Реферат: Поверхности второго порядка
§ 1. Понятие поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка — геометрическое местоточек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11х2 + а22у2+ a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1)
в котором по крайней мере одиниз коэффициентов a11, а22, a33,a12, a23, a13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называтьобщим уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второгопорядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от даннойдекартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системекоординат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное послепреобразования координат, алгебраически эквивалентны.
/>
1. Инварианты уравненияповерхности второго порядка.
Справедливо следующееутверждение.
являются инвариантами уравнения(1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системыкоординат.
Доказательство этого утвержденияприведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
1. Классификация центральныхповерхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесемначало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартноеупрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнениеповерхности примет вид
a11х2 + а22у2+ a33z2 + а44 =0 (2)
Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличенот ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2), равно a11 • а22 • a33, то коэффициенты a11, а22, a33 удовлетворяют условию :
/> <td/> />Возможны следующие случаи:
1. Коэффициенты a11, а22, a33 одного знака, а коэффициент а44отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11, а22, a33, а44 одного знака,то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е.уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этомслучае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.
Если знак коэффициентов a11, а22, a33 противоположен знакукоэффициента а44, то поверхность S называется вещественнымэллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишьвещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоидазаписывают в канонической форме. Очевидно, числа
/>
положительны. Обозначим этичисла соответственно а2, b2, с2. Посленесложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующейформе:
/>
Уравнение (3) называетсяканоническим уравнением эллипсоида.
Если эллипсоид задан своимканоническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.
2. Из четырех коэффициентов a11, а22, a33, а44 два одногознака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называетсяоднополостным гиперболоидом.
Обычно уравнение однополостногогиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0.Тогда числа
/>
положительны. Обозначим этичисла соответственно а2, b2, с2. Посленесложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можнозаписать в следующей форме:
/>
Уравнение (4) называетсяканоническим уравнением однополостного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоидзадан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
3. Знак одного из первых трехкоэффициентов a11, а22, a33, а44 противоположензнаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называетсядвуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостногогиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0.Тогда:
/>
Обозначим эти числасоответственно через a2, b2, с2. Поcлинесложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можнозаписать в следующей форме:
/>
Уравнение (5) называетсяканоническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Если двуполостный гиперболоидзадан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главнымиосями.
4. Коэффициент а44равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.
Если коэффициенты a11, а22, a33 одного знака, то левая часть(2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнениюповерхности Sудовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность Sназывается мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11, а22, a33 имеют разные знаки, топоверхность S является вещественным конусом второго порядка.
Обычно уравнение вещественногоконуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, радиопределенности,
a11 > o, а22 >0, a33 < 0. Обозначим
/>
соответственно через а2,b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде
/>
Уравнение (6) называется каноническимуравнением вещественного конуса второго порядка.
2. Классификация нецентральныхповерхностей второго порядка.
Пусть S — нецентральнаяповерхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I3 равен нулю. Произведемстандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнениеповерхности примет вид
a´11х´2+ а´22у´2 + a´33z´2 +2а´14 x´ + 2а´24у´+2а´34z´ +а´44 =0 (7)
для системы координат Ox´y´z´
Так как инвариант I3 = 0 и его значение, вычисленноедля уравнения (7), равно
a´11 • а´22• a´33, то одинили два из коэффициентов a´11, а´22, a´33 равны нулю. В соответствиис этим рассмотрим следующие возможные случаи.
/>
1. Один из коэффициентов a´11, а´22, a´33 равеннулю. Ради определенности будем считать, что a´33 = 0 (если равен нулюкакой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемомуслучаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' кновым координатам х, у, z по формулам
Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левуючасть (7) и заменяя затем
a´11 на a11, а´22 на а22, а´34 на p и а´44 на q, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :
a11х2 + а22у2+ 2pz + q = 0 (9)
/> <td/> />1) Пусть р = 0, q = 0.Поверхность S распадаетсяна пару плоскостей
При этом, очевидно, этиплоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22 одинаковы, и вещественными, если знакиa11 и а22 различны.
2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9)принимает вид
a11х2 + а22у2+ q = 0 (10)
Известно, что уравнение (10)является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом еслиa11, а22, q имеют одинаковый знак, то леваячасть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если жесреди коэффициентов a11, а22, q имеются коэффициенты разныхзнаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a11 и а22 имеют одинаковыезнаки, a q — противоположный, то величины положительны.
/>
Обозначая их соответственночерез а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к виду
/>
Таким образом, в отмеченномслучае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a11 и а22 имеют различныезнаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнениегиперболического цилиндра может быть приведено к виду
/>
3) Пусть р≠0. Произведемпараллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке скоординатами
/>
(0, 0, ).
При этом оставим старыеобозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнениеповерхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)
/>
Получим следующее уравнение:
a11х2 + а22у2+ 2pz = 0 (13)
Уравнение (13) определяет такназываемые параболоиды. Причем если a11 и а22 имеют одинаковый знак, то параболоидназывается эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоидазаписывают в канонической форме:
/>
Уравнение (14) легко получаетсяиз (13). Если a11 и а22 имеют разныезнаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнениегиперболического параболоида имеет вид
/>
Это уравнение также легко можетбыть получено из (13).
Ä 2°. Два из коэффициентов a´11, а´22, a´33 равнынулю. Ради определенности будем считать, что a´11 = 0 и а´22= 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :
/>
Подставляя х', у' и z',найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´33 на a33 , a´14 на р, a´24 на q и a´44 на r,получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :
a33 z2+ 2px + 2qy + r = 0 (17)
/>
1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельныхплоскостей
При этом, очевидно, этиплоскости будут мнимыми, если знаки a33 и r одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются водну.
2) Хотя бы один из коэффициентовр или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсциссстала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условиисохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17)примет вид
a33 z2 + 2q´y = 0 (19)
которое является уравнениемпараболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.
§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядкапо их каноническим уравнениям
/>
1. Эллипсоид.
Из уравнения (3) вытекает, чтокоординатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а началокоординат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида ипредставляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересеченияэллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельнымикакой-либо из координатных плоскостей.
Ради определенности рассмотримлинии Lh пересечения эллипсоида сплоскостями
z = h (20)
параллельными плоскости Оху.Уравнение проекции L*h линии Lh на плоскость Оху получается изуравнения (3), если положить в нем z = h. Таким образом, уравнение этойпроекции имеет вид
/>
/>
Если положить
то уравнение (21) можнозаписать в виде
/>
т. е. L*h представляет собой эллипс сполуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как Lh получается «подъемом» L*h<sub/>на высоту h по оси Оz (см. (20)), то и Lh представляет собой эллипс.
Представление об эллипсоидеможно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов(23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят от h (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдимотметкой h, указывающей, на какую высотупо оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мы получим своего рода «карту»эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный видэллипсоида.
(Метод представления формыфигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида,представить форму других фигур этим методом можно аналогично)
Наглядное изображение эллипсоиданаходится на следующей странице.
Эллипсоид.
/> <td/> />2. Гиперболоиды.
1. Однополостный гиперболоид.Обратимся к каноническому уравнению (4) однополостного гиперболоида
/>
Из уравнения (4) вытекает, чтокоординатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат —центром симметрии однополостного гиперболоида.
/>2. Двуполостный гиперболоид.
Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются егоплоскостями симметрии, а начало координат — его центром симметрии.
/>
3. Параболоиды.
1. Эллиптический параболоид.Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида
/>
мы видим, что для него Oxz и Оуz являются плоскостямисимметрии. Ось Oz,представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осьюэллиптического параболоида.
/>
/>2.Гиперболический параболоид. Из канонического уравнения (15) гиперболическогопараболоида вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии.Ось Oz называется осьюгиперболического пaраболоида.
Прим.: получение «карты высот»для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенныхповерхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.
Линии z=h пересечения гиперболического параболоида плоскостями z=h представляют собой при h>0 гиперболы
/>
с полуосями
/>
/>а при h < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)
/> <td/> />с полуосями
/>
/>
Используя формулы (24)—(27),легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболическийпараболоид по двум прямым :
Из формул (25) и (27) вытекает,что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболическогопараболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случаеэллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболическийпараболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы,представляющей собой сечение плоскостью Oxz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы,являющейся сечением параболоида плоскостью Oyz (Oxz).
Прим.: Изображениегиперболического пaраболоидадано на следующей странице.
/>
Гиперболический параболоид.
4. Конус и цилиндры второгопорядка.
/>Ä 1°. Конус второго порядка
Убедимся, что вещественный конусS образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественноназывать точку О вершиной конуса.
Для доказательствасформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную,отличную от начала координат точку
М0(х0, у0,z0) конуса (6) и начало координатО, целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки Мпрямой L удовлетворяют уравнению (6).
/>Так как точка М0(х0,у0, z0) лежит на конусе (6), то :
/> <td/> />Координаты (х, у, z) любойточки М прямой L равны соответственно tx0, ty0, tz0, где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х,у и z в левую часть (6), вынося затемt2 за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит наконусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса можетбыть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостямиz = h представляют собой эллипсы сполуосями:
Ä 2°. Эллиптический цилиндр.
/>
Состоит из прямых линий,параллельных оси Oz.
/>3.Гиперболический цилиндр.
/>
Состоит из прямых линий,параллельных оси Oz.
4. Параболический цилиндр.
a33 z2 + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осейкоординат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получимновое, компактное уравнение параболического цилиндра.
/>
Список литературы.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк«Аналитическая геометрия»
/>