко-филологическому факультету. В Саратове же он началлитературную деятельность. Выпустил несколько исторических монографий,опубликованных в «Русском слове», «Русском вестнике», «Вестнике Европы».Монографии обратили на себя внимание, и Мордовцеву предлагают даже занятькафедру истории в Санкт – Петербургском университете. Не менее был известенДаниил Лукич и как писатель на исторические темы.

Отепископа Саратовского Афанасия Дроздова он получает рукописные тетради XVIIвека, рассказывающие о том, как были организованы училища на Руси

Первыйучебник математики в России был написан в далеком 1703 году ЛеонтиемФилипповичем Магницким. Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная».

Попробуйтерешить всего одну задачку из этого учебника:

“Отецпривел в училище своего сына и спросил учителя:

-Скажимне, сколько у тебя учеников?

Учительответил:

-Еслиучеников придет столько, сколько я уже имею, да еще полстолька, да ещечетвертая часть, да еще твой сын, тогда у меня будет сто.

Сколькоже учеников было в училище?»

Магницкий,Леонтий Филиппович – математик (1669 — 1739). Учился в Московской славяно –Греко – латинской академии; затем самостоятельно изучил математические науки, вобъеме, далеко превосходящем уровень сведений, сообщаемых

врусских арифметических, землемерных и астрономических рукописях XVII столетия.После открытия в Москве (1701) школы «математических и навигацких наук» назначентуда преподавателем арифметики и, по всей вероятности, геометрии итригонометрии. Составил учебную энциклопедию по математике под заглавием «Арифметика,сиречь наука числительная» и т. д. (1703), содержащую пространное изложениеарифметики, важнейшие для практических приложений статьи элементарной алгебры,приложения арифметики и алгебры к геометрии, практическую геометрию, понятия овычислении тригонометрических таблиц и о тригонометрических вычислениях вообщеи необходимейшие начальные сведения из астрономии, геодезии и навигации (ныневыходит новое издание этой Арифметики; выпуск 1, Москва, 1914, с предисловиемП. Баранова). Как учебник, эта книга более полувека употреблялась в школах.Позднее Магницкий участвовал в первом русском издании логарифмических таблиц А.Влакка. Правительство Петра Великого недостаточно ценило заслуги Магницкого иставило его, как преподавателя, ниже его товарищей-англичан, Фарварсона иГвина. Он получал значительно меньшее жалованье, и, когда его товарищи былипереведены в Петербург, в открывшуюся там морскую академию (1715), он остался вМоскве на прежней должности  в школе, занявшей по отношению ко вновь открытойакадемии второстепенное положение (См. Бобынин «Очерки истории развития физико– математических знаний в России» («Физико-математические науки в их настоящеми прошедшем», тома VII и VIII); Галанин «Магницкий и его арифметика» (Москва,1914, 2 – ой выпуск).

Вывод

Исходяиз вышесказанного, можно предположить, что учебники математики, такие, какие мыпривыкли видеть сейчас, появились сравнительно недавно. Причиной тому являетсянезаинтересованность самого населения в изучении наук. После некоторыхтехнических открытий и изменения условий жизни, учение стало первойнеобходимостью, без которого человек практически не мог существовать.

Какмы видим, первый учебник по математике в Росси появился вначале XVIII века. То есть каждый человек уже мог, хотя бысамостоятельно, но изучать эту науку.  

ВДревней Греции тоже существовали школы, а значит, дети уже тогда могли изучатьматематику. Но, так как в то время существовал рабовладельческий строй, поэтомуэто было доступно только избранным.

В17, 18 веках возникла потребность не только в рабочей силе, но и вподготовленных, ученых людях. Благодаря этому пришлось вводить такой термин,как образование.  

Сегодняшниеучебники сильно изменились по сравнению с учебными пособиями того времени. Книгистали не источником информации собранной в кучу, а методически распределеннымпособием, в котором все грамотно продуманно с таким расчетом, чтобы ученик непросто запомнил формулы и теоремы, а мог самостоятельно, без чьей-то помощи,начав курс математики с простейшего вычисление, через какое-то время применитьсвои знания к более сложным задачам.

Но,если взглянуть на ход истории, то станет понятно, что человечество не должноостановиться на этом. С каждым днем наша жизнь становится все более зависимойот чисел, что требует от нас наивысшей точности, а ошибки становятсянедопустимыми. Следовательно, должны появится новые, более современные методыобучения.

Ссылаясьна то, что компьютер стал помощником человека почти во всех отраслях, можнопредположить, что именно он и заменит книги, и обучение будет вестисьисключительно с использованием компьютерных программ.

Естественново всех методах есть свои плюсы и минусы. Мы решили выяснить, какиепреимущества имеет компьютер перед учебником. Для этого мы опросили некотороеколичество людей и задали им следующие вопросы:

Как,по вашему мнению, изменятся учебники математики в будущем?

Учебникизаменят компьютерные программы – 54%

Учебникибудут намного сложнее – 32%

Учебникибудут более тонкими, т.к. в них будет содержаться только самая необходимаяинформация – 10%

Учебникибудут написаны на более доступном для учеников языке – 4%

Смогутли компьютеры заменить учебники?

Да,смогут – 82%

Нет,не смогут – 18%

Какбы вы хотели изучать математику?

Поучебникам – 33%

Спомощью компьютерных программ – 67%

Намибыло опрошено 50 учеников нашей школы, с 8 по 11 класс. 

Послепроведенного нами опроса, нам стало ясно, что будущее все же за новейшимитехнологиями. Хоть, на данный момент, компьютеры и уступают учебникам вудобстве и простоте обучение, но стремительное развитие технического иинформационного прогресса позволяет полагать, что это остается лишь вопросомвремени…

Список литературы

КудрявскийД.Н. Грихьясутры как источник для истории индоевропейской бытовой культуры. – Вкн.: Живая старина, т. 6, вып. 1, 1896

КудрявскийД.Н. Прием почетного гостя по древнеиндийским правилам домашнего ритуала. –Журн. Мин-ва нар. просвещения, 1896, ч. 305, № 5, отд. 2

КудрявскийД.Н. Исследования в области древне-индийских домашних обрядов. Юрьев, 1904

СеменцовВ.С. Проблемы интерпретации брахманической прозы. Ритуальный символизм. М.,1981

ПандейР.Б. Древнеиндийские домашние обряды. М., 1982

«Домашниеобряды». Ашвалаяна-грихьясутра. – В кн.: История и культура древней Индии:Тексты. М., 1990

Ван-дер-ВарденБ.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.,1959

ЮшкевичА.П. История математики в средние века. М., 1961

Даан-ДальмедикоА., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986

КлейнФ. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М., 1989

РыбниковК.А. История математики 1917г. М., 1974

ЮшкевичА.П. История математики в России до 1917г. М., 1968

еще рефераты
Еще работы по математике