Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент 2 курса 1222 группы ТруфановАлександр Николаевич

Государственное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования «Самарский государственный университет»

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

Самара 2004

Теорема существования и единственности решенияуравнения

Пустьдано уравнение

/>

сначальным условием

/>

Пустьв замкнутой области R />функции />и />непрерывны).Тогда на некотором отрезке />существуетединственное решение, удовлетворяющее начальному условию />.

Последовательныеприближения определяются формулами:

/> /> k = 1,2....

Задание№9

Перейтиот уравнения

/>

 ксистеме нормального вида и при начальных условиях

/>, />,/>

построитьдва последовательных приближения к решению.

Произведемзамену переменных

/>; />

 иперейдем к системе нормального вида:

/>

Построимпоследовательные приближения

/>       

/>

Задание№10

Построитьтри последовательных приближения /> к решениюзадачи

/>, />

Построимпоследовательные приближения

/>

/>

Задание№11

а)Задачу

/>, />

свестик интегральному уравнению и построить последовательные приближения />

б)Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, идоказать их равномерную сходимость.

Сведемданное уравнение к интегральному :

/>

/>

/>

Докажемравномерную сходимость последовательных приближений

Спомощью метода последовательных приближений мы можем построитьпоследовательность

/>

непрерывныхфункций, определенных на некотором отрезке />,который содержит внутри себя точку />. Каждаяфункция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

/> />i = 0, 1, 2 …

Еслиграфик функции /> проходит в областиГ, то функция /> определена этимравенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция />, нужно, чтобы и графикфункции /> проходил в области Г. Этогоудается достичь, выбрав отрезок />достаточнокоротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка />,можно достичь того, чтобы для последовательности /> выполнялисьнеравенства:

/>, i = 1, 2,…,

где0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

/>, i =1, 2, …,

Рассмотримнашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим />, например, на />. На этом промежутке всепоследовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, чтот.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого болеевысокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные вышенеравенства. Из этих неравенств следует:

/>

чтои является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

Сдругой стороны, на нашем отрезке выполняется />,что также совершенно очевидно. А так как последовательность /> сходится, топоследовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список литературы

Л.С.Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственноеиздательство физико-математической литературы, 1961

А.Ф.Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс,1998

О.П.Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям», Самара:Издательство «Самарский университет», 1999

А.Н.Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит,1998