Реферат: Содержание и значение математической символики

Курсовая работа

Выполнила студентка факультета математики 4 курс 4группа Клочанова Ольга Михайловна

Российский государственный педагогический университетим. А.И. Герцена

Санкт-Петербург

2002

Введение.

Историянауки показывает, что логическая структура и рост каждой математической теории,начиная с определенного этапа ее развития, становятся все в большую зависимостьот использования математической символики и ее усовершенствования.

Когдаиндийцы в V веке н. э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную системусчисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления,превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используютсотни миллионов людей. Алгебра и аналитическая геометрия обязаны многим тому,что Виет и Декарт разработали основы алгебраического исчисления. ВведенныеЛейбницем обозначения производной и интеграла помогли развить дифференциальноеи интегральное исчисление; задачи на вычисление площадей, объемов, работы силыи т. п., решение которых раньше было доступно только первоклассным математикам,стали решаться почти автоматически. Благодаря этому обозначения Лейбница получилиширокое распространение и проникли во все разделы науки, где используетсяматематический анализ.

Примерс обозначением производной и интеграла особенно ярко подтверждает правильностьзамечания Л. Карно, что в математике «символы не являются только записью мысли,средством ее изображения и закрепления, – нет, они воздействуют на самую мысль,они, до известной степени, направляют ее, и бывает достаточно переместить их набумаге, согласно известным очень простым правилам, для того, чтобы безошибочнодостигнуть новых истин».

Вчем заключено объективное содержание математической символики? Чем объясняетсязначение символики в математике?

Математическиезнаки служат в первую очередь для точной (однозначно определенной) записиматематических понятий и предложений. Их совокупность – в реальных условиях ихприменения математиками – составляет то, что называется математическим языком.

Использованиезнаков позволяет формулировать законы алгебры, а также и других математическихтеорий в общем виде. Примером могут послужить формулы той же алгебры: (a+b)2 = a2+ 2ab + b2

 х1,2=/> ит.п.

Математическиезнаки позволяют записывать в компактной и легкообозримой форме предложения, выражениекоторых на обычном языке было бы крайне громоздким. Это способствует болееглубокому осознанию их содержания, облегчает его запоминание.

Математическиезнаки используются в математике эффективно и без ошибок, когда они выражаютточно определенные понятия, относящиеся к объектам изучения математическихтеорий. Поэтому, прежде чем использовать в рассуждениях и в записях те или иныезнаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. В противномслучае его могут не понять.

Всвязи со сказанным необходимо подчеркнуть следующее. Математики не всегда могутсказать сразу, что отражает тот или иной символ, введенный ими для развитиякакой-либо математической теории, средствами которой можно решать практическиважные задачи. Сотни лет математики оперировали отрицательными и комплекснымичислами и получали с их помощью первоклассные результаты. Однако объективныйсмысл этих чисел и действий с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и вначале XIX века. Лейбниц ввел символы dx и dy, развил дифференциальное исчисление и с помощью правилпоследнего показал исключительную оперативную силу этих символов. ОднакоЛейбниц не выявил объективного смысла знаков dx и dy; это сделали математикиXIX века.

Знакии системы знаков играют в математике роль, весьма сходную с той, какая в болеешироких сферах познания и практической деятельности людей принадлежит обычномуразговорному языку. Подобно обычному языку, язык математических знаковпозволяет обмениваться установленными математическими истинами, налаживать контактученых в совместной научной работе.

Решающим,однако, является то, что язык математических знаков без обычного языкасуществовать не может. Обычный (естественный) язык содержательнее языкаматематических знаков; он необходим для построения и развития языкаматематических знаков. Язык математических знаков только вспомогательноесредство, присоединяемое к обычному языку и используемое в математике и вобластях, где применяются ее методы.

Возможностьиспользования языка знаков в математике обусловлена особенностями предмета ееисследований – тем, что она изучает формы и отношения объектов реального мира,в известных границах безразличные к их материальному содержанию. Существеннапри этом и специфика математических доказательств. Математическое доказательствосостоит в построении цепи высказываний, начальным звеном которой являютсяистинные исходные предложения, конечным – доказываемое утверждение.Промежуточные звенья цепи получаются в конечном счете из начального исоединяются с ним и конечным звеном с помощью законов логики и правиллогического вывода. Если исходные утверждения записаны в символической форме,то доказательство сводится к их «механическим» видоизменениям.

Целесообразность,а в наше время и необходимость – использования языка знаков в математикеобусловлена тем, что при его помощи можно не только кратко и ясно записыватьпонятия и предложения математических теорий, но и развивать в них исчисления иалгоритмы – самое главное для разработки методов математики и ее приложений.Достичь этого при помощи обычного языка если и возможно, то только в принципе,но не в практике.

Достаточнаяоперативность символики математической теории существенно зависит от полнотысимволики. Это требование состоит в том, что символика должна содержатьобозначения всех объектов, их отношений и связей, необходимые для разработкиалгоритмов теории, позволяющих решать любые задачи из классов однотипных задач,рассматриваемых в этой теории.

Оперированиематематическими знаками есть идеализированный эксперимент: он в чистом видеописывает то, что имеет место или может быть (приближенно или точно)реализовано в действительности. Только поэтому оперирование математическимизнаками способно служить открытию новых математических истин.

Решающейсилой развития математической символики является не «свободная воля»математиков, а требования практики математических исследований. Именно реальныематематические исследования помогают математикам в конце концов выяснить, какаясистема знаков наилучшим образом отображает структуру рассматриваемыхколичественных отношений, в силу чего может быть эффективным орудием ихдальнейшего изучения.

§1. Введение нуля и развитие позиционнойдесятичной системы счисления.

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так жестаро, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранниеэтапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считатьили придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным,интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека идвух людей или двух и многих людей.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи,появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числаобъектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовыезаписи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в рядкамешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементамимножества и символами числовой записи существует взаимно однозначноесоответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чиселнепосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаемсовокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаютсяна взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этойграницей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализлибо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет набирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобныхслучаях: зарубки на бирках располагались определенными группами. Очень широкобыл распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторыхчисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важнаяособенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемойсчета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполнеопределенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной,означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять какколлективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками,потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и наногах.

Системасчисления, которой мы в основном пользуемся сегодня, десятичная позиционная.Десятичная, так как ее основание 10. Основаниемпозиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число,которое равно количеству цифр, используемых для изображениячисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяетсяколичественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Впозиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифрызависит от ее места (позиции) в записи числа

Десятичнаясистема характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуютединицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различныхразрядов представляют собой различные степени числа 10.

 Десятичнойпозиционной предшествовали другие, основанные на различных принципах, системысчисления. Так примером непозиционной системы (то есть такой системы, гдеколичественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места,позиции) в записи числа) может служить нумерация, используемая древнимигреками. Эта система относится к числу алфавитных. Первыми восемью буквамигреческого алфавита (с добавлением «архаичной» буквы />=вау, имевшей значение 6обозначались числа от единицы до девяти, следующими восемью с добавлением />=коппы, имевшейзначение 90, — десятки от 10 до 90, следующими восемью с добавлением />=сампи,означавшей 900, — сотни от 100 до 900, наконец, тысячи от 1000 до 9000обозначались так же, как единицы, но со штрихом внизу: ,a означала 1000. Для того чтобы отличать числа от слов, над нимиставилась черточка. Так, число 1305 греки записывали ,/>. От греческой нумерацииведет свое происхождение древнерусская. Пример другой непозиционной системыдает употребляемая поныне римская нумерация.

Мыпользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страницкниги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях ит. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: I=1; V=5; X=10; L=50;С=100; D=500; M=1000.

Опроисхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V моглапервоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться издвух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для500 (или наоборот).

Всецелые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр.При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если жеменьшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), томеньшая вычитается из большей. Например, VI=6, т.е. 5+1, IV=4, т.е. 5-1, XL=40,т е. 50-10, LX=60, т.е. 50+10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трехраз: LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые12 чисел записываются в римских цифрах так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Примеры:XXVIII=28; ХХХIХ=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.

Выполнениеарифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно.Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в другихстранах Западной Европы — до 16 века.

Древние египтяне использовали десятичную непозиционнуюсистему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а дляобозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее числовертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать,вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Дляобозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальныхчерт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подковуили крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков,т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса.Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем,десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркойудивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа домиллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений ужевведенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бызаписать как

/>

Самые древние из дошедших до нас математических записейвысечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетскойматематической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком инедолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, илиегипетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирусГоленищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений одревнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнееиероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и этоизменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел.Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой илизнаком, например, девять записывалось как /> вместо />, а семьсот как /> вместо />. В этой записи число 6789имело вид />,причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало одиниз важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможностьсущественно сократить записи.

Основныенедостатки непозиционных систем нумерации — трудности с изображениемпроизвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционныхсистемах, процесс вычислений. (Последнее, правда, облегчалось употреблениемсчетных досок – абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь дляконечного результата).

Крупнымшагом вперед, оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики былосоздание позиционных систем счисления. Первой такой системой стала вавилонскаяшестидесятеричная система счисления, в которой появился знак />, указывающий наотсутствие разряда, выполняющего роль нашего нуля. Концевой нуль, которыйпозволял различать, например, обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал.Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной угреческих астрономов. К. Птолемей (II в. н.э.) привычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначенияотсутствующих разрядов как в середине, так и в конце числа (0, омикрон – перваябуква греческого слова ovden-ничто). О вавилонскойшестидесятеричной системе нам напоминает деление часа на 60 минут и минуты на60 секунд, а также деление угла равного четырем прямым, на 360 градусов.Неудобство шестидесятеричной системы счисления в сравнении с десятичной –необходимость большого количества знаков для обозначения индивидуальных цифр(от 0 до 59), более громоздкая таблица умножения.

Созданиедесятичной позиционной системы счисления, одного из выдающихся достиженийсредневековой науки, — заслуга индийских математиков. Позиционные десятичныезаписи чисел встречаются в Индии с VI в. Так, вдарственной записи 595 года встречается запись числа 346 цифрами брахми º/>/>(º-3,/>-4, />-6). Первуюдостоверную запись нуля в виде кружочка мы находим в изображении числа 270 внастенной записи из Гвалиора, относящейся к 876г. Иногда ноль обозначалсяточкой. Неясно, был ли нуль собственным изобретением индийцев; возможно, онипознакомились с ним по сочинениям александрийских астрономов.

Воткакова эволюция написания индийских цифр.

/>

§2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры.

2.1 Развитие алгебры до Ф. Виета.

2.1.1 Алгебра греков.

Считается,что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре — увавилонян.

Вдревнейших египетских источниках папирусе Райнда и Московском папирусе — находим задачи на «аха» (термин «аха» означает «куча», «груда»). Имеется в видунекоторое количество, неизвестная величина, подлежащая определению)соответствующие современным линейным уравнениям, а также квадратным вида ах2= b. В вавилонских клинописных текстах имеется большоечисло задач, решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней,которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстахрешаются задачи, приводящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах2 — bх = с или х2 — рх = q.В задачах на «аха» можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решенииуравнений.

Ноесли вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели числовым путем решатьзадачи, связанные с уравнениями первой и второй степеней, то развитие алгебры втрудах Евклида (365 — ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда (287-212 гг. до н. э.) иАполлония (ок. 260-170 гг. до н. э.) носило совершенно иной характер: грекиоперировали отрезками, площадями, объемами, а не числами. Их алгебра строиласьна основе геометрии и выросла из проблем геометрии. В XIX в. совокупностьприемов древних получила название геометрической алгебры.

Вкачестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х2+ ax = b2.

Античныематематики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, какпоказано на рисунке.

 />

 Назаданном отрезке АВ (равном a) строили прямоугольник AM со сторонами (а + х) и x, равновеликий данному квадрату (b2),таким образом, чтобы избыточная над прямоугольником AL(равная ах) площадь ВМ была квадратом, по площади равным х2. Сторонаэтого квадрата и давала искомую величину х. Такое построение называлигиперболическим приложением площади.

Далее,полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MG, равныйпрямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник AM будетразностью квадратов DF и LF.Эта разность и квадрат LF известны, поэтому по теоремеПифагора можно получить квадрат DF. После этого находили величину DC (равную ½a+ x) и DB (равную х).

Геометрическоепостроение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого всовременных обозначениях решается уравнение указанного типа:

b2 = ax + х2 = />– />

Конечноже, при таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений:отрицательные числа появились в математике значительно позже.

Спомощью геометрии древним удавалось также доказывать многие алгебраическиетождества. Но каковы эти доказательства! Они безупречны в отношении логики ислишком громоздки. Вот как формулирует Евклид теорему, выражающую тождество (а+ b)2 = a2+ 2аb + b2. Еслиотрезок (ab) разделен в точке (g)на два отрезка, то квадрат, построенный на (ab), равен двум квадратам на отрезках (ag, gb) вместе с удвоенным прямоугольником на (ag, gb).

Естественно,связывая число с геометрическим образом (линией, поверхностью, телом), древниеоперировали только однородными величинами; так, равенство было возможно длявеличин одинакового измерения.

Такоепостроение математики позволило античным ученым достигнуть существенныхрезультатов в обосновании теорем и правил алгебры, но в дальнейшем оно сталосковывать развитие науки.

Приведенныепримеры могут создать ощущение, что математика древних греков примитивна. Ноэто не так: созданная ими математика по своему идейному содержанию глубока ипитала идеями и методами математику вплоть до XVII в. — века научной революции;многие идеи древних получили дальнейшее развитие в новой математике, созданнойусилиями выдающихся умов XVI—XVII вв.

Накопленныев странах Древнего Востока знания состояли из набора разрозненныхматематических фактов, рецептур для решения некоторых конкретных задач и немогли обладать достаточной строгостью и достоверностью. Создание основматематики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе,выпало на долю греков и относится к VI—V вв. до н. э. С этого времени началаразвиваться дедуктивная математика, построенная на строгих логическихдоказательствах.

2.1.2 Алгебра Диофанта.

Новыйподъем античной математики относится к III в. н. э., он связан с творчествомвеликого математика Диофанта. Диофант возродил и развил числовую алгебрувавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовалисьгреки.

У Диофанта впервые появляется буквеннаясимволика. Он ввел обозначения: неизвестной z,квадрата d/>),куба c/>,четвертой dd/> (квадратоквадрат),пятой dc/> (квадратокуб) и шестойстепеней ее, а также первых шести отрицательных степеней, т. е. рассматривал,величины, записываемые нами в виде x6, x5, x4, x3, x2, x, x-1, x-2,x-3, x-4,x-5, x-6.Диофант применял знак равенства (символ i)и знак /> дляобозначения вычитания.

Диофантсформулировал правила алгебраических опeраций состепенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней снатуральными показателями (для m + n /> 6), иправила знаков при умножении. Это дало возможность компактно записыватьмногочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указалтакже правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его собратными заиками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частяхуравнения.

«Арифметика»посвящена проблеме решения неопределенных уравнений. И хотя Диофант считаетчисло собранием (а это означает, что рассматриваются только натуральные числа),при решении неопределенных уравнений он не ограничивается натуральными числами,а отыскивает и положительные рациональные решения.

Неопределеннымиуравнениями до Диофанта занимались математики школы Пифагора в связи спифагоровой теоремой. Они искали тройки целых положительных чисел,удовлетворяющих уравнению x2 + y2 = z2.

Диофантпоставил задачу установить разрешимость (в рациональных числах) и в случаеразрешимости найти рациональные решения уравнения F (х,у) = 0, где левая часть – многочлен с целыми или рациональными коэффициентами.Он исследовал неопределенные уравнения второй, третьей и четвертой степеней исистемы неопределенных уравнений.

Вовторой книге «Арифметики» он так исследует, например, уравнение второго порядкаF (х, у) = 0.

Этоуравнение задает коническое сечение. Всякому рациональному решению уравнениясоответствует точка кривой с рациональными координатами. Пусть a, b – такиекоординаты, т. е. F (a, b) = 0.

Диофантделает подстановку у = b + k (х – а), или y = b + kt, х= а + t.

ТогдаF (а + t, b + kt) = F (a, b) + tA (а, b) + ktB (а, b) + t2C (a, b, k) = 0.

НоF (a, b) = 0, поэтому t = –/>.

Этоозначает, что каждому рациональному значению параметра k соответствуетрациональное же значение t, а значит, рациональная точка кривой. Очевиденгеометрический смысл решения: через рациональную точку кривой (a, b) проводится прямая y – b =k (x – a) и находятся вторая точка еепересечения с кривой.

 МетодыДиофанта впоследствии применяли и развивали арабские ученые, Виет (1540—1603),Ферма, Эйлер (1707—1783), Якоби (1804—1851), Пуанкаре (1854—1912).

Оцениваятворчество Диофанта, Цейтен отмечает существенную деталь: «Наконец, мы желаемздесь вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочинениямиДиофанта. Благодаря тому, что определенные уравнения первой и второй степенибыли облечены у него в численную оболочку они оказались гораздо болеедоступными для людей, не посвященных еще в культуру греческой математики; болеедоступными, чем те абстрактные геометрические формы, которые принимают уЕвклида уравнения второй степени и которые мы встречаем в сохранившихся до наструдах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней. ПоэтомуДиофант и явился главным посредником в процессе усвоения греческой алгебрыарабами, благодаря которым, в свою очередь она проникла в Европу в эпохувозрождения наук».

2.1.3 Алгебра индусов.

Начинаяс V в. центр математической культуры переместился на восток — к индусам иарабам. Математика индусов резко отличалась от математики греков она былачисловой. Индусы не были озабочены строгостью эллинов в доказательствах иобосновании геометрии. Они довольствовались чертежами, на которых у грековосновывалось доказательство, сопровождая их указанием: «Смотри!».Предполагается, что благодаря числовым выкладкам и практическому эмпиризмуиндусам удалось постичь теоремы и методы греков, теоретического обоснованиякоторых они, возможно, по-настоящему не понимали.

Основныедостижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемыенами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственностькорней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввелиотрицательные числа.

Индусырассматривали числа безотносительно к геометрии. В этом их алгебра имеетсходство с алгеброй Диофанта. Они распространили правила действия надрациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственныевыкладки, а не прибегая к построениям, как это делали греки. Например, им былоизвестно, что

/>

Греки,не знавшие отрицательных чисел, решая уравнения, преобразовывали их так, чтобыобе части уравнения при значении неизвестной, удовлетворяющей этому уравнению,были положительными. Если этого не происходило, то менялись условия задачи.Индусы в аналогичных ситуациях не были стеснены в своих действиях: они либоотбрасывали получающиеся отрицательные решения, либо интерпретировали их какдолг, задолженность. Отсюда сделан был естественный шаг к установлению правилдействий над величинами при любом выборе знаков этих величин, а также квыявлению наличия двух корней у квадратных уравнений и двузначности квадратногокорня.

Индусамибыл сделан шаг вперед по сравнению с Диофантом и в совершенствованииалгебраической символики: они ввели обозначения нескольких различныхнеизвестных и их степеней, которые были, как у Диофанта, по сути деласокращениями слов. Кроме того, они искали решения неопределенных уравнений не врациональных, а в целых числах.

2.1.4 Алгебра арабов.

Дальнейшееразвитие математика получила у арабов, завоевавших в VII в. Переднюю Азию,Северную Африку и Испанию. Создались благоприятные условия для слияния двухкультур – восточной и западной, для усвоения арабами богатого математическогонаследия эллинов и индусской арифметики и алгебры.

Ноеще до того как началось усиленное изучение арабами трудов древних математиков,в 820 г., вышел трактат по алгебре «Краткая книга об исчислении ал-джабра иал-мукабалы» Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т. е. из Хорезма, 787 – ок. 850г.н. э.), где давались числовое и геометрическое решения уравнений первой и второйстепеней.

 Названиетрактата соответствует операциям при решении уравнений: «ал-джабр»(восстанавливать) означает восстановление отрицательного члена в одной частиуравнения в виде положительного в другой. Например, преобразовав уравнение

2х2+ Зх -2 = 2х к виду 2х2 + Зх = 2х + 2, мы произвели операциюал-джабр.

 «Ал-мукабала»означает сопоставление подобных членов, приведение их к одному; в нашемуравнении подобные члены Зх и 2х, поэтому получим 2x2+ x = 2.

Модификацияслова ал-джабр породила более позднее алгебра. Аналогично, слово алгорифм(алгоритм) произошло от ал-Хорезми.

Основноевнимание в трактате ал-Хорезми обращает на решение уравнений вида

ax2 = bx, ax2 = c, ax2+ bx = c, ax2+ c = bx, bx+ c = ax2, bx = c,

которыеформулирует словесно, например, так: «квадраты и корни равны числу» (ах2+ bх = с). Он высказывает правила, дающие толькоположительные решения уравнений, определяет условия, при которых эти решениясуществуют. Обоснование правил ал-Хорезми дает в духе геометрической алгебрыдревних.

Отарабов Европа получила следующий способ решения уравнения

х2+ ах = b.

/>

Построимквадрат х2, к его сторонам приложим четырехугольники длины х + 2а/4= х + а/2 и ширины а/4. Тогда площадь полученного квадрата />= x2+ ax + />.

Значит,x2 + ax + /> = />= b +/>, />=b + />.

Величиныb и а известны, поэтому можно построить />, откуда х + />= />-/>. Впрочем, ал-Хорезми,приведший в своем сочинении этот метод, уравнению ах2 + с = bх приписывал два корня.

Втрактате приведены некоторые сведения о действиях над алгебраическимивыражениями, примеры решения треугольников много задач о разделе наследстваприводящих к уравнениям первой степени. Таким образом, трактат ал-Хорезми несодержал ничего нового по сравнению с тем, что было у греческих авторов ииндусов, но он заслуживает внимания потому, что в течение длительного временибыл руководством, по которому велось обучение в Европе.

2.1.5 Развитие алгебры в Европе.

Каковоже было состояние математики в это время в Европе. Об этом наука располагаеткрайне скудными сведениями.

ВXII – XIII вв. в Европеинтенсивно переводились в арабского языка как труды самих арабов, так и работыдревних греков, переведенные на арабский язык.

Первымевропейским математиком, которому удалось осветить многие вопросы и внести вматематику свой вклад, был Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1180–1240),написавший «Книгу абака». В ней рассмотрены различные задачи, указаны методы ихрешения, причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены снебывалой до этого времени точностью и полнотой.

Существозадачи Леонардо излагает словесно; неизвестную он называет res(вещь) или radix (корень); квадрат неизвестной – census (имущество) или quadratus(квадрат); данное число – numerus. Все это латинскиепероводы соответствующих латинских слов.

СовременникЛеонардо, Иордан Неморарий (XIII в), употреблялбуквенные обозначения более систематично и решал задачи с применением линейныхи квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал ихчисловыми примерами.

Французскийепископ Николь Орем (1323-1382) рассматривал «дробно – рациональные отношения»,соответствующе современным степеням a½,a¼, a3/2и т.д., сформулировал правила операций с этими отношениями типа />,    />,         />,               />,            />

Оремвплотную подошел к понятию иррационального показателя. Он доказал расходимостьгармонического ряда 1 + />+/>+/>+…

Выдающимсяалгебраистом своего времени стал монах-францисканец Лука Пачоли (ок. 1445 –ок.1514) близкий друг Леонардо да Винчи, работавший профессором Математики вуниверситетах и различных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Флоренции,Милана и других городов.

Онввел «алгебраические буквы» (caratterialgebraici), дал обозначения квадратному икубическому корням, корню четвертой степени; неизвестную х он обозначал со (cosa – вещь), х2 – се (censo — квадрат, отлатинского census), х3 – cu(cubo), x4 – се. се.(censo de censo), x5 – р°г° (primo relato – «первое relato», x6– р°г° х – се. cu. (censo de «второе relato»), х8 – ce. ce. ce. (de censo), x9 –cu. cu. (cubo de cubo), x10 – ce. p°r° (censo de primo relato), x13– 3°r° (tersio relato — «третье relato») и т. д.; свободный член уравнения – n° (numero – число). Как видим,некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с помощьюпоказателей 2 и 3 (х4 = х2×2, х6 = х2×3, х9 = х3×3 и т. д.), а в случаях, когдатак не получалось, пользовался словом relato (например,при образовании х5, х7, х11 и т. д.).Специальными символами Пачоли обозначил вторую неизвестную и ее степени. Дляобозначения операции сложения он воспользовался знаком /> (plus– больше), для обозначения вычитания – знаком /> (minus – меньше). Он сформулировал правила умножения чисел,перед которыми стоят знаки />и />.

Раздел«Суммы», посвященный алгебраическим уравнениям, Пачоли закончил замечанием отом, что для решения кубических уравнений х3 + ах = b и х3+ b = ах «искусство алгебры еще не дало способа, как недан еще способ квадратуры круга».

Некоторыйшаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н.Шюке (ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах в трех частях» изложилправила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений.Для сложения и вычитания он вслед за Пачоли пользовался знаками /> и />, причем, знак /> служил и для обозначенияотрицательного числа. Неизвестную величину он называл premier(«первое число»), а ее степени – вторыми, третьими и т. д, числами. Записистепеней неизвестной у Шюке лаконичны. Например, современные символы 5, 5ж, 5х,5х2, 5х3 у него выглядели бы так: 5°, 51, 52,53. Вместо равенства 8х3×7х-1= 56х2 Шюке писал: «83, умноженное на 71×/>,дает 562». Таким образом, он рассматривал и отрицательныепоказатели. Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что этичисла «имеют имя нуль».

Значительногоуспеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки Пачоли достигли немецкиеалгебраисты – «коссисты». Они вместо /> и />ввели знаки + и –, знаки длянеизвестной, и ее степеней, свободного члена.

XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием –решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней.

Спициондель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида

 x3 + ax = b a,b >0. (1)

Чутьпозже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде х = /> — />,где u – v = b,uv = />, откуда u и v находятся как корни квадратногоуравнения.

Такжеон нашел решение уравнения x3 = ax + b a,b >0 (2)

ввиде х = />+ />,где u + v = b,uv = />.

Уравнениеже x3 + b = ax a,b >0 можно решить с помощью уравнения (2).

Вте времена предпочитали избегать отрицательных корней и задачи, сводящиеся котрицательным корням уравнения (2), преобразовывали так, чтобы они приводили кположительным корням уравнения (3). Лишь Кардано позже осознал выгодурассмотрения отрицательных корней.

Почемурассматривались только уравнения вида (1) и (2)? На этот вопрос ответ далКардано.

Чтобыразобраться в нем, рассмотрим полное уравнение третьей степени.

y3 + ay2 + by + c = 0.

Неследует думать, что Тарталья и Кардано писали такие уравнения. Нет, так сталипоступать гораздо позже. Записывать все члены уравнения в одной части,приравнивая к одной части, начал Декарт. Да и символики не было, пользовалисьпрообразами символов и словами. Уравнение x3 +ax = b записывалось примернотак: «куб» (х3) />некотороеколичество (а) «вещей» (х) равно данному «числу» (b).Понять можно, но оперировать сложно.

Полноеуравнение можно преобразовать в неполное, не содержащее члена с квадратомнеизвестной. Сделаем замену y = x+ a и подставим в уравнение; получим х3 + (3a + а)х2 + (3a2 + 2aа + b)x + (a3 + aa2 + ba + c) =0.

Положим3a + а = 0. Найдем отсюда a = — а/3 и подставим в выражения

 p = 3a2+ 2aа + b,q = a3+ аa2 + ba + c.

Тогдауравнение примет вид х3 + px + q = 0.

Внашей символике это уравнение соответствует уравнениям (1), (2), которые решалТарталья.

Карданоузнал способ решения уравнений третьей степени, предложенный Тартальи,опубликовал его. Формула же стала носить название «формулы Кардано».

Выведемтеперь ее.

Рассмотримуравнение х3 + px + q= 0. Введем новые неизвестные x = u+ v и подставим их в исходное уравнение; получим u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

Приравняем3uv + p к нулю: 3uv + p = 0.

Уравнениепримет вид u3 + v3+ q = 0. Тогда uv = – />, u3v3 = –/> ,u3 + v3 =-q.

Выраженияu3 и v3можно принять за корни квадратного уравнения z2+ qz –/> =0.

Решаяего, получим z1 = – /> + />, z2=– />– />.

Такимобразом, x = u + v = />+/>, x =/>+/>.

Этои есть формула Кардано. Не лишне заметить, что в таком виде Кардано ее неискал: он формулировал решение уравнений (1) и (2) и рассматривал связьмежду уравнениями (2) и (3).

Вслучае, когда />+/><0, под квадратным корнемполучается отрицательное число и корень дает мнимость. Этот случай получилназвание неприводимого, так как решение уравнения третьей степени не приводитсяк решению квадратного уравнения. Как уже говорилось, с ним не справились ниТарталья, ни Кардано. Его с помощью тригонометрии разобрал Виет.

Чтобыполучить представление о символике Кардано, приведем пример записи корнякубического уравнения x3 + 6x = 20. Выражение />записывалосьтак Rx.u.cu.Rx.108/>10½/>Rx.u.cu.Rx.108/>10.

ЗдесьRx – знак корня (Radix),Rx.u.cu означает корень кубический из всего выражения довертикальной черты или после нее, /> и /> — сокращения слов plus и minus.

Карданопоказал, что легко можно решить уравнение x4/>ax = bx2 + />. Онпривел его к виду x4 = b(x/>/>)2,а затем извлечением корня получил квадратное уравнение. Аналогично онрассматривал и некоторые другие виды уравнений.

Однакоуравнение x4 + 6x2+ 36 = 60x, предложенное да Кои Кардано не сумелрешить.

Открылметод решения уравнений четвертой степени 23 – летний ученик Кардано – ЛуиджиФеррари.

Послетого, как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравненияхчетвертой степени стала более легкой. Феррари рассматривал уравнение, несодержащее члена с x3, т.е. уравнение вида x4 + ax2 + bx + c = 0.

Онпреобразовывал его так, чтобы в левой части был полный квадрат, а в правой –выражение не выше второй степени относительно x.

Выделениемполного квадрата получалось />= x4 + ax +/>= -bx– c + />,/>= -bx– c + />.

Теперьследовало выполнить такие преобразования, чтобы из левой и правой частей можнобыло извлечь корень. С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям выражение 2/>t + t2. Это дает />= 2tx2– bx – c + at +/> + t2, />= 2tx2 – bx + (– c+/> + at + t2).

Нужно,чтобы правая часть была полным квадратом. Вспомним, как обстоит дело стрехчленом ax2 + bx+ c. Выделим в нем полный квадрат: ax2+ bx + c = а(x2+ />x+ />) = =a(x2 + 2x×/> +/> — />+/>) = a(x2 + 2x×/> +/> + />) = a(x+/>)2+ />.

Трехчленбудет полным квадратом, когда 4ac – b2= 0. В нашем случае роль коэффициента при x2играет 2t, а роль свободного члена — выражение вскобках правой части уравнения. Тогда выражению 4ac – b2 = 0 соответствует 4×2t(t2+ at + /> -c) – b2 = 0, b2= 2t(4t2 + 4at + a2 — 4c).

Такимобразом, нахождение t свелось к решению кубическогоуравнения, а x находится з квадратного уравнения послеизвлечения корня из левой и правой частей, т.е. из уравнения x2+ />+ t0= />.

Карданоотмечает, что таким же приемом можно решать уравнения, в которых отсутствуетчлен не с третьей степенью х, а с первой. В этом случае делается подстановка х= k/y.

Открытия,сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано, сталидоступны математикам других стран и дали импульс развитию науки.

Дальнейшееразвитие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкойобщих методов решения уравнений.

Вэтом преуспел Франсуа Виета.

2.2 Символика Виета и развитие алгебры.

Виетсчитается одним из основоположников алгебры. Но его интерес к алгебрепервоначально связан с возможными приложениями к тригонометрии и геометрии. Азадачи тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приводили Виета к важнымалгебраическим обобщениям. Так было, например, с решением уравнений третьейстепени в неприводимом случае и с исследованием некоторых классов разрешимыхалгебраических уравнений высших степеней.

Своюалгебру Виет ценил очень высоко. Он не пользовался словом «алгебра», эту наукуон зазывал «искусством анализа». Виет различал видовую логистику и числовуюлогистику. Термин «логистика» означает совокупность арифметических приемоввычислений, «вид» имел смысл символа.

Видоваялогистика Виета после внесенных им в символику усовершенствований представляласобой буквенное исчисление. Ее объектами служат геометрические ипсевдогеометрические образы, связанные между собой различными соотношениями.Виет был последователем древних: он оперировал такими величинами, как сторона,квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб, и т. д., образующими своеобразнуюлестницу скаляров. Действия над скалярами у Виета, как и у древних геометров,подчинены «закону однородности»: составленные из неизвестных и известныхвеличин уравнения должны быть однородными относительно всех их вместе взятых.Умножению чисел у Виета соответствует образование нового скаляра, размерностькоторого равна сумме размерностей множителей. Операция, соответствующая делениючисел, дает новую величину, размерность которой равна разности размерностей.

Виетразработал символику, в которой наравне с обозначением неизвестных впервыепоявились знаки для произвольных величин, называемых в настоящее времяпараметрами. Для обозначения скаляров он предложил пользоваться прописнымибуквами: «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной Е, I, О, U, Y, аданные – буквами B, D, G илидругими согласными»

Слово«коэффициент» введено Виетом. Рассматривая выражение

(А+ В)2 + D(A + В),

онназвал величину D, участвующую с А + В в образованииплощади, longitude ciefficiens, т. е. содействующей длиной.

Иззнаков Виет употреблял +, — и дробную черту. Современные скобки у него заменялаобщая черта на всем выражением.

СимволикаВиета страдала недостатками, в некоторых отношениях она была менее совершенна,чем у его предшественников и современников. Виет для записи действий употреблялслова: in у него означало умножение, aequaturзаменяло знак равенства. Словами же выражались степени различных величин. Длятрех низших степеней он взял названия из геометрии, например, А3называл A cubus.Высшим степеням он давал геометрические наименования, происходящие от низших: А9,например,— A cubo-cubo-cubus. Известная величина Впредставлялась как величина девятой степени записью solido-solido-solidum. Если сторона (latus) умножается на неизвестную величину, то она называетсясодействующей) (coefficiens) при образовании площади.

УравнениеА3 + 3ВА = D Виетзаписывал так: А cubus + В planum in 43 aequatur D solido, ауравнение ВАn –Аm+n = Zтак:

Вparabola inА gradum — А potestate aequatur Z homogenae(В, умноженное на градус А, минус А в степени равняется однородной Z),

Обозначенияв числовой логистике выглядели проще:

N– первая степень, Q – квадрат, С – куб и т. д.Уравнение x3 — 3x = 1 записывалось в виде 1С – 3N aequatur 1»

Неудобствасимволики Виета связаны и с требованием однородности. Как и древние греки, Виетсчитал, что сторону можно складывать только со стороной, квадрат – с квадратом,куб – с кубом и т. д. В связи с этим возникал законный вопрос: имеют ли правона существование уравнения выше третьей степени, поскольку в пространственноммире четвертая, пятая и т. д. степени аналогов не имеют.

Дляпридания уравнению однородности Виет после входящих в него параметров писал planum (плоскость), solidum (тело) ит. д. Вот как выглядит в записи Виета уравнение х3 + ЗВ2х= 2z3: A cubus + В plano3 in A aequari Z solido 2.

ПравилоТартальи для решения уравнения третьей степени у Виета имело вид:

/>/>.

СимволикиВиета придерживался впоследствии П. Ферма. От «тирании» однородности просто иостроумно сумел освободиться Декарт (об этом будет сказано дальше).

Можетпоказаться, что Виет ввел в символику алгебры совсем немного. Буквами дляобозначения отрезков пользовались еще Евклид и Архимед, их успешно применялиЛеонардо Пизанский, Иордан Неморарий, Николай Орем, Лука Пачоли, Кардано,Бомбелли и многие другие математики. Но сделал существенный шаг вперед Виет.Его символика позволила не только решать конкретные задачи, но и находить общиезакономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь, способствоваловыделению алгебры в самостоятельную ветвь математики, не зависящую отгеометрии. «Это нововведение (обозначение буквами данных и искомых) и особенноприменение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому вразвитии алгебры: только теперь стало возможным алгебраическое исчисление каксистема формул, как оперативный алгоритм».

Сказанное,легко подтвердить примерами. Пусть х1, x2– корни квадратного уравнения. Перемножим разности x – x1 и х – х2: (x– x1)(х – х2)=х2 – (х1+ х2)х + х1х2.

Обозначим(x – x1)(х – х2)= х2 + px + q, сравниваяс предыдущим, получим p = – (х1 + х2),q = x1x2.

Выполнимто же самое для кубического уравнения:

(x – x1)(х – х2)(x– x3)=x3 – (х1 + х2+ x3)x2 +(x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3.

Сравнимрезультат с выражением (x – x1)(х– х2)(x – x3) = x3 + a1x2 + a2x + a3.

Этодает a1 = – (x1+ x2 + x3)

 a2 = x1x2 + x1x3 +x2x3

 a3= – x1x2x3.

Такойрезультат для квадратного уравнения был известен Кардано (в случаеположительных корней – еще и раньше); Кардано отметил свойство корнейкубического уравнения относительно коэффициента при х2. Но никакогообоснования в общем виде дать он не мог; это сделал Виет для уравнений до пятойстепени включительно.

Преимуществасимволики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты,но и более полно и обоснованно изложить все известное ранее. И еслипредшественники Виета высказывали некоторые правила, рецептуры для решенийконкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложениевопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней.

Рассмотримход рассуждений Виета при решении кубического уравнения.

Возьмемуравнение x3 + 3ax =2b. Положим a = t2 +xt.

Найдемотсюда

х= /> и подставим висходное уравнение. Получим /> + 3a/> = 2b,откуда для определения t наводим квадратное уравнение относительно t3:(t3)2 + 2bt3 – а3== 0.

Отсюдаопределится t, а затем и х. Заметим еще, что подстановка а = t2 + xtприводит исходное уравнение к виду

(х+ t)3 – t3= 2b,

котороевместе с уравнением (х + t)t = a, (х + t)3t3 = a3 дало бывозможность применить метод Тартальи и дель Ферро. Но Виет таким путем непошел.

Рассмотримтеперь пример. Найдем методом Виета действительный корень уравнения

х3+ 24x=56.

Здесьа=8, b=28. Запишем уравнение относительно t: (t3)2 + 56t3 — 83 — 0.

Решимего:

t3= –28 />/>= – 28/>36 t1= />= 2 t2 = />=–4.

Найдемтеперь х:

x1 = /> =–2, x2 = /> = 2 = x1.

Приизложении метода Феррари для решения уравнения четвертой степени Виет провеланалитически выкладки, указанные выше, и получил уравнение, содержащее основнуюнеизвестную А и вспомогательную Е (х и t у Феррари).

 Виет,верный последователь древних, оперировал только рациональными положительнымичислами, которые он обозначал буквами. Если в результате подстановки вуравнение значений параметров неизвестное оказывалось иррациональным, он давалэтому случаю особое обоснование.

Вкачестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решениекубического уравнения по способу дель Ферро – Тартальи.

Взаписи Виета уравнение имело вид A3 + 3BA = D.

Известноерешение: А является разностью «сторон» которые образуют площадь В и разностькубов которых равна D. Если обозначить «стороны»буквами u и v, то uv = B, u3 – u3=D, A= u –v.

Виетпридавал решению «геометрическое» толкование; он вместо D solidum записывал произведение В planum на D, т. е. получал уравнение A3+ 3ВA= BD.

Затемон определял четыре величины, образующие «геометрический ряд», так, чтобыпрямоугольник, построенный на средних или на крайних, по площади равнялся В, аразность крайних была D. Тогда A будет разностьюсредних.

Пояснимсказанное. Обозначим эти четыре величины через z, u, v и t.Тогда можно записать

z:u = u:v = v:t, zt = uv = B, z – t = D, A = u – v.

Еслив решении Тартальи D заменить на BD, то оба решениясовпадут.

СпособВиета означает замену кубического корня двумя средними геометрическими, чтополностью соответствует духу древних греков.

Изполучившихся пропорций найдем

u3 = z2t, v3 = zt u3 – v3= zt(z – t) = BD

Виетособо рассматривал трехчленные уравнения различных степеней и в первую очередьинтересовался количеством их корней, имея в виду только положительные корни.Отрицательные корни он определял как корни уравнения, в котором неизвестное хзаменено на –у. Виет, получал трехчленные уравнения из квадратных; он поступалтак, чтобы число положительных корней оставалось прежним. При этом онпользовался подстановкой х = kym илиспециальными приемами.

Одиниз приемов Виета выглядит так. Пусть дано уравнение

x2 + ах = b, а, b>0.

Дляполучения уравнения четвертой степени возведем левую и правую части уравнения вквадрат:

(х2 + ах — b)3= x4 + a2x2 + b2 + 2ax3 –2bx2 – 2abx = 0

Полученноеуравнение можно переписать:

x4 + 2ах3 + 2а2x2 – а2x2+b2 – 2bх2– 2abx = 0.

Исключим2ах3 + 2a2x2,воспользовавшись тем, что b = х2+ ax:

2ах(х2+ аx) = b2аx,2ах3 + 2a2x= 2abx.

Тогдаx4 + 2abx – а2x2 + b2 – 2bx2 – 2abx = 0, x4 – a2x2 + b2 – 2bx2 = 0.

Теперьосталось исключить x2; из исходногоуравнения найдем: x2 = b– ax и подставим в последнее:

 x4 – (a2 + 2b)x2 + b2 =0, x4 – (a2 + 2b)(b – ax) + b2 = 0, x4 +(2ab + a3)x = b2 + a2b

Полученноеуравнение четвертой степени имеет те и только те положительные корни, которыебыли у исходного квадратного.

Длянахождения трехчленного уравнения третьей степени Виет в качестве исходногобрал уравнение

ax – x2= ab

иумножал его левую и правую части на х + b; это приводило к уравнению

(а– b)х2 – х3 = ab2

стеми же положительными корнями, которые были у квадратного.

Иеще один частный вопрос рассмотрел Виет. В уравнении

ахm – xm+n = b

имеющемпо условию два корня, он определил коэффициенты, при которых корни уравненияимели бы заданные значения.

Пустьэти корни у и z. Тогда

a =/>, b = />

Туже задачу он решил относительно уравнения

xm+n+ axm = b, где m + n – число четное, m – нечетное.

Чрезвычайноважно то, что Виет распространил известные ранее частные преобразования на всеалгебраические уравнения. Подстановку х = у + k,применявшуюся Кардано для исключения из кубического уравнения члена второйстепени, он применил к уравнениям любой степени. Также известную Кардано обратнуюподстановку х = k/y Виетупотреблял, чтобы освободиться в некоторых случаях от отрицательныхкоэффициентов и иррациональностей. Например, уравнение х4 – 8х = />подстановкой х = /> он преобразовал к виду y4 + 8у3 = 80. Подстановкой х = />yВиет преобразовывал уравнение n-й степени так, чтокоэффициент при члене (n -1)-й степени (a) становился равным b, в то времякак старший коэффициент оставался равным единице. Подстановку х = ky он применял, чтобы избавиться от дробных коэффициентов.

Особыйинтерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейныхмножителей и по установлению связей между корнями уравнения и егокоэффициентами. Первоначальные сведения и по тому, и по другому вопросу были уКардано.

Карданов ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро и Тартальи, решал некоторыеуравнения третьей степени разложением на множители. В уравнении

2х3+ 4x2 + 25 = l6x + 55

сэтой целью он прибавлял к обеим частям 2x2 +10x + 5. Затем преобразовывал его к виду (2х + 6)(х2 + 5) = (х + 10)(2х+ 6), сокращал на 2х + 6 и получал квадратное уравнение.

Карданоже при нахождении положительного корня уравнения х3 + b = ах складывал его почленно с уравнением у3 = ay + b, получал из них квадратноеуравнение делением на х минус известный отрицательный корень х – (–у). Такоепреобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при члене второйстепени в правой части кубического уравнения равен сумме его корней. Это былпервый шаг к установлению зависимости между корнями и коэффициентамиалгебраического уравнения.

Виетсоставил полные уравнения с заданными положительными корнями вплоть до пятойстепени и показал, как образуются коэффициенты при xn-1,xn-2, xn-3,… Он установил, что эти коэффициенты при условии, что старший коэффициентравен 1 или –1 (свободный член в правой части должен был стоять со знаком +),представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы: самих корней, парныхпроизведений их, произведений корней, взятых по три, и т. д. Работа, в которойВиет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не дошла. Неизвестно, как онпоступал в том случае, когда уравнение имеет и отрицательные корни. Но, скореевсего, это не представляло для Виета особых трудностей: достаточно было сделатьв уравнении замену х = –у и можно оперировать с положительными корнями новогоуравнения. Такие примеры в его работах встречались. Если уравнение х3+ q = рх имеет два положительных корня х1 их2, то уравнение y3 = ру + q – один положительный корень у1= –х3 причем у1 = х1 + х2(это знал Кардано), x12 + x22 + x1x2 = p, x1x2(x1 + x2) = q.

Каквидим, в исследованиях Виета встречались начала теории симметрических функций иразложения многочленов на линейные множители, что вскоре привело к открытиюосновной теоремы алгебры о числе корней уравнения произвольной степени. Этиисследования Виета продолжили математики следующего поколения Т. Гарриот (1560—1621), А.Жирар (1595-1632), Р. Декарт (1596-1650).

2.3 Символика Декарта и развитие алгебры.

Всочинении «Исчисление г. Декарта» неизвестный автор изложил арифметическиеосновы математики Декарта. Они писал: «Эта новая арифметика состоит из букв a, b, c ит.д., а также из цифр 1, 2, 3 и т.д. Если цифры стоят перед буквами, например,2а, 3b, 1/4с, то это означает, что величина а беретсядвойной, величина b – тройной, а от величины с беретсячетверть. Но если они находятся позади букв, например, а3, b4, c5, то этоозначает, что величина а умножается сама на себя три раза, величина b – четыре раза, а величина с – пятьраз». «Сложение производится с помощью такого знака +. Так, чтобы сложить а и b, я пишу а + b. Вычитаниепроизводится с помощью такого знака –. Так, чтобы вычесть а из b, я пишу b –a и т. д. Если в вычитаемом выражении есть несколькочастей, то у них в нем изменяются лишь знаки. Так, если из dтребуется вычесть а – b + с, то останется d – а + b – –с. Точно так же при вычитании а2– b2 из с2 – d2останется с2 – d2 – а2 + b2.Но если имеются присоединенные цифры и члены одинакового вида, то их следуетподписывать друг под другом и производить их сложение и вычитание как вобыкновенной арифметике… Если требуется умножить одну букву на другую, то ихследует лишь соединить вместе, но если имеются присоединенные, числа, то ониследуют законам обыкновенной арифметики. Что касается знаков, то известно, что+ на + дает в произведении + и что –, умноженный на –, также дает впроизведении +. Но + на – или же –, умноженный на +, дает в произведении –».

Точнотак же определялись действие деления, операции с дробями «по правиламобыкновенной арифметики». Вот рассуждение о корне: «Когда корень извлечь изквадрата нельзя, его квадрат помещают под связку />,чтобы отметить, что его следует рассматривать как корень, и тогда его кореньназывают иррациональной величиной».

Извсего этого видно, как далеко зашла формализация алгебраических действий посравнению с тем, что было у древних греков и у предшественников Декарта; виднотакже, что надобности в геометрической интерпретации алгебры уже нет.

Формализацииалгебры (и всей математики) чрезвычайно способствовало то, что Декартусовершенствовал буквенную символику. Он обозначал известные величины буквамиа, b, с,… ., неизвестные («неопределенные») – буквамиx, y, z,… Он ввел обозначения степеней: a2, a3, х3,… Правда, квадратывеличин он выражал и с помощью символов аа, хх. Обозначение корня несколькоотличается от современного. Так, выражение />означает один из кубическихкорней, входящих в формулу Кардано.

Всебуквы в формулах Декарта считались положительными величинами; для обозначенияотрицательных величин ставился знак минус; если знак коэффициента произволен,перед ним ставилось многоточие. Знак равенства имел необычный вид />. Вот как,например, выглядело уравнение с произвольными коэффициентами:

+x4…px3…qx…/>0.

Иеще один символ применял Декарт: он ставил звездочки, чтобы показатьотсутствующие члены уравнения, например:

 x5*** – b/> 0.

Другиематематики того времени тоже пользовались символикой, близкой к разработаннойДекартом, а древние греки излагали свои мысли вообще без символики. Фермапостроил аналитическую геометрию, располагая запасом употребляемых до негоалгебраических средств. «… все это может побудить нас недооценить те успехи,которые поставлены здесь во главу всей математической деятельности Декарта.Значение этих успехов становится, однако, понятным, если мы примем во внимание,как часто мы должны были для изложения идей более ранних авторов прибегать кпользованию алгебраической формой Декарта; без нее мы вряд ли смогли бы этосделать сколь-нибудь сжато и наглядно. Мы смогли воспользоваться этойалгебраической формой, с одной стороны, потому что декартова трактовка алгебрыблагодаря своим преимуществам получила ныне широкое распространение, изнакомство с ней происходит уже в школе. С другой стороны, она уже сама по себев большой мере расчистила путь многому, что раньше могло быть изложено лишьвесьма громоздким образом и было поэтому доступно лишь очень способнымматематикам» (Цейтен Г. Г, История математики в XVI и XVII веках, с. 202)

Инымисловами, разработка и введение алгебраической символики сделали математикуболее демократичной.

Уравнения,по утверждению Декарта, представляют собой равные друг другу суммы известных инеизвестных членов или же, если рассматривать эти суммы вместе, равны «ничему»(нулю). Декарт указал, что «уравнения часто удобно рассматривать именнопоследним образом», т. е. в виде Р (х) = 0. Для теоретических построенийДекарта такая запись уравнений играла важную роль.

Этойформой он пользовался при установлении числа корней алгебраического уравнения, чтопривело к формулировке основной теоремы алгебры: число корней уравнения(положительных — «истинных», отрицательных — «ложных» и мнимых — «воображаемых»)равно числу единиц в наивысшем показателе степени входящей в уравнениенеизвестной величины. Справедливость теоремы он аргументировал тем, что приперемножении n двучленов вида х – а получаетсямногочлен степени n. Недостающие «воображаемые» корни,природу которых Декарт не разъясняет, можно примыслить.

Есливсе корни положительны, то, по словам Декарта, дело обстоит так: «Знайте, чтовсякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значенийнеизвестной величины, сколько последняя имеет измерений; ибо если, например,принять х равным 2, или же х – 2 равным ничему, а также х = 3 или же х – 3 = 0,то, перемножив оба эти уравнения x – 2 = 0 и x – 3 = 0,мы получим хх – 5х + 6 = 0, или же хх = 5x – 6, уравнение,в котором величина х имеет значение 2 и вместе с тем значение 3.

 Еслипринять еще, что х – 4 = 0 и умножить это выражение на хх – 5x+ 6 = 0, то мы получим х3 – 9хх + 2бх – 24 = 0, другое уравнение, вкотором х, обладая тремя измерениями, имеет вместе с тем три значения, а именно2, 3 и 4»

Еслиже «х выражает собой также недостаток какой-нибудь величины, скажем 5, то мыполучим х + 5 = 0». Умножив х + 5 на левую часть предыдущего уравнения иприравняв результат нулю, получим

x4 – 4x3 – 19xx + 10бх – 120 = 0, (1)

«уравнение,у которого четыре корня, именно три истинных 2, 3, 4 и один ложный –5».

Построениелевой части уравнения в виде произведения двучленов приводит к тому, чтостепень уравнения можно понизить, разделив левую часть его на х – a, где а – корень уравнения. С другой стороны, если такоеделение невозможно, то число а не будет корнем уравнения. Левую часть уравнения(1), например, можно разделить на х – 2, х – 3, х – 4, х + 5 и нельзя разделитьна любой другой двучлен х – а; «это показывает, что оно может иметь лишь четырекорня: 2, 3, 4 и –5».

Декартсформулировал правило знаков, дающее возможность установить число положительныхи отрицательных корней уравнения: «Истинных корней может быть столько, сколькораз в нем изменяются знаки + и –, а ложных столько, сколько раз встречаютсяподряд два знака + или два знака –». Впоследствии он внес уточнение: приналичии мнимых («невозможных») корней уравнения число положительных корнейможет (а не должно) быть равным числу перемен знаков. Декарт высказал правила ина примерах показал, какие следует выполнять преобразования, чтобы изменитьзнаки корней уравнения, увеличить или уменьшить корни, получить уравнение, несодержащее второго члена, и т. д. «Легко, далее, сделать так, чтобы все корниодного и того же уравнения, бывшие ложными, стали истинными, и вместе с тем всебывшие истинными стали ложными; именно это можно сделать, изменив на обратныевсе знаки + или –, стоящие на втором, четвертом, шестом и других, обозначенныхчетными местах, не изменяя знаки первого, третьего, пятого и им подобных,обозначенных нечетными числами мест».

Применивтакое преобразование к уравнению (1), получим уравнение

х4+ 4x3 — 19хх – 106x- 120 = 0, (2)

имеющееодин положительный корень 5 и три отрицательных: –2, –3, –4.

Можно,не зная корней уравнения, увеличить или уменьшить их на какую-либо величину,для чего необходимо сделать соответствующую замену. Например, уравнение (2)после замены х = у – 3 преобразуется к виду y3– 8у2 – у + 8 == 0; его положительный корень 8 превышаетположительный корень уравнения (2) на 3.

Декартзаметил, что, «увеличивая истинные корни, мы уменьшаем ложные и наоборот», приэтом он имел в виду абсолютные величины корней.

Правилоисключения второго члена уравнения, известное еще Виету, Декарт иллюстрировалпримерами.

Так,уравнение y4+ 16y3+ 71y2 – 4y –120 = 0подстановкой z – 4 = у он сводил к

z4 – 25z2 – 60z – 36 = 0; его корни –3, -2, -1, 6.

Второйчлен уравнения x4 — 2ах3 + х2(2а2 — с2) — 2aзx + а4 = 0 онисключал подстановкой х = z + />a его к виду z4 + z2 (/>a2 – c2) – z (a3 + ac2)+ />a4– />a2c2 = 0.

Декартговорил, что можно также «сделать, чтобы все ложные корни уравнения сталиистинными, но истинные не стали ложными». Он утверждал, что легкоприблизительно оценить величину неизвестных отрицательных корней уравнения. Вэтом можно усмотреть постановку вопроса о границах действительных корнейуравнения, которому впоследствии уделил большое внимание Ньютон.

Дляумножения и деления неизвестных корней уравнения на число, приведения дробных ииррациональных коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же подстановками,которые были известны и Виету. Рассмотрим пример.

Еслиположить у = х/> и z = 3у, то уравнение

x3 – x2/> + />x – /> = 0

преобразуетсяпоследовательно в уравнение

y3 – 3y2 + />y – /> = 0, а затем в z3 – 9z2 + 26z – 24 = 0.

Корниокончательного уравнения 2, 3, 4; предыдущего – />,1, />; первого – />/>,/>/>,/>.

О«воображаемых» (мнимых) корнях уравнения Декарт писал: «Как истинные, так иложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь иногда лишьвоображаемыми. Другими словами, хотя всегда можно вообразить себе у каждогоуравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни однойвеличины, которая соответствует этим воображаемым корням. Так, например, хотя ууравнения х3 – 6xx + 13x –10 = 0 можно вообразить себе три корня, но на самом делеоно имеет только один действительный, именно 2. Что касается двух другихкорней, то сколько бы их ни увеличивать, уменьшать или умножать так, как ятолько что объяснил, все равно их не удастся сделать иными, чем воображаемыми».

Ещеодна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декартом – задачаприводимости уравнений, т. е. представления целого многочлена с рациональными(целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов низших степеней. Декартустановил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффициентами истаршим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки(иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных радикалах) тогда и толькотогда, когда уравнение имеет целый корень (т. е. левая часть его может бытьпредставлена в виде произведения множителей первой и второй степеней).

Дляуравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости; оно состоит вразрешимости его кубической резольвенты, т. е. соответствующего уравненияшестой степени, кубического относительно у2.

Декартне показал, как он получил окончательный результат. Ф. Схоотен вывелрезольвенту с помощью метода неопределенных коэффициентов. Он представилмногочлен четвертой степени в виде x4 – px2 – qx + r = (x2 + yx + z)(x2– yx +v), откуда получилуравнения для нахождения у, z, у: z– y2 + v = –p, –zy+vy = –q, vz = r.

Разрешающееуравнение (резольвента) имеет вид у6 – 2ру4 + (р2– 4г)y2 – q2 = 0.

Вконце третьей книги «Геометрии» Декарт графически решал уравнения третьей,четвертой, пятой и шестой степеней, отыскивая их корни как пересечениенекоторых линий.

ВкладДекарта в математику не ограничивается одной «Геометрией»: в его перепискесодержатся решения многих задач, в том числе связанных с бесконечно малыми.

§3 Обозначение производной и интеграла у Лейбница иразвитие анализа.

Лейбницвнес большой вклад в развитие математического анализа. Ему принадлежит созданиемногих символов, которые мы используем сейчас, например, dx,ddx,…, d2x, d3x,/>, />. Но символы эти появились уЛейбница не сразу. Первоначально выражение />= хu/> (1)

у него выглядело следующим образом: omn. xw = ult. х×omn. w – omn. omn. w. При этом онеще не употреблял привычного нам знака равенства.

В этом выражении omn. – начальные буквы латинского слова omnia, т. е.все, – обозначает объединение, суммирование «всех» бесконечно малых элементов,стоящих под этим знаком, х обозначает абсциссу точки на кривой, исходящей изначала координат, w в этих выкладках Лейбница обозначает то элемент дуги (ds), тодифференциал ординаты (dy), ult. – начальные буквы латинского слова ultima (т. е.последняя) – относится к абсциссе.

Для Лейбница в данном случае его omn.w выступает вроли новой функции, которая сама становится объектом операции, обозначенной omn. Как этообстоятельство, так и то, что он рассматривает результат многократногоприменения преобразования вида (1) и получает выражения, в которых операция omn.наслаивается несколько раз, заставило его искать более удобное обозначение, и взаписи от 29 октября мы читаем: полезно писать />вместоomn.,так что /> будет вместо omn./> (/>-это начальная буква слова summa и Лейбницназывает этот знак суммой). И для нового исчисления, как в той же записивыражается Лейбниц, имеем

/>, />, />=/>, />.

Первое из этих соотношений соответствует преобразованию(1), а, b — постоянные, черта сверху играет роль скобки, и она,собственно, лишняя, да и Лейбниц не всегда ее пишет, но ее, пустьнесистематическое, появление характерно: так, в записи х/> мы видим, что пишущемукажется необходимым дополнительно указать, что на х действительно умножаютсявсе />, собранные в сумму знаком />. Лейбниц далее записывает(по поводу формул (2) и их вариантов): «Это достаточно ново и примечательно,поскольку указывает на новый вид исчисления», и переходит к обратномуисчислению (contrario calculo), вводя символ d, который «уменьшает измерение так, как увеличивает />», но пишет его в знаменателе(не dy, a y/d).

Тут же читаем: />обозначаетсумму, d — разность. Несколькими днями позже, в рукописи,помеченной 10 ноября, Лейбниц записывает: «dx — то же самое, что x/d, то естьразность между двумя ближайшими».

Замечательно то, что Лейбниц сразу, введя новоеобозначение, начинает с ним обращаться как с символом операции, отделяя его отобъекта операций: он сразу отметил, что его «сумма» от (двух) слагаемых равна сумме«сумм» слагаемых и что постоянный множитель или делитель можно выносить за знак«суммы». В записях последующих дней (от 1, 10, 11 ноября) он отмечает такие жесвойства операции, обозначенной через d. За эти дни Лейбниц убедился, что d(xy) не то жесамое, что dx×dy, и что d(x/y) ¹ dx/dy, но не вывелеще соответствующих формул. Отметил он и что />,конечно, не то же самое, что />. Он ужесистематически использует обратность действий />иd,например, после равенства /> он пишет:или wz = y2/2d (тут d еще взнаменателе). Отмечены им уже формулы для производной степенной функции прицелых показателях степени, например, «из квадратуры треугольника ясно, что y2/2d = у; />= /> из квадратуры параболы».

А в том, что он открывает здесь нечто весьма существенное,Лейбниц, вероятно, окончательно убедился, когда смог использовать пока как бынащупываемый им алгоритм при решении задач на обратный метод касательных. Онписал: «Еще в прошлом году я поставил перед собой вопрос, который можно отнестик труднейшим во всей геометрии, поскольку распространенные до сих пор методыздесь почти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я приведу егоанализ».

Свою задачу Лейбниц формулирует как определение кривой, укоторой поднормали обратно пропорциональны ординатам. Такая задача сводится, всовременных обозначениях, к решению дифференциального уравнения ydy/dx = k/y, где k — постоянная.Решение Лейбница состоит по сути в составлении такого уравнения и последующемего интегрировании с помощью разделения переменных. Он получил, таким образом,уравнение искомой кривой, и она оказалась кубической параболой.

По записям Лейбница видно, что к середине 1676 г. он,располагая уже всеми основными правилами дифференцирования и интегрирования,решил еще несколько задач на обратный метод касательных, в том числе знаменитуюв XVII в. задачу де Бона, предложенную в свое время Декарту,который не смог получить ее общее решение. И это результат вполнесамостоятельного хода мыслей. То, что Лейбниц знал к тому времени относительнорезультатов Ньютона и Грегори, никак не могло помочь ему пройти избранный импуть. Операционный подход Лейбница к проблеме и его поиски рациональнойсимволики для нового исчисления, в чем наиболее полно выразилась творческаяиндивидуальность Лейбница, были в достаточной мере чужды его английским соперникам.

Примерно через год после открытий 1675 г., во время поездкипо Голландии и после встречи там с Гудде, Лейбниц составил заметку,озаглавленную «Дифференциальное исчисление касательных». Она начинаетсязаписями:

d/> = 1,             d/> = 2x,                   d/> = Зх2 и т. д.

d/>= –/>,                   d/> = –/>,              d/>= – /> и т. д.

d/>=/> и т. д.

Отсюда выводится общее правило для разностей и сумм простыхстепеней:

d/>= exe-1 и, напротив, />=/> (горизонтальнаячерта сверху означает взятие в скобки).

Как видно, здесь знак d обозначает операцию вычисленияпроизводной. Но Лейбниц еще не вполне выработал к тому времени свою символику ичуть ниже можно прочитать, что «общее правило устанавливается так: />и, наоборот, />». Такая редакция общего правила следует за замечанием: «пустьу = x2, тогда будет />= 2x/>, следовательно, />= 2x». И на полях,вероятно, позже, Лейбниц написал, что это отличное замечание к его исчислениюразностей: «если by/>+ /> + etc. = 0, то b/>+/> = 0, и так с остальными». Здесь он начинает свободнообращаться с дифференциалами, как это ему удобно при решении дифференциальныхуравнений, не предопределяя, какое из переменных независимое, какое функция.

Дальше в том же наброске следует замечание, что вот,«возьмем какое-либо уравнение (но берется уравнение алгебраической кривой,притом второго порядка)… и напишем у +dy вместо у и подобнымобразом x + dx вместо х, тогда, опустив то, что опустить надлежит,получим другое уравнение» (т. е. оставляются только слагаемые первого порядкаотносительно дифференциалов, и это показано на примере).

Отсюда вытекает правило, обнародованное Слюзом, продолжаетЛейбниц, и это, конечно, верно. Тут же он добавляет, что «мы бесконечнорасширим это правило: пусть букв будет сколько угодно и из них составленаформула, например, из трех букв...». И Лейбниц сопоставляет уравнениеалгебраической поверхности опять-таки второго порядка и небезупречносоставленное путем дифференцирования соотношение между дифференциалами, чтобызаявить без дополнительного обоснования: «Отсюда явствует, что по такому методуполучаем касательные плоскости поверхностей, и не имеет значения при этом,существует ли еще иное соотношение между теми же буквами х, у, z, его ведьможно будет подставить позже».

Конечно, указание на то, как определить касательнуюплоскость к поверхности, следовало еще развить, что в рассматриваемом отрывкеотсутствует, но мы видим здесь пример того, как Лейбниц постепенно, по разнымповодам, возвращается к своему исчислению, расширяет область его применения,наряду с новыми результатами получает с его помощью известные старые.

В 1678 г. Чирнгаус заявил Лейбницу, что надо по возможностиизбегать новых обозначений, ибо это только затрудняет доступ к науке. Вот Виетзаслуживает похвалы за то, что обходится буквенными обозначениями, не вводяновых чудовищных знаков. Лейбниц, возражая подчеркивал, что надо искатьобозначения, которые кратко выражают сокровенную сущность предмета, облегчаяпуть к открытиям и значительно уменьшая затрату умственного труда. И таковы,продолжал Лейбниц, использованные мною знаки – я часто с их помощью в несколькострок решаю самые трудные задачи.

В 1684 г. в «Лейпцигских ученых заметках» появилась одна изсамых знаменитых математических работ: «Новый метод максимумов и минимумов, атакже касательных, для которого не являются препятствием ни дробные, ни иррациональныевеличины, и особый для этого род исчисления». В этой небольшой статье даныосновы дифференциального исчисления. Правила дифференцирования приводятся бездоказательств, хотя есть указания на то, что здесь все можно обосновать,рассматривая дифференциалы как бесконечно малые разности. Определениедифференциала функции дано как произведение производной (но производнаязадается геометрически как отношение ординаты к подкасательной) на дифференциаларгумента. Последний можно задавать произвольно. Еще не вводится определенноесоглашение относительно выбора знака для длин отрезков, которыми оперируетЛейбниц, поэтому он привод некоторые формулы с двумя знаками. В статье былиопечатки, затруднявшие чтение, были и ошибочные утверждения (относительно определенияточек перегиба). Но в ней были и эффективные примеры применения новогоалгоритма, и автор, приведя их, имел право заявить: «Во всех таких и многоболее сложных случаях наш метод обладает одной и той же поразительной и прямобеспримерной легкостью. Но это лишь начала некой более высокой Геометрии,которая распространяется на труднейшие и прекраснейшие задачи прикладнойматематики, и едва ли кому-нибудь удастся заняться с той же легкостью такимивещами, не пользуясь нашим дифференциальным исчислением или ему подобным».

Год 1690-й отмечает новый этап: начинается переписка имноголетнее научное общение Лейбница с Яковом Бернулли, а затем и его младшимбратом Иоганном, напечатана первая работа по анализу старшего из братьев, и обаони, математики первого ранга, отныне все усилия приложат для развития новогоисчисления.

Через посредство И. Бернулли с новым исчислением знакомитсяи становится его приверженцем самый значительный французский механик тех лет П.Вариньон.

На Лейбница появление приверженцев его метода и умножениепримеров, показывающих плодотворность созданного им исчисления, действовалостимулирующе.

Новые результаты Лейбница достаточно разнообразны.Некоторые из них относятся к технике дифференцирования. Так, в «Новомметоде...» 1684 г. дифференцируются только алгебраические функции, рациональныеи иррациональные, и, в неявном виде, логарифм, а в 90-е годы Лейбниц, можносказать, мимоходом в различных работах указывает дифференциалы синуса иарксинуса, функции вида uv, где основание и показатель степени — функции независимогопеременного, вводит дифференцирование по параметру. Позже Лейбниц дает носящуюего имя формулу для дифференциала любого порядка от произведения функций. Можносказать, что на этой стадии операция дифференцирования у Лейбница охватила весьзапас известных тогда функций.

Другая группа результатов Лейбница относится кдифференциальной геометрии. Один из наиболее существенных – введение огибающей семейства плоских кривых, зависящих отнекоторого параметра.

В третью группу можно объединить результаты поинтегральному исчислению. Кроме формул, представляющих собой обращениеупомянутых формул дифференцирования, Лейбниц дал две работы об интегрированиирациональных дробей (1701 и 1703 гг.). В первой из них он допустил ошибку, сделаввывод, что при наличии комплексных корней у знаменателя рациональной дроби сдействительными коэффициентами интегрирование должно ввести новыетрансцендентные функции, кроме обратных круговых и логарифмов. Когда же И.Бернулли указал правильный результат, Лейбниц с ним не согласился и повторилсвое ошибочное заключение во второй работе. Эта ошибка Лейбница – не только математический недосмотр, она имеет любопытныекорни. Утверждение, что интегралы вида

/>, />

дают новые трансцендентные функции казалось ему ипривлекательным и правдоподобным еще потому, что это соответствовалолейбницевой метафизике. Если бы все интегралы такого вида сводились, каквыражается Лейбниц, только к квадратуре гиперболы (т. е. логарифмам) и кквадратуре круга (к обратным круговым функциям), то все было бы единообразно. «Ноприрода, мать вечного разнообразия, или, лучше сказать, божественный духслишком цепко оберегает свою прекрасную многоликость, чтобы допустить слияниевсего в одну породу. И таким образом он находит изящный и удивительный выход вэтом чуде анализа, этом побочном порождении мира идей, двойственном существекак бы между бытием и небытием, что мы называем мнимым корнем. И посему всякийраз, когда знаменатель рациональной дроби имеет мнимые корни, что можетполучиться бесконечно многими способами, будет мнимой и гипербола, квадратуракоторой нам нужна, и ее никоим образом нельзя будет построить».

От Лейбница не ускользнуло и то, что интеграл можнорассматривать как дифференциал с показателем –1, и это привело его к введению дифференциаловлюбых отрицательных и дробных порядков с помощью бесконечных рядов. Теориюинтегралов и производных дробного порядка развивали в XVIII в. Эйлер, в XIX в. – Лиувилъ, Риман, Летников, в XX в. – Г. Вейль, М. Рис и др., и сейчас она составляет один изразделов анализа. Лейбниц же первый в печати указал на то, что операцияинтегрирования вводит произвольную постоянную и на связь между определениемпервообразной функции и квадратурой. Он указал также, как интегрироватьнекоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенно то, что Лейбницотчетливо определил взаимоотношение интегрирования дифференциальных уравнений иинтегрирования функций (первое следует считать выполненным, если оно сведено ковторому), и, аналогично, интегрирования функций и алгебраических операций(например, определение корней знаменателя подынтегральной рациональной дробисчитается при интегрировании задачей решенной).

Лейбниц много занимался также интегрированиемиррациональностей (в конечном виде, как стали позже выражаться) и глубокопроник в суть этой проблемы.

Заслугой Лейбница является и применение к интегрированию ифункций и дифференциальных уравнений бесконечных рядов с использованием методанеопределенных коэффициентов (последний метод восходит к Декарту). Немалоезначение для успехов нового анализа имело достаточно общее введение такогопонятия, как функция, и систематические выступления Лейбница против ограничения(по Декарту) предмета геометрии изучением алгебраических кривых. Наконец,Лейбниц на деле доказал достоинства своего исчисления, с успехом участвуяв конкурсах на решение таких трудных для того времени задач, как задача Галилеяо цепной линии и задача И. Бернулли о брахистрохроне.

Историческоезначение математического творчества Лейбница огромно. Оно длилось около сорокалет, и за такой сравнительно небольшой срок математика преобразилась. Наука, вкоторую вступил Лейбниц, и наука, которую он оставил, принадлежит разнымэпохам, и это плод главным образом его трудов и трудов его школы. До Лейбница вобширную область неведомого пытались проникнуть то тут, то там, наскоками,пусть порою очень удачными, не имея общего плана. Благодаря Лейбницуразрозненные прежде усилия были подчинены общей программе, прояснились иблизкие и далекие цели, средства для их достижения оказались в распоряжении нетолько сверходаренных одиночек и значительно выиграли в эффективности.

§ 4. Язык кванторов и основанияматематической логики.

Всвязи с тем, что элементы логики представляют собой неотъемлемую составнуючасть школьного обучения математике, они должны изучаться в единстве ссобственно математическим материалом на всех этапах обучения. Соответствующийязык необходимо вводить постепенно для обозначения уже разъясненныхматематических и логических понятий, чтобы в дальнейшем он становилсянеобходимым компонентом обиходного математического языка.

4.1 Алгебра высказываний.

Эта тема важна для школьной математики. Не овладев ееосновными действиями, нельзя понять последующие темы, как, не овладев таблицамисложения и умножения, нельзя научиться арифметике и тем более алгебре.

Исходные объекты алгебры высказываний – это простыевысказывания. Их будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c, …, x, y, z.Предполагается, что всякое простое высказывание обладает одним и только однимиз двух свойств: либо оно истинно, либо ложно.

Будем пользоваться почти повсеместно принятойтерминологией: свойства истинности (и) и ложности (л) мы будем называтьзначениями истинности высказываний. При такой терминологии значение истинностисложного высказывания есть функция от значений истинности простых высказываний;такая функция называется логической связкой.

4.1.1 Определения основных логических связок

а) Отрицание (знак ù). Если а – высказывание, то ùа (читается: «не а»)также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно илиистинно высказывание а.

Таким образом, операция отрицания описывается следующейтаблицей:

a ùa и л л и

Мы видим, что операция ù в теориивысказываний вполне соответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова.Если, например, а – высказывание «Число три делит число шесть», то отрицанием ùаэтого высказывания будет «Число три не делит число шесть». Высказывание а приэтом истинно, высказывание ùа, – ложно.

Еслиже в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное высказывание, например«Число три делит число пять», то его отрицание ùабудет высказывание «Число три не делит число пять» — истинное высказывание.

б) Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будемупотреблять знак Ù (можно также &).

Если а и b — высказывания, то а Ù b (читается: «а и b») – новоевысказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а истинно и b истинно.

В отличие от операции отрицания, зависящей от одногоэлементарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые намисвязки, зависит от двух элементарных высказываний, поэтому они называютсядвуместными связками, отрицание же — связка одноместная.

Длязадания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц сдвумя входами: строки соответствуют значениям истинности одного элементарноговысказывания, столбцы – значениям другого элементарного высказывания, а вклетке пересечения столбца и строки помещается значение истинностисоответствующего сложного высказывания.

Значение истинности сложного высказывания а Ùbзадается матрицей

 b

a

и л и и л л л л

Как видно, определение операции конъюнкции вполнесоответствует обыденному значению союза «и»:

в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будемупотреблять знак Ú.

Если а и b – высказывания, то а Ú b (читается: «а или b») – новоевысказывание, оно ложное, если а и b ложны; во всех остальных случаях а Úbистинно.

Такимобразом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так:

 b

a

и л и и и л и л

Операциядизъюнкции довольно хорошо соответствует обыденному значению союза «или».

Примеры.

 «Три делит пять или три больше шести» ложно;

«Три делит шесть или три больше шести» истинно;

«Три делит шесть или три меньше шести» истинно.

г) Импликация. В качестве знака для импликации будемупотреблять знак Þ.

Еслиа и b – два высказывания, то а Þ b (читается: «а имплицирует b») – новое высказывание; оно всегда истинно, кроме тогослучая, когда а истинно, а b ложно.

Матрица истинности операции импликации следующая:

 b

a

и л и и л л и и

В импликации а Þ b первый член а называетсяантецедентом, второй b – консеквентом.

Операция Þ описывает в некоторой мере то, что в обыденной речивыражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «а – достаточное условие для b», но на этой аналогии неследует слишком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации,данное выше, и интерпретируя выражение а Þ b как «если а, то b», мыполучаем: «Если дважды два – четыре, то трижды три – девять» – истинноевысказывание; «Если дважды два – пять, то трижды три – восемь» – истинноевысказывание и только высказывание типа «Если дважды два – четыре, то триждытри – восемь» ложно.

По определению импликации сложное высказывание а Þвсегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент ложный, что вочень малой мере отражает обыденное значение выражения «Если а, то b» или «Из аследует b». Ни в какой мере не следует рассматривать высказываниеимпликации как означающее, что антецедент является причиной, а консеквент —следствием в том смысле, как это понижается в естественных науках.

Несколькопозже мы убедимся, что операция импликации достаточно точно выражает понятиелогического следования в той форме, как оно употребляется в математике.

д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблятьзнак Û. Операция эквиваленции определяется так: если а и b – двавысказывания, то а Û b (читается: «а эквивалентно b»; Ûсоответствует словесному выражению «… тогда и только тогда, когда...») – новоевысказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба –ложны.

Из этого определения связки Û следует, что еематрица истинности выглядит так:

 b

a

и л и и л л л и

Введенными пятью связками (ù, Ù,Ú, Þ, Û) мы ограничимся.

С помощью уже введенных связок мы можем строить сложныевысказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарныхвысказываний.

Отметим в этой связи, что так называемое нестрогоенеравенство а £ b (читается: a меньше илиравно b») представляет собой дизъюнкцию (а < b) Ú(a= b);оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простыхвысказываний. Хорошими примерами сложных высказываний, встречающихся в школьнойпрактике, являются так называемые двойные неравенства. Так, формула а < b < созначает (а < b) Ù (b < с), а, например, а < b £cозначает сложное высказывание (а < b) Ù ((b < c) Ú(b= c)).

Построение сложных высказываний делается аналогично тому,как в элементарной алгебре с помощью операций сложения, вычитания, умножения иделения строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А именно,предположим, что мы уже построили два каких-нибудь сложных высказывания,которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В(при этом мы условимся, что элементарные высказывания следует рассматривать какчастный случай сложных). Тогда новые высказывания можно получить, соединив А иВ одним из знаков Ù, Ú, Þ, Û или же построив высказывание ùАи заключив результат в скобки. Сложными высказываниями будут, например,высказывания следующего вида:

((а Þ b) Ù (с Ú а)); ((а Þ b) Û(с Þ ùа)).

При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквыявляются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.

Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно былобы построить русские фразы, выражающие эти сложные высказывания. Толькословесное описание сложных высказываний быстро становится малообозримым, иименно введение целесообразной символики позволяет проводить более глубокое иточное исследование логических связей между различными высказываниями.

 Располагая значением истинности простых высказываний,легко подсчитать на основании определения связок значение истинности сложноговысказывания. Пусть, например, дано сложное высказывание

((bÚ с) Û (b Ù a))

и пусть входящие в него элементарные высказывания имеютследующие значения истинности: а = л, b = и, с = и. Тогда b Ú с = и, b Ù a = л, так что(( bÚс) Û (b Ù а)), т. е.рассматриваемое высказывание ложно.

4.1.2 Высказывания и булевы функции

Одной из основных задач алгебры высказываний являетсяустановление значения истинности сложных высказываний в зависимости от значенияистинности входящих в них простых высказываний. Для этого целесообразнорассматривать сложные высказывания как функции входящих в них простыхвысказываний. С другой стороны, так как значение истинности (и или л) сложноговысказывания зависит по определению логических связок не от самих простыхвысказываний, а лишь от их значения истинности, то можно считать, что любоесложное высказывание определяет функцию, аргументы которой независимо друг отдруга принимают значения и или л, а значение самой функции также принадлежитмножеству {и, л} (конечно, существенно не то, что речь идет о функциях отнескольких аргументов из множества {и, л} в множество {и, л}, а лишь то, чтоданные множества двухэлементны. Эти множества зачастую обозначают не через {и,л}, а, например, через {0, 1}, считая, что 1 означает «истину», а 0 – «ложь»).

Такие функции называются булевыми функциями (по имени Д.Буля). Например, формула F (а, b, с) = (а Ù b) Þ(с Ù а) описывает, учитывая определение входящих в нее связок,булеву функцию, задаваемую следующей таблицей:

а b с F(a, b, с) а b с F(a, b, с) и и и и л и и и и и л л л и л и и л и и л л и и и л л и л л л и

Заметим, что булевых функций от n аргументов имеется лишьконечное число, а именно столько, сколько возможно функциональных таблиц. Числовозможных наборов аргументов равно 2n, а каждому наборуаргументов можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и илил. Таким образом, число всевозможных булевых функций от n аргументовравно /> – Оно очень быстро растет сростом n. Изучение свойств булевых функций имеет большее значениекак для алгебры и математической логики, так и для их приложений в кибернетикеи теории автоматов. Естественно распространить определение высказывательныхсвязок, так как мы их определили выше, на булевы функции. Мы ограничимсярассмотрением лишь связок Ù, Ú, ù называемых булевыми связками (или булевыми операциями).Такое ограничение оправдано тем, что, как легко проверить, связки Þи Û могут быть выражены через другие булевы связки. При помощитаблиц истинности, приведенных выше, легко проверяются следующие тождества:

 a Þ b º (ù a) Ú b;

 a Û b º (a Ù b) Ú (ù a Ù ùb),

 которыепозволяют повсеместно заменить связки Þ, Ûна Ù, Ú, ù.

 Если мы теперь имеем булевы функции {F (xl,х2, ..., хn), G (х1, х2, ..., хn)} от n переменных,то действие связок над ними определяется естественным образом:

F (xl, x2, ..., хn) Ù G (х1, x2,..., хn), F (xl, x2, ..., хn) ÚG(xl, x2, ..., хn), ùF (xl, x2, ..., хn) – это такие булевы функции, которые принимают значения,предписываемые соответствующими таблицами для каждого возможного значенияаргументов. Кратко: булевы операции так переносятся на булевы функции, какдействия арифметики переносятся на обычные функции числовых аргументов. Вообщеимеет место далеко идущая аналогия между обычной алгеброй чисел и числовымифункциями, с одной стороны, и высказываниями и булевыми функциями – с другой.При этом можно отметить, что в одном определенном смысле алгебра булевыхфункций проще алгебры числовых функций: если рассматривать лишь функциинекоторого конечного числа аргументов, то таких функций лишь конечное число.Поэтому выкладки с булевыми функциями вполне доступны пониманию школьниковстарших классов.

 Естественно, закономерности булевой алгебры менее привычныи вызывают удивление и недоверие: это судьба всякого новшества.

Выпишем законы булевой алгебры. Большими латинскими буквамиА, В, ..., X, Y, Z мы обозначим объекты, над которыми осуществляются булевыоперации Ù, Ú, ù. Для определенности будем считать, что эти объекты –булевы функции некоторого фиксированного числа переменных. Среди них есть дваособых элемента: 1, 0. Это соответственно функции, принимающие для всехаргументов значения 0 и 1 (постоянные функции – нуль и единица). Тогда

А Ù В = В Ù А,                                               A ÚB= B Ú A

A Ù(В Ù C) = (А Ù В) Ù C                             A Ú(В Ú C) = (А Ú В) Ú C

A Ù A = A                                                       AÚ A = A

A Ù 1 = A                                                        AÚ 1 = A

A Ù 0 = 0                                                         AÚ 0 = A

ù(A Ù B) = ùA Ú ùB                                         ù(A Ú B) = ùA Ù ùB

A Ù (B Ú C) = (A Ù B) Ú (A Ù C)                   A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C)

ù ùA = A

Если, как это обычно делают, булевы операции Ú, Ù, ù считать аналогом сложения, умножения и перехода кпротивоположному числу, то некоторые из вышеприведенных законов те же, что длячислового сложения и умножения, другие же существенно отличаются от привычных.

4.1.3 Задания для учащихся.

Верно ли высказывание: ù(205 кратно 5);   7/>7;               ù(8>10);          1£3£3.

А – множество точек треугольника и В – множество точекчетырехугольника.

/>

Верно ли высказывание: CÎA Ù CÎB;       KÎB Ù KÎA; SÎB Ú SÎA;  ù(SÎA)ÙSÎB?

Известно, что А=и, В=и, Х=л, Y=л. Найдите значениевысказывания:

АÚùХ;               ùYÙùA;           AÞX;             ù(ùВÚY);         (AÙB)ÚX;      (XÚB)ÞY;     (XÙA)Þ(YÚB);            ù (AÚX)Ù(YÚùX).

Составьте таблицу истинности высказываний: ùХÙХ;    (ХÚY)ÚùY;     (XÙY)ÚùX;     ùXÞY;            (XÙY)ÞY.

Используя переменные X, Y, Z, запишитесочетательное свойство операции «и».

Проверьте равенство (XÚY)ÙZ º (XÙZ)Ú(YÙZ) и (XÙY)ÚZº(XÚZ)Ù(YÚZ), составляятаблицы истинности для левой и правой части.

4.2 Предикаты и кванторы.

4.2.1 Предикаты.

Алгебра предикатов – тот раздел математической логики,который непосредственно надстраивается над алгеброй высказываний.

Как мы видели, одной из основных задач алгебры высказыванийявляется изучение истинности или ложности высказываний в зависимости отистинности или ложности входящих в них высказываний. Несмотря на большуюважность этой области логики, она оказывается слишком бедной для описания и дляизучения даже простейших заключений науки и практики. В рамки алгебрывысказываний не укладываются ни простейшие заключения арифметики и геометрии,не говоря уже о довольно сложных логических выводах, с которыми мы сталкиваемсяв других науках и в повседневной жизни.

Действительно, рассмотрим следующие простейшие заключения.

Из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 меньше 7» мызаключаем, что «3 меньше 7». Из истинных высказываний «Все птицы – животные» и«Все воробьи – птицы» мы делаем заключение: «Все воробьи – животные». Извысказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – сын Петра» мы заключаем: «Павел –внук Ивана» и т. д.

Заметим, что во всех рассмотренных примерах истинностьзаключения зависит не только от истинности посылок, но и от их содержания. Еслиизменить вид посылок, то может оказаться, что заключение будет неверным. Так (впервом примере) из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 не равно 7» нельзяделать заключение (которое оказывается истинным), что «3 меньше 7», или,изменив немного второй пример, из истинных высказываний «Все птицы – животные» и«Никакие рыбы не птицы» нельзя выводить ни ложное высказывание «Никакие рыбы неживотные», ни истинное высказывание «Все рыбы – животные». Наконец, видоизменивпоследний пример, из истинных высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел –родственник Петра» мы не имеем права делать заключение (которое вдействительности может быть как истинным, так и ложным), что «Павел – внукИвана» (но можем вывести истинное заключение: «Павел – родственник Ивана»).

Чтобыпостроить систему правил, позволяющую логически выводить правильные заключения,учитывающие в какой-то мере содержание посылок, мы должны проанализироватьстроение простых высказываний. И здесь нам опять кое-что может подсказатьграмматика. Следуя по такому пути, мы придем к разделу логики, называемому алгебройпредикатов. Она предполагает алгебру высказываний уже известной, но идетдальше: простые высказывания, из которых состоят сложные, в свою очередьрасчленяются.

Теория предикатов исходит из следующей установки. Простыевысказывания выражают, что некоторые объекты обладают некоторыми свойствами илинаходятся между собой в некоторых отношениях.

При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваютсякак частные случаи общего понятия «предиката». Объекты, о которых говорится ввысказываниях, называются «термами». Постараемся выяснить смысл этих понятий напримерах.

Рассмотрим сначала некоторое число простых предложений –высказываний, выражающих, что некоторый объект обладает некоторым свойством:

«Сократ – грек»;

«Платон – ученик Сократа»;

«Три – простое число»;

«Василий – студент» и т. д. ,

Все приведенные примеры – простые предложения, С точкизрения грамматики они состоят из подлежащего («Сократ», «Платон», «три»,«Москва», «Василий») и сказуемого («есть грек», «есть ученик Сократа», «естьпростое число»). Подлежащее является наименованием некоторого объекта –конкретного или абстрактного, сказуемое выражает некоторое свойство. Влатинской грамматике сказуемое называется предикатом, и этим термином принятотеперь пользоваться в математической логике в рассматриваемых ситуациях.Основным для алгебры предикатов является второй член предложения –сказуемое-свойство. Как же алгебра предикатов трактует понятие «свойство»? Онарассматривает его как некоторую функцию следующим образом.

Возьмем первый пример: «Сократ есть грек».

Вместо человека Сократ мы можем подставить именавсевозможных людей и будем получать всегда осмысленные предложения. Однипредложения будут истинными, другие – ложными:

«Сократ есть грек» – истинно;

«Платон есть грек» – истинно;

«Наполеон есть грек» – ложно;

«Ньютон есть грек» – ложно и т. д.

Более обще можно рассматривать выражение вида «X есть грек»,где буква X указывает место, на которое нужно подставить имянекоторого человека, чтобы получить высказывание — истинное или ложное. Но, какнам уже известно, существенным свойством высказывания является его значениеистинности и или л. Становясь на эту точку зрения, логика предикатов считаетвыражение «X есть грек» функцией, аргумент которой X пробегаеткласс всех людей, а сама функция принимает в качестве значений и или л. Если мыбудем, как это принято в математике, «X есть грек» записывать сокращенно,например в виде Гр (X), то для значения X = Сократ получим Гр(Сократ) – и, а скажем Гр (Наполеон) – л и т. д. Относительно других приведенныхпримеров можно дословно повторить все то, что было сказано относительнопервого.

Таким образом, предикатом или, лучше, предикатом-свойствомбудем считать функцию, определенную на некотором универсальном множестве ипринимающую значения и и л. Те элементы, для которых значение предиката«истинно», обладают данным свойством, остальные не обладают.

Отсюда сразу видно, что в действительности всякийпредикат-свойство вполне определяется подмножеством тех объектов, на которыхданная функция принимает значение «истинно». Полезно привести примерыпредикатов-свойств из области арифметики. Такими будут, например, свойстванатуральных чисел «быть простым числом», «быть четным числом», «быть квадратом»и т. д.

Остановимся на примере «три есть простое число» и на соответствующемпредикате-свойстве «быть простым числом». Введем для этого свойства сокращенноеобозначение Пр (X). Предикат Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем Пр(1) = л(поскольку 1 не принято рассматривать как простое число). Пр (2) = и, Пр (3) =и, Пр (4) = л, ..., Пр (10) = л, Пр (11) = и и т. д.

Подобно приведенным предикатам-свойствам, математическаялогика рассматривает более общее понятие предиката-отношения. В зависимости оттого, между каким числом объектов устанавливается отношение, мы различаемдвухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д., в общем случае – n-местныеотношения. Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются унарнымипредикатами. Наконец, оказывается удобным в понятие предиката-отношения какчастный случай включить и высказывания в качестве «0 – местных предикатов».

Все математические дисциплины имеют дело спредикатами-отношениями, причем самыми распространенными являются бинарныеотношения. Они описываются, различными словами: «равны», «не равны», «больше»,«меньше», «делить», «перпендикулярны», «параллельны» и т. д.

По аналогии с предикатом-свойством двухместным предикатомсчитается опять функция, на этот раз от двух аргументов, определенных нанекотором универсальном множестве, принимающая значение и (истинно) и л(ложно): те пары элементов, для которых функция принимает значение и, находятсяв рассматриваемом отношении, остальные пары в этом отношении не находятся.

Рассмотрим пример бинарного отношения, определенного намножестве натуральных чисел, а именно отношение, описываемое словом «больше».Если рассматривать это отношение как функцию от двух переменных X и Y (на множественатуральных чисел), принимающую значения и или л в зависимости от того, будетли соответствующее отношение выполняться или нет, то эта функция определяетпредикат, который обозначим через > (X, Y). Тогдаимеем, например, > (3, 2) = и,> (1, 3) = л, > (7, 5) = и и т. д. Более полно и обозримо двухместныйпредикаты >(Х, Y).

1 2 3 4 5 … 1 л и и и и … 2 л л и и и … 3 л л л и и … 4 л л л л и … 5 л л л л л … … … … … … … …

Конечно, совсем нетрудно указать в элементарной математикепримеры трехместных предикатов и предикатов от еще большего числа аргументов.Так, трехместным предикатом является в геометрии отношение, описываемое словом«между»: «Точка Y лежит между точками X и Z». Варифметике хорошо известны понятия наибольшего общего делителя и наименьшегообщего кратного двух целых чисел: фраза «Число d является наибольшимобщим делителем чисел а и b» описывает трехместный предикат. Трехместные предикаты намножестве действительных чисел задают действия сложения, вычитания, умножения иделения: X + Y = Z, X – У = Z, X • Y = Z, X: Y = Z. Примером четырехместного предиката может служитьотношение между членами пропорции X: Y = Z: W

Ознакомившись с понятием предиката, мы переходим теперь крассмотрению операций, позволяющих из некоторых исходных предикатов строитьновые. Начнем изучение с простейшего случая одноместных предикатов. Пусть Р (X) и Q (X) – дваодноместных предиката, определенных на некотором множестве М. С помощьюопераций алгебры высказываний мы можем строить новые предикаты на множестве М.Конъюнкция Р (X)ÙQ (X) – этопредикат R1(X) = Р(X)ÙQ(X), который истинен длятех объектов а из М, для которых оба предиката Р(X) и Q(X) истинны.Аналогично определяется дизъюнкция Р(X)ÚQ(X):R2(X) = Р(X)ÚQ(X) – этопредикат на М, который истинен в точности для тех а/>М,для которых истинен по меньшей мере один из предикатов Р (X) и Q (X). Так жеопределяется отрицание ùР (X): R3(X) = ùР(X) – предикатна М, истинный для тех и только тех а Î М, для которых Р (X) ложен.

4.2.2 Кванторы.

Валгебре предикатов наряду с операциями логики высказываний важнейшую рольиграют операции, называемые кванторами. Именно употребление кванторов делаеталгебру предикатов значительно более богатой, чем алгебру высказываний.Кванторы соответствуют по смыслу тому, что на обычном языке выражается словами«все» («для каждого», «для всех» и т. п.) и «существует» («некоторый»,«найдется» и т. п.).

Понятие, обозначаемое словом «все», лежит в основе кванторавсеобщности (или квантора общности). Если через Гр (X) обозначен предикат «X есть грек»,определенный на множестве М всех людей, то из этого предиката с помощью слова«все» мы можем построить высказывание «Все люди – греки» (конечно, ложноевысказывание). Это пример применения квантора всеобщности.

Вообще же квантор всеобщности определяется так. Пусть Р (X) –какой-нибудь предикат. Тогда квантор всеобщности – это операция, котораясопоставляет Р (X) высказывание

«Все X обладают свойством Р (X)». (*)

Для этой операции («все») употребляется знак /> (перевернутая латинскаябуква А, напоминающая о немецком слове «alle» или английском «all» – все).Высказывание (*) записывается так: />(X)P(X) (читается:«для всех X Р от X»). В соответствии со смыслом слова «все» />(X)Р(X) – ложноевысказывание, кроме того единственного случая, когда Р (X)тождественно-истинный предикат.

Наряду с квантором всеобщности в логике предикатоврассматривается другой квантор – «двойственный» ему квантор существования,обозначаемый знаком /> (это перевернутаялатинская буква E, напоминающая немецкое слово «existieren» или английское«exist» — существовать):

 />(Х)Р(Х)

(читается: «существует такое X, что Р от X») –высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда Р истинно по меньшеймере для одного объекта а из области определения М. Тем самым />(X)Р(X) – истинноевысказывание для всех предикатов Р (X), кроме одного – тождественно-ложного.

Между кванторами /> и /> имеют место отношенияравносильности, позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому: ù/>(X) P(X) Û/>(X) ùP(X) («Неверно, чтовсе X обладают свойством Р (X)» равносильнотому, что «Существует такой объект X, для которого истинно не Р (X)»). Отсюда имеем: />(X) Ûù/>(X)ùP(X). Аналогично,имеет место двойственный закон: ù/> (X) P(X) Û />(X)ùP(X). («Неверно,что существует X, обладающее свойством Р (X)» равносильно «Все X обладаютсвойством не Р (X)»).

Отсюда />(X)Р(X)Ûù/>(X)ùP(X). Этиравносильности называют правилами де Моргана для кванторов.

С помощью квантора существования легко выражается суждениетипа «Некоторые Р суть Q» (например, «Некоторые англичане курят», «Некоторыенечетные числа – простые» и т. п.), т. е. что по крайней мере один объект а,обладающий свойством Р, обладает также свойством Q. Этот факт записываетсяформулой />(X)(Р(X)ÙQ(X)) («Существует такой X, что Р от X и Q от X»).

Аналогично с помощью кванторов записывается ряд другихотношений между одноместными предикатами.

Гораздо более богатые возможности открывает применениекванторов к многоместным предикатам. Остановимся вкратце на этом вопросе.

Пусть А (X, Y) – некоторый двухместный предикат, определенный нанекотором множестве М. Квантор всеобщности и квантор существования можноприменять к нему как для переменной X, так и для переменной Y: />(X)А(X, У); />(Y)А(X, Y); />(X)А(Х,Y); />(Y)A(X,Y). Переменная, к которойприменен квантор, называется связанной, другая переменная – свободной. Всечетыре приведенных выражения являются записями одноместных предикатов отсоответствующей свободной переменной. />(X)А(X,Y) (читается:«для всех X, A от X и Y») – одноместный предикат от переменной Y: />(X)А (X,Y)=F(У), Онистинен в точности для тех bÎМ,для которых одноместный предикат А (X, b) истинен для всех X. Если представитьпредикат А (X, Y) его таблицей, то предикат F (Y) = />(X) (X, Y) истинен длятех b, для которых столбец с входом b содержит исключительно букву и.

Применение квантора к одной из переменных двухместного предикатапревращает его в одноместный. В случае трехместных предикатов применениеквантора приводит к двухместному предикату. Аналогично и для предикатов сбольшим числом мест применение квантора превращает n-местный предикат в (n – 1)-местный.

К свободной переменной X одноместного предиката />(У)А(X, Y) в своюочередь можно применять квантор всеобщности или квантор существования.Получаются выражения

/>(X)(/>(У)А(X, У)); />(X)(/>(Y)А(X, У)), которые,опуская скобки, принято записывать несколько проще: />(X)/>(У)А(X, У); />(X)/>(Y)А(X, У),

Это – высказывания. Первое истинно, если все строки, а темсамым и вся таблица предикатов, содержат только букву и, второе истинно, еслисоответствующая матрица содержит по меньшей мере одну тождественно-истиннуюстроку. Три другие предиката />(X)А (X, У), />(У)А(X, У) и />(X)А (X, У) такжедопускают квантификацию, так что в общей сложности мы получаем из одногопредиката восемь формально различных высказываний: />(X)/>(У)А (X, У); />(X)/>(У)А (X, У); />(X)/>(У)А (X, У); />(X)/>(У)А (X, У); />(У)/>(X) А (X, У); />(У)/>(X)А(X, У); />(У)/>(X)А (X, У); />(Y)/> (X) А (X, У).

Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания,содержащие одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:

/>(X)/>(У)А(X, У) Û/>(У)/>(X)А (X, У);

/>(X)/>(У)А (X, У) Û/>(Y)/>(X)А (X, У).

/>(X)/>(У)А(X, У) так же каки />(У)/>(X)А(X, У), истиннотогда и только тогда, когда А (X, У) – тождественно-истинный предикат, />(X)/>(У)А (X, У) и />(Y)/>(X)А(X, У) обаистинны во всех случаях, кроме одного, когда А(X, У) – тождественно-ложныйпредикат. Все остальные высказывания существенно различны. Особенно следуетпомнить, что порядок следования разноименных кванторов очень важен.

Я считаю, что к окончанию школы ученики должны овладетькванторами, но введение их должно быть постепенным и начинаться в простыхситуациях. Учащиеся должны хорошо понимать, что от перестановки кванторов можетменяться смысл утверждения.

Например, Пусть I=(а,b) – некоторый интервал. Тогда «Для всякого хÎI существует такой у, чтоу = f (х)» (/>(x)/>(у) (у = f (х))), означает, что функция f(х) всюду определена на I. Напротив,«Существует такое у, что для всякого х у=f (х)» (/>(у)/>(х)(у=f(х)))означает, что функция f(x) принимает для всех х некоторое фиксированное значение у,т. е. постоянна.

Приведемеще один пример. Корректное определение периодичностивсюду определенной функции f(х) выглядит с использованием кванторов так: />(c)/>(x) (c¹0 ÙÙf(x+c) = f(x)), между темесли переставить кванторы и сформулировать утверждение «Для каждого хсуществует такое с, что с¹0 и что f(х + с) =f(x)»: />(c)/>(x) (c¹0 Ùf(x+c) = f(x)), то этоозначает лишь, что функция принимает каждое значение больше чем один раз, т. е.нечто совсем иное.

В математическом анализе часто приходится сталкиваться скванторами.

Определение предела последовательности из учебника «Алгебраи начала анализа» для 10-11 классов сформулировано так «Число А являетсяпределом последовательности аn, если для любого />>0существует номер N, такой, что при всех n>N вернонеравенство />». В кванторном обозначенииэто определение записывается так:

/>(/> >0)/>(NÎN)/>(n ÎN)((n>N) Þ />

 Переставлять кванторы нельзя: именно тот факт, что N подквантором существования /> следуетза выражением />(/>> 0), указывает назависимость N от выбранного />.

Как выразить утверждение, что последовательность (хn) сходится?Надо указать на то, что предел A существует. С помощью кванторов это утверждениеформулируется так:

/>(A) />(/>> 0) />(NÎ N) />(nÎN)((n > N) Þ (/>)).

Такая запись имеет еще и то преимущество, что она почтиавтоматически позволяет формулировать отрицание существования предела,означающее свойство расходимости. Для этого достаточно несколько раз применитьправило де Моргана для кванторов: (хn) расходится Ûù(/>(A) />(/>> 0) />(NÎ N) />(nÎN)((n > N) Þ (/>)) Û />(A)/>(/>> 0) />(NÎ N) />(nÎN)((n > N) Ù/>).

Задания для учащихся.

Установите,какие из следующих высказываний истинны.

/>x (x + 1 = x);  />x (x2 + x + 1>0);     />x (x2 — 5x + 6>0);    />x (x2 -6x+8³0 Ùx2-4x+3>0);          />x (x2 — 5x + 6 ³ 0 Úx2 + 5x + 6 < 0)

2)При каких аÎRистинны следующие высказывания: />х (x2 +x + а>0);

  />x (x2 +x + а>0);      />х (x2+ax + 1>0);

3)Пусть P(x) = «х – простоечисло»

  E(x) = «х – четное число»

  Z(x) = «х – целое число»

 D(x,y) = «y делится на х»

 G(x,y) = «х> y»

Расшифруйтеследующие высказывания и выясните, какие из них истинны:

P(x)ÞùE(x);                                                     />x (E(x) Ú D(x,6));   

/>x(P(x)ÞùE(x);                                             />x(P(x)ÚE(x));

/>x/>y(D(x,y)ÞG(y,x));                                />x/>y(Z(x)ÙZ(y)ÞD(x,y));

/>x/>y(Z(x)ÙZ(y)ÞD(x,y)).

4)Запишите с помощью кванторов определение предела функции: число b называется пределом функции f(х) при х,стремящемся к а, если для любого положительного числа /> найдется такое положительноечисло />, что при всех х ¹а, удовлетворяющих неравенству ½х – а½<0,будет выполнено неравенство ½f (х) – b½< />.

§5 Методические рекомендации к теме «Введение нуля иразвитие позиционной десятичной системы счисления».

В5 классе уже возможно обсуждение с учащимися этой темы.

Можновспомнить с ними, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют одиндесяток, десять десятков – одну сотню и т.д., иными словами: десять единиц первогоразряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда –одну единицу третьего разряда и т.д.

Такойспособ счета, группами в десять, которым мы пользуемся, называется десятичнойсистемой счисления. Число десять называется основанием десятичной системысчисления. Строго определения десятичной системы давать не стоит.

Затем,нужно обсудить, почему мы считаем именно десятками, то есть как возникладесятичная система счисления?

Людина первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук.Сейчас иногда говорят: «Перечесть по пальцам».

Далееследует поговорить о том, что были племена и народы, которые при счетепользовались лишь пятью пальцами одной руки, считали пятками, поэтому ииспользовали они пятеричную систему счисления, в которой основой служит число5.

Существуюти другие системы счисления: двоичная, двадцатеричная (следы ее сохранились досих пор во французском языке – они говорят вместо «восьмидесяти» — «четыреждыдвадцать»). Двадцатеричная система возникла у народов, считавших не только спомощью пальцев рук, но и пальцев ног. Древние вавилоняне пользовалисьшестидесятеричной системой счисления.

Можнообсудить, сколько цифр используется в каждой из перечисленных систем счислениядля изображения чисел.

Такжеполезно для учащихся будет ознакомиться с римской нумерацией, обсудить где онаприменяется. Учащиеся должны научиться записывать арабские числа с помощьюримских. Тут же можно предложить им пару занимательных задач, где используютримские цифры с целью привлечения их внимания.

Большеникакие алфавитные системы не стоит затрагивать, а только продемонстрироватьтабличку с алфавитными нумерациями, а также числовые знаки различных народов(см. дальше).

Послеэтого учащимся можно сообщить вкратце о происхождении знака 0.

Нужноотметить, что сейчас нуль это не просто знак для отделения разрядов, а число,которое можно складывать, вычитать, умножать и делить, как и другие числа.Единственное ограничение – делить на 0 нельзя.

Возможновынесение этого материала на факультативные занятие, где обсуждению различныхсистем счисления можно отвести больше времени.

Сучащимися 7-8 классов возможно более полное рассмотрение этой темы.

Начатьследует с рассказа о том, что существуют позиционные и непозиционные системы счисления.Дать определения одной и другой системы счисления, попросить учащихся привестипримеры.

Затемможно обсудить двоичную систему. Учащиеся должны научиться переводить числа издвоичной системы счисления в десятичную, и наоборот. После этого подобныедействия проделать с другой системой счисления, например, пятеричной. Можнонаучить учащихся складывать и умножать числа в различных системах счисления,отличных от десятичной. Далее, я считаю, что нужно рассмотреть десятичнуюнепозиционную систему (например, древних египтян). Учащиеся должны понять,насколько тяжело изображать большие числа в непозиционных системах счисления.Только тогда они смогут по достоинству оценить заслугу индийских математиков,которые создали десятичную позиционную систему счисления.

Преждечем начать рассказ о происхождение знака нуля можно предложить учащимсязаписать число сто три тысячи двести пятьдесят с помощью цифр, но не используязнака нуля. Обсудить как они это сделали, далее предложить сложить это число счислом двадцать тысяч семьсот восемьдесят девять, опять таки записанного спомощью цифр, но без знака нуля. У учащихся возникнут некоторые затруднения.После этого будет целесообразно рассказать им о заслуге индийцев.

Есликто-то из учащихся заинтересуется нумерациями различных народов, то можнопредложить им для самостоятельного изучения книгу Э. Кольмана «Историяматематики в древности».

Список литературы

АлексеевБ. Т. Философские проблемы формализации знания. Издательство ленинградскогоуниверситета. 1981.

БурбакиН. Очерки по истории математики. М., издательство иностранной литературы. 1963.

ВилейтнерГ. История математики от Декарта до середины XIXстолетия. М., «Наука». 1966.

ВыгодскийМ.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., «Наука». 1967.

ГлейзерГ.И. История математики в школе. Пособие для учителей. Под ред. В.Н. Молодшего.М., «Просвещение», 1964.

КалужнинЛ.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсематематики. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1978. 88с.

НешковК.И. И др. Множества. Отношения. Числа. Величины. Пособие для учителей. М.«Просвещение», 1978. 63 с.

МарковС.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. – Иркутск: Издательствоиркутского университета, 1995. – 248с.

МолодшийВ.Н. Очерки по истории математики. М.

НикифоровскийВ.А. Из истории алгебры XVI-XVIIвв… М., «Наука». 1979.

ПетровЮ.А. Философские проблемы математики. М., «Знание», 1973.

ПогребысскийИ.Б. Гольфрид Вильгельм Лейбниц. М., «Наука». 1971.

РыбниковК.А. История математики. Издательство московского университета. 1974.

ТаваркиладзеР.К. О языке школьного курса математики. «Математика в школе».

Хрестоматияпо истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособиедля студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. Под ред. А.П. Юшкевича. М.,«Просвещение», 1976.

Энциклопедическийсловарь юного математика. М., «Педагогика». 1989.