Реферат: Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

Курсовая работа по дисциплине «Численные методыоптимизации»

Выполнил: ст.гр.4408 Калинкин А.А.

Казанский Государственный Университет им. А.Н.Туполева.

г. Казань 2001г.

1. Постановка задачи

1.1. Физическая (техническая) постановка задачи

Нефтеперерабатывающий завод получает четыреполуфабриката:

400 тыс. л. алкилата;

250 тыс. л. крекинг-бензина;

350 тыс. л. бензина прямой перегонки;

250 тыс. л. изопентона;

В результате смешивания этих четырёх компонентов вразных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:

Бензин А – 2: 3: 5: 2 ;

Бензин В – 3: 1: 2: 1 ;

Бензин С – 2: 2: 1: 3 ;

Стоимость 1 тыс.л. указанных сортов бензина:

Бензин А – 120 руб.

Бензин Б – 100 руб.

Бензин С – 150 руб.

Необходимо определить план смешения компонентов, прикотором будет достигнута максимальная стоимость все продукции. При следующихусловиях:

Бензина каждого сорта должно быть произведено не менее300 тыс… л.

Неиспользованного крекинг бензина должно остаться неболее 50 тыс.л.

Сводная таблица условий задачи:

Компоненты, используемые для производства трёх видов бензина. Сорта производимого бензина

Объем ресурсов

(тыс. л)

А В С Алкилат

/>

/>

/>

400 Крекинг-бензин

/>

/>

/>

250 Бензин прямой перегонки

/>

/>

/>

300 Изопентат

/>

/>

/>

250 Цена бензина (рублей за 1 тыс.л.) 120 100 150

1.2. Математическая постановка задачи

Исходя из условий задачи, необходимо максимизироватьследующую целевую функцию:

/>                                                               (1.2.1)

при ограничениях

/>                                                   (1.2.2)

/>,где />

В этих выражениях:

/> -объемы бензина А-го, В-го и С-го сорта соответственно.

Тогда

/>объёмная доля первой компоненты (алкилата)в бензине А.

/>объёмная доля первой компоненты (алкилата)в бензине В.

/>объёмная доля первой компоненты (алкилата)в бензине С.

и т.д.

Целевая функция /> выражаетстоимость всей продукции в зависимости от объема производимого бензина каждогосорта. Таким образом, для получения максимальной стоимости продукции необходимомаксимизировать целевую функцию /> (1.2.1) ссоблюдением всех условий задачи, которые накладывают ограничения (1.2.2) на />.

2. Приведение задачи к канонической форме

Задача линейного программирования записана вканонической форме, если она формулируется следующим образом.

Требуется найти вектор />,доставляющий максимум линейной форме

/>                                                                                    (2.1)

при условиях

/>                                                                                    (2.2)

/>                                                                                                          (2.3)

где />

Перепишем исходную задачу (1.2.1) — (1.2.2):

/>                                                               (2.4)

при ограничениях

/>                                                    (2.5)

/>,где /> (2.6)

В канонической форме задачи линейного программированиянеобходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, авсе остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задачеобязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2),обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).

Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям(2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) — (2.6) к каноническойформе мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесемсвободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, отстарых переменных /> перейдем к новымпеременным/>, где />:

/>,/>.

Выразим теперь старые переменные через новые

/>,/>                                                                           (2.7)

и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства(2.5), (2.6). Получим

/>

/>

   />, где />.

Раскрывая скобки и учитывая, что

/> (2.8),

можем окончательно записать:

/>                                         (2.9)

/>                                   (2.10)

/>,где /> (2.11)

Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2)свели к задаче (2.9) — (2.11) с меньшим числом ограничений.

Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введемнеотрицательные дополнительные переменные />,и задача (2.9) — (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:

/>                                                   (2.12)

/>                                 (2.13)

/>,где />                                                                             

Задача (2.12), (2.13) имеет каноническую форму.

3. Нахождение начального опорного плана с помощью L-задачи

Начальный опорный план задачи (2.1) — (2.3),записанной в канонической форме, достаточно легко может быть найден с помощьювспомогательной задачи (L-задачи):

/>                                                                                             (3.1)

/>                                                                         (3.2)

/>                                                                                       (3.3)

Начальный опорный план задачи (3.1) — (3.3) известен.Он состоит из компонент

/>                                                    

и имеет единичный базис Б = />= E.

Решая вспомогательную задачу первым алгоритмомсимплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченностилинейной формы />сверху на множествесвоих планов (/>) получим, чтопроцесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорномуплану вспомогательной задачи.

Пусть />-оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда /> является опорным планомисходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные />. Значит, />удовлетворяет условиямисходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) — (2.13). Попостроению план />является такжеопорным.

3.1. Постановка L-задачи

Вспомогательная задача для нахождения начальногоопорного плана задачи (2.12) — (2.13) в канонической форме состоит в следующем.

Требуется обратить в максимум

/>

при условиях

/>

/>,где />.

/> <td/> />
рассматривая в качестве исходного опорного планаплан

Здесь добавление только одной дополнительнойпеременной /> (вместо пяти) обусловленотем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А4,А5, А6, А7.

3.2. Решение L-задачи

Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первымалгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составимтаблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).

Т.к. Б0= />-базис, соответствующий известному опорному плану/>,является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов Аjпо базису Б0

/>.

Значение линейной формы /> иоценки /> для заполнения (m+1)-йстроки таблицы определяются следующими соотношениями:

/>,

/>.

Отсюда получим:

/>;

/>;

/>;

/>.

Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1,которая состоит из 2 частей, отвечающих 0-й (исходная таблица) и 1-й итерациям.

Заполняем таблицу 0-й итерации.

Среди оценок /> имеютсяотрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдемк новому базису. В базис будет введен вектор А1 с наименьшей оценкой/>. Значения tвычисляются для всех позиций столбца t (т.к. все элементы разрешающегостолбца положительны). Наименьший элемент /> достигаетсяна пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, ивектор А9 подлежит исключению из базиса.

Составим таблицу, отвечающую первой итерации.

В столбце Бх, в пятой позиции базиса местовектора А9 занимает вектор А1. Соответствующий емукоэффициент линейной формы С41 = 0 помещаем в столбец Сх.Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии срекуррентными формулами. Так как все />, тоопорный план /> является решением L-задачи.Наибольшее значение линейной формы равно />.

Таблица 3.2.1

/>

3.3. Формирование начального опорного плана исходнойзадачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи

Поскольку />, где /> />-оптимальный опорный план L-задачи, то /> />является начальным опорнымпланом исходной задачи (2.12) — (2.13).

4. Решение исходной задачи Iалгоритмом симплекс-метода

Описание Iалгоритма

Симплекс-метод позволяет, отправляясь от некоторогоисходного опорного плана и постепенно улучшая его, получить через конечноечисло итераций оптимальный план или убедиться в неразрешимости задачи. Каждойитерации соответствует переход от одной таблицы алгоритма к следующей. Таблица,отвечающая опорному плану в ν-й итерации имеет вид табл. 4.1.

Таблица 4.1

C

/>

/>

/>

/>

N

/>

/>

B

/>

/>

/>

/>

t 1

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

l

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

m

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

m+1 – –

/>

/>

/>

/>

/>

Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорномуплану (0-й итерации). Пусть /> некоторыйопорный план задачи (2.1) — (2.3) с базисом />. Тогда /> –базисные компоненты, а /> –небазисные компоненты.

Вычисляем коэффициенты разложения векторов Аjпо базису Б0

/> (вслучае, если Б0является единичной матрицей, />)

и находим оценки />.Далее определяем значение линейной формы

/>

Полученные результаты записываем в таблицу 4.1.

В первом столбце N таблицы указываются номера строк.Номера первых m строк совпадают с номерами позиций базиса. Во второмстолбце Сх записываются коэффициенты />линейнойформы при базисных переменных. Столбец Бх содержит векторы базиса />. В столбце В записываютсябазисные переменные /> опорного плана.Столбцы />содержат коэффициенты />разложения соответствующихвекторов условий /> по векторам базиса.Все вышесказанное относится только к первым m строкамтаблицы. Последняя (m+1)-я строка таблицы заполняется последовательнозначением линейной формы F и оценками />. Позициитаблицы, которые не должны заполняться, прочеркиваются.

В результате заполнена таблица 0-й итерации кроместолбца t.

Столбцы В, А1,…, An(все m+1 позиций) будем называть главной частью таблицы.

Порядок вычислений в отдельной итерации. Пустьν-я итерация закончена. В результате заполнена таблица ν заисключением последнего столбца t.

Каждая итерация состоит из двух этапов.

Iэтап: проверка исследуемого опорного плана на оптимальность.

Просматривается (m+1)-я строкатаблицы ν. Если все />, тоопорный план, полученный после ν-й итерации, является оптимальным (случай1), завершаем решение задачи. Пусть теперь имеются отрицательные оценки.Проверяем знаки элементов /> столбцов /> с />. Наличие по крайней мереодного столбца />, для которого /> и все />, свидетельствует онеразрешимости задачи (случай 2). Установив это, прекращаем вычисления.

Если в каждом столбце />,для которого />, содержится хотя бы одинположительный коэффициент />, тоопорный план является неоптимальным (случай 3). Переходим ко IIэтапу.

IIэтап: построение нового опорного плана с большим значением линейной формы.

Определяется вектор Ak,который должен быть введен в базис, из следующего условия

/>.

После этого заполняется последний столбец таблицыν – столбец t. В него записываются отношения базисных переменных /> (элементы столбца В) ксоответствующим составляющим /> (элементыстолбца Ak). Т.о. заполняются только те позиции, для которых />. Если />, то в позиции i столбца tзаписывается />. Вектор базиса />, на котором достигается t0,

/>,

подлежит исключению из базиса (если t0достигается на нескольких векторах, то из базиса исключается любой из них).

Столбец Ak<sub/>, отвечающий вектору,вводимому в базис, и l-я строка, соответствующая вектору />, исключаемому из базиса,называется соответственно разрешающим столбцом и разрешающей строкой. Элемент />, расположенный напересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающимэлементом.

После выделения разрешающего элемента заполняется(ν+1)-я таблица. В l-е позиции столбцов Бх, Схвносятся соответственно Ак, Ск, которые в (ν+1)-йтаблице обозначаются как />, />. В остальные позициистолбцов Бх, Сх вносятся те же параметры, что и в таблицеν.

Далее заполняется главная часть (ν+1)-й таблицы.Прежде всего происходит заполнение ее l-й строки в соответствии срекуррентной формулой

/>.

Рекуррентная формула для заполнения i-й строки(ν+1)-й таблицы имеет вид

/>.

Здесь

/>.

Заполнение главной части (ν+1)-й таблицызавершает (ν+1)-ю итерацию. Последующие итерации проводятся аналогично.Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет получен оптимальный план либобудет установлено, что исследуемая задача неразрешима.

Решение исходной задачи

Весь процесс решения исходной задачи (2.12) — (2.13)приведен в табл. 4.2.

Заполнение таблицы, отвечающей 0-й итерации,происходит на основе табл. 3.2.1 (см. итерацию 1) следующим образом. Главнаячасть таблицы 0-й итерации исходной задачи (за исключением (m+1)-йстроки) полностью повторяет главную часть таблицы заключительной итерации L-задачибез столбца А9. Также без изменений остается столбец базисныхвекторов Бх. Строка С коэффициентов линейной формы исходной задачи истолбец Сх коэффициентов при базисных переменных заполняются исходяиз (2.12). С учетом новых коэффициентов С пересчитываются значение линейнойформы F и оценки />.

Заполнение таблиц, отвечающих последующим итерациям,происходит в соответствии с описанным выше первым алгоритмом.

Таблица 4.2

/>

Решение исходной задачи (2.12) — (2.13) получено за 3итерации. Оптимальный план ее равен /> и />.

Найденное решение /> задачив канонической форме (2.12) — (2.13) соответствует решению /> (4.1) общей задачи линейногопрограммирования (2.9) — (2.11), записанной для новых переменных />. Для общей задачи из (2.9)следует, что /> (4.2).

Вернемся к задаче (1.2.1), (1.2.2) со старымипеременными />. Учитывая (4.1) и (4.2) из(2.7) и (2.8) получим

/>                                                                                              (4.3)

и

/>.                                                     (4.4)

  Таким образом, для получения максимальной цены(142750 руб.) всей продукции необходимо произвести:

450 тыс.л. бензина А из полуфабрикатов в следующихколичествах:

Алкитата />тыс.л.

Крекинг-бензина />тыс.л.

Бензина прямой перегонки />тыс.л.

Изопентона />тыс.л.

/> тыс.л.бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

Алкитата />тыс.л.

Крекинг-бензина />тыс.л.

Бензина прямой перегонки />тыс.л.

Изопентона />тыс.л.

300 тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующихколичествах:

Алкитата />тыс.л.

Крекинг-бензина />тыс.л.

Бензина прямой перегонки />тыс.л.

Изопентона />тыс.л.

5. Формирование М-задачи

Далеко не всегда имеет смысл разделять решение задачилинейного программирования на два этапа – вычисление начального опорного планаи определение оптимального плана. Вместо этого решается расширенная задача(М-задача). Она имеет другие опорные планы (один из них всегда легко указать),но те же решения (оптимальные планы), что и исходная задача.

Рассмотрим наряду с исходной задачей (2.1) — (2.3) вканонической форме следующую расширенную задачу (М-задачу):

/>                                                                (5.1)

/>                                                                         (5.2)

/>.                                                                                       (5.3)

Здесь М>0 – достаточно большое число.

Начальный опорный план задачи (5.1) — (5.3) имеет вид

/>

Переменные /> называютсяискусственными переменными.

Таким образом, исходная задача линейногопрограммирования с неизвестным заранее начальным опорным планом сводится кМ-задаче, начальный опорный план которой известен. В процессе решения этойрасширенной задачи можно либо вычислить оптимальный план задачи (2.1) — (2.3),либо убедиться в ее неразрешимости, если оказывается неразрешимой М-задача.

В соответствии с вышеизложенным имеем: требуетсярешить задачу (2.12), (2.13), записанную в канонической форме. Введемискусственную неотрицательную переменную х9 и рассмотрим расширеннуюМ-задачу

/>                                     (5.4)

при условиях

/>                 (5.5)

/>,где />.

где М – сколь угодно большая положительная величина.

Как и в L-задаче, добавление только одной искусственнойпеременной /> (вместо пяти) обусловлено тем,что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А4, А5,А6, А7.

6. Решение М-задачи IIалгоритмом симплекс-метода

Описание II алгоритма

Второй алгоритм (или метод обратной матрицы) симплексметода основан на ином способе вычисления оценок /> векторовусловий Аj, чем в первом алгоритме.

Рассматривается задача линейного программирования вканонической форме (2.1) — (2.3). Пусть Х – опорный план с базисом />.Все параметры, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода клучшему плану, можно получить, преобразовывая от шага к шагу элементы матрицы />.

Действительно, зная обратную матрицу />, можно получить базисныесоставляющие опорного плана:

/>

и вычислить оценки векторов условий относительнотекущего базиса

/>,                                                                      (6.1)

предварительно определив вектор-строку /> по формуле

/>

или

/>.                                                                  (6.2)

Здесь />-вектор-строка из коэффициентов линейной формы, отвечающих базисным переменным.

Оценки /> позволяютустановить оптимальность рассматриваемого опорного плана и определить вектор Ак,вводимый в базис. Коэффициенты /> разложениявектора Ак по текущему базису вычисляются по формуле

/>.

Как и в I алгоритме, вектор, подлежащий исключению избазиса, определяется величиной

/>.

Таким образом при втором алгоритме на каждом шагезапоминаются базисные компоненты />, обратнаяматрица />, значение линейной формы F(X) ивектор Y, соответствующие текущему опорному плану Х. Элементыстолбцов матрицы /> удобнорассматривать как коэффициенты /> разложенияединичных векторов /> по векторамбазиса. Рекуррентные формулы, связывающие параметры двух последовательныхитераций

/>;                                                                                             (6.3)

/>.                     (6.3)

Здесь

/>.

Результаты вычислений сводятся в основные таблицы(вида табл. 6.1) и вспомогательную таблицу (вида табл. 6.2); столбцы В, е1,…, еm основных таблиц (все m+1 позиций) называют главной частью этихтаблиц. Столбец Аk – разрешающий столбец, строка l – разрешающаястрока.

Таблица 6.1                                                                            Таблица 6.2

N

/>

/>

B

/>

/>

/>

t N B

/>

/>

/>

1

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

l

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

m

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

m+1 C

/>

/>

/>

M

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

m+1 – –

/>

/>

/>

/>

– 1

/>

/>

/>

/>

2

/>

/>

/>

/>

… … … … … …

Краткое описание алгоритма.

1. Нулевая итерация:

а) составляется вспомогательная табл. 6.2, в которуювносятся параметры задачи; дополнительная строка таблицы с номером νзаполняется по мере выполнения ν-й итерации;

б) составляется основная табл. 6.1 с номером 0, вкоторой заполняются первые m строк, за исключением последних двух столбцов Аk иt. Элементы /> и /> определяются скалярнымипроизведениями (Cx, ej) и (Cx, B)соответственно. Нулевая итерация заканчивается заполнением нулевойдополнительной строки вспомогательной таблицы с оценками />.

2. (ν+1)-я итерация.

Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполненаν-я основная таблица, за исключением двух последних столбцов, и ν-ядополнительная строка вспомогательной таблицы. Просматривается эта строка. Есливсе />, то опорный план /> — решение задачи. Если хотябы одна />, то в базис вводится векторАk с /> (обычно />). После этого заполняетсястолбец /> основной таблицы. В позицию(m+1) этого столбца заносится оценка /> вектора Аk.Остальные элементы этого столбца равны

/>.

Возможны два случая:

все /> - задачанеразрешима;

/> хотябы для одного i. В этом случае, также как и в первом алгоритме,заполняется столбец (t) основной таблицы ν, определяется разрешающийэлемент />. Главная часть заполняетсяпо рекуррентной формуле (6.3). Заполняется (ν+1)-я дополнительная строкавспомогательной таблицы. На этом заканчивается (ν+1)-я итерация.

Решение М-задачи

Таблица 6.3

/>

Таблица 6.4

/>

Задача (5.4), (5.5) имеет опорный план Х0=(0, 0, 0, />, />, />, />,0, />) с базисом />. Следовательно, />. Процесс решения М-задачивторым алгоритмом приведен в основной табл. 6.3 и вспомогательной табл. 6.4.

Решение М-задачи получено за 5 шагов. Оптимальный планее равен /> и />.В оптимальном плане М-задачи искусственная переменная х9 = 0,поэтому /> - решение задачи (2.12), (2.13)и />.

Окончательное решение задачи определения планасмешения компонентов полностью повторяет решение, рассмотренное в завершающейчасти п.4 (см. стр.11-12).

7. Формирование двойственной задачи

Произвольной задаче линейного программированияопределенным образом соответствует некоторая другая задача линейногопрограммирования. Будем называть ее двойственной, а первоначальную задачу –исходной.

Обозначим

/>;/>; />;/>; />    (7.1)

Теперь исходная задача (2.1) — (2.3) в каноническойформе может быть записана в матричном виде следующим образом.

Требуется определить вектор />, обращающий в максимум

/>.                                                                                                   (7.2)

при условиях

AX=B;                                                                                                            (7.3)

/>.                                                                                                            (7.4)

Тогда двойственная задача – определить вектор />, обращающий в минимум

f(Y)=YB                                                                                                                     (7.5)

при условиях

/>.                                                                                                           (7.6)

Транспонируя обе части неравенства (7.6), записанногов виде строки, и учитывая />, получим

/>.                                                                                                    (7.7)

Отметим, что в двойственной задаче переменные yi<sub/>могутбыть и отрицательными.

Рассмотрим в качестве исходной задачу (2.12), (2.13).С учетом (7.1) и (7.7) запишем

С = (120, 100, 150, 0, 0, 0, 0, 0), B = (/>, />,/>, />,/>),

/>

/>.

Двойственная задача имеет вид

/>;    (7.8)

/>                     (7.9)

8. Формирование оптимального решения двойственнойзадачи на основе теоремы о двойственности

Оказывается, что для задач (7.2) — (7.4) и (7.5), (7.6),называемых двойственной парой, справедлива следующая теорема.

Теорема (первая теорема о двойственности). Если однаиз задач двойственной пары (7.2) — (7.4) и (7.5), (7.6) имеет решение, тодругая задача также разрешима. При этом для любых оптимальных планов /> и />(здесь Мх, Му– множества планов соответственно прямой и двойственной задач) задач (7.2) — (7.4)и (7.5), (7.6) имеет место равенство

/>.                                                                                

Если линейная форма одной из задач не ограничена (для F(X)– сверху, для f(Y) — снизу), то другая задача не имеет ни одного плана.

Оптимальное решение двойственной задачи может бытьнайдено на основе следующего следствия из этой теоремы.

Следствие. Если вектор /> являетсяоптимальным опорным планом задачи (7.2) — (7.4), то вектор /> (8.1), является оптимальнымопорным планом задачи (7.5), (7.6).

Стоит отметить, что в ходе решения исходной задачивторым алгоритмом, при каждом шаге вычисляется вектор />. И если Х – оптимальныйопорный план задачи (7.2) — (7.4), то в (m+1)-й строке,соответствующей основной таблице, находится решение задачи (7.5), (7.6).

Пусть двойственная задача имеет вид (7.8), (7.9).

Так как исходная задача (2.12), (2.13) имеет решение,то на основании рассмотренной теоремы о двойственности двойственная задачатакже разрешима.

Оптимальным опорным планом исходной является /> (см. п.4, п.6). При этом

/>;

; />.

Вычислим

/>.

На основании следствия из теоремы о двойственностиможно заключить, что /> являетсяоптимальным планом двойственной задачи, при котором />.Анализируя (m+1)-ю строку основной таблицы (см. табл. 6.3, шаг 5),можно убедиться в том, что оптимальный план двойственной задачи, сформированныйна основе теоремы о двойственности, совпадает с оптимальным планом, найденномпри решении исходной задачи вторым алгоритмом симплекс-метода. Это говорит отом, что оптимальный план задачи (7.8) — (7.9) найден верно.

9. Анализ результатов и выводы

В данной работе рассматриваются два способа решенияисходной задачи линейного программирования.

Первый заключается в том, что сначала решаетсявспомогательная задача (L-задача), позволяющая построить начальный опорныйплан, затем на основе этого найденного плана решается исходная задача(определяется ее оптимальный план). Второй способ является объединением двухэтапов и состоит в решении расширенной задачи (M-задачи), такжеприводящей к нахождению оптимального плана исходной задачи.

Вычислительную основу этих двух способов решениясоставляют соответственно первый и второй алгоритмы симплекс-метода. Один изпараметров, по которому может быть оценен любой итерационный алгоритм –количество шагов, приводящих к решению задачи или установлению ее неразрешимости.Для данной задачи наиболее эффективным методом оказался первый метод(L-задача+ исходная задача), т.к. он привел к решению за 4 шага, а второй метод (M-задача)за 5 шагов. Разница в числе шагов, вероятно, обусловлена неоднозначность выбораразрешающего элемента в исходной таблице L-задачи(3.2.1).

Сравнение количества вычислений на каждой итерацииприводит к следующим оценочным результатам рассматриваемых алгоритмов.Преимущественная часть вычислений на каждом шаге алгоритмов определяется размерностьюглавной части таблицы (в первом алгоритме) или основной таблицы (во второмалгоритме). В первом случае она имеет размерность (m+1)x(n+1), во втором — (m+1)x(m+1). Даже учитывая, что второй алгоритм требует построениявспомогательной таблицы, он оказывается более компактным.

Еще одно несомненное достоинство второго алгоритмазаключается в возможности определения оптимального плана двойственной задачи из(m+1)-й строки основной таблицы, соответствующейпоследней итерации, без всяких дополнительных вычислений.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта www.monax.ru

еще рефераты
Еще работы по математике