Реферат: Моделирование процессов переработки пластмасс

Министерство образованияРеспублики Беларусь

Учреждение образования:“Белорусский государственный технологический университет”

Кафедра автоматизации производственныхпроцессов и электротехники

Расчётно-пояснительная записка

К курсовому проекту по курсу примененияЭВМ в химической промышленности

на тему: Моделирование процессовпереработки пластмасс

                    Разработал: студент

                      Факультета ТОВ 4к. 1 гр.

                    Кардаш А. В.

                    Проверил: Овсянников А. В.

Минск 2004

РЕФЕРАТ

Данная курсовая работа содержит 26  листов печатного текста, 7рисунков, 66 формул.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ,ДИФЕРИНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ВРЕМЯ, ЛИТНИКОВЫЙ КАНАЛ,ОХЛАЖДЕНИЕ, ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ. 

Курсовая работа содержит расчет температурногополя литникового канала  литьевой формы, теоретическиесведения о процессах происходящих в химической технологии связанных сохлаждением и нагреванием материалов, построение математической модели описывающуютеплообмен между бесконечно-длинным цилиндром и его поверхностью,  описание переменных входящих в модель. Разработана программа описывающаяохлаждение полистирольного литника формы.

СОДЕРЖАНИЕ

<span ISOCPEUR",«sans-serif»">

<span ISOCPEUR",«sans-serif»;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold"> TOC o «1-3» h z u

РЕФЕРАТ… PAGEREF _Toc70594414 h 2

СОДЕРЖАНИЕ… PAGEREF _Toc70594415 h 3

ВВЕДЕНИЕ… PAGEREF _Toc70594416 h 4

1.АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ… PAGEREF _Toc70594417 h 5

1.1Неограниченный цилиндр.PAGEREF_Toc70594418 h 5

1.2Описание переменных… PAGEREF _Toc70594419 h 5

1.3Граничные условия. PAGEREF _Toc70594420 h 5

2ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ… PAGEREF _Toc70594421 h 6

2.1Теплообмен… PAGEREF _Toc70594422 h 6

2.1.1Теплопроводность. PAGEREF _Toc70594423 h 6

2.1.2.Теплопередача в стационарном режиме.PAGEREF _Toc70594424 h 7

2.1.3.Нестационарная теплопроводность.PAGEREF _Toc70594425 h 7

2.2.Нагревание и охлаждение тел простой геометрической формы… PAGEREF _Toc70594426 h 8

2.2.1.Плоская неограниченная пластина.PAGEREF _Toc70594427 h 8

2.2.2Неограниченный цилиндр.PAGEREF_Toc70594428 h 10

2.3.Теплопроводность    в    процессах,    сопровождающихся изменением физическогосостояния. PAGEREF _Toc70594429 h 11

2.3.1.Плавление в области х > 0.PAGEREF _Toc70594430 h 12

2.3.2.Затвердевание.PAGEREF _Toc70594431 h 12

2.3.3Плавление с непрерывным удалением расплава.PAGEREF _Toc70594432 h 13

2.4.Теплопередачав потоках расплава… PAGEREF _Toc70594433 h 13

2.5.Лучистый теплообмен… PAGEREF _Toc70594434 h 15

3.СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА.PAGEREF _Toc70594435 h 17

3.1.Специфика построения математических моделей описывающих термодинамическиепроцессы… PAGEREF _Toc70594436 h 17

3.2.Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.PAGEREF _Toc70594437 h 17

4СОСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА… PAGEREF _Toc70594438 h 20

5СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ… PAGEREF _Toc70594439 h 22

6АНАЛИЗ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЁТОВ… PAGEREF _Toc70594440 h 24

СПИСОКИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ… PAGEREF_Toc70594441 h 25

ПРИЛОЖЕНИЕ1. PAGEREF _Toc70594442 h 26

ПРИЛОЖЕНИЕ2. PAGEREF _Toc70594443 h 27

<span ISOCPEUR",«sans-serif»">

ВВЕДЕНИЕ

Переработка полимерных материалов— это совокупность техноло­гических приемов, методов и процессов, посредствомкоторых ис­ходный полимер превращают в различные изделия с заданными эксплуатационными характеристиками.

Полимерыначали перерабатывать в конце XIXв., а к сере­динеXXв. переработка полимеров выделилась всамостоятельную область техники, в которой используется специализированное вы­сокопроизводительное оборудование, необходимое дляреализации в промышленных масштабахспецифических для полимеров техно­логических процессов.

Вследствие большойпроизводительности современного перера­батывающего оборудования и высокойстоимости технологических линий проведение экспериментальных исследованийреального про­цесса переработки полимеров,даже осуществленных с примене­нием современных методов экстремальногопланирования, пре­вращается в дорогостоящую и продолжительную работу. Поэтому целесообразно изучать особенность каждогоконкретного процесса, рассматривая вначале его теоретическое описание,т. е. его мате­матическую модель.

При такомподходе в каждом конкретном случае этапу физи­ческого эксперимента (будь то создание несложной установки, конструирование технологической линии илиопробование нового технологическогорежима) всегда предшествует этап теоретиче­ского эксперимента. На этом этапе нет необходимости прибегать креальным экспериментам, вместо этого исследуются количествен­ные характеристики процесса, полученные расчетнымметодом.

Такой подходпозволяет существенно снизить объем физиче­ского эксперимента, поскольку прибегать  к нему приходится на самой последней стадии — нев процессе поиска основных законо­мерностей, а для проверки и уточнения выданныхрекомендаций. Разумеется,для того чтобы исследуемые теоретические модели процессов описывали эти процессы с достаточнохорошим прибли­жением,они непременно должны учитывать основные особенно­сти моделируемых явлении.

При математическом описании реальных производственных процессов приходитсяприбегать к существенным упрощениям.При этом значительную помощь в созданииматематических моделей оказывает анализ простых слу­чаев. Прием такого рода вполне допустим, он позволяет независимоустанавливать основныезакономерности наиболее простых случаев выбранных в качестве математического аналога поведенияполимерных расплавов.

Термодинамические соотношения,описывающие разогрев и плавление полимеров,являются фундаментом, на базе которого строятсянеизотермические модели реальных процессов перера­ботки. Основные вопросы термодинамики итеплопередачи в поли­мерах рассмотреныв данной работе.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

1

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

 Разраб.

<span ISOCPEUR",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:Arial">Кардаш А. В.

 Провер.

<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:RU">Овсянников А

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:RU">В<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language: RU"> ВА. В.

 Реценз.

 Н. Контр.

 Утверд.

<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:RU">Овсянников А

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:RU">В

АНАЛИЗ

ИСХОДНЫХ

ДАННЫХ

Лит.

Листов

Лит.

АППиЭ-2004

<img src="/cache/referats/17082/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075">1. АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ1.1 Неограниченныйцилиндр.

 Рассмотрим неограниченный цилиндррадиуса R,температура поверхности которого остается неизменной на протяжении всегопроцесса теплообмена. Радиальное распределение температур в начальный моментзадано в виде некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределениетемператур. Такие задачи встречаются при расчете процессов охлажденияполимерного волокна, затвердевания литников литьевых форм и т. п.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра имеет вид:

                                                    <img src="/cache/referats/17082/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1025">                                    (1.1)

Краевые условия:         <img src="/cache/referats/17082/image005.gif" v:shapes="_x0000_i1026">                                                                (1.2)

 <img src="/cache/referats/17082/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1027">                                                       (1.3)

 <img src="/cache/referats/17082/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1028">                                                          (1.4)

Решение, полученное методом разделения переменных, имеет сложный  вид потому задачей данной работы являетсянайти численное его решение.

1.2 Описаниепеременных

Уравнение теплопроводности устанавливает зависимость между следующимивеличинами характеризующими процесс теплопроводности:

T-температурапо Цельсию (градус)

r-радиусцилиндра  (М)

t-время(С)

a-коэффициенттемпературопроводности (градус/с*м2)

21.3 Граничные условия

Для решения данного дифференциального уравнения в частных производныхнеобходимыми данными является значения производных температуры по радиусу  на оси цилиндра, которая должна быть равнойнулю (1.4).

Температуру стенки цилиндра, через которую происходит охлаждениелитника  примем равной 30 градусов.

                                          <img src="/cache/referats/17082/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1029">                                                                (1.5)

 Радиус литника обычно составляет0.01 м.

                                        R=0.01                                                                  (1.6)

 Распределение температуры вначальный момент времени по радиусу задано в виде убывающей экспоненциальной функции, чтобы производнаятемпературы по

времени на оси цилиндра была равной нулю, радиус возводим в квадрат (1.7)

<img src="/cache/referats/17082/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1030">                                               (1.7)

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

6

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

 Разраб.

<span ISOCPEUR",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:Arial">Кардаш А. В.

 Провер.

<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:RU">Овсянников А

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:RU">В.

 Реценз.

 Н. Контр.

 Утверд.

<span Arial",«sans-serif»; mso-ansi-language:RU">Овсянников А

<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:RU">В

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Лит.

Листов

9

АППиЭ-2004

-2004

<img src="/cache/referats/17082/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154 _x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164 _x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175">2 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ2.1 Теплообмен

Различают три вида теплообмена: теплопроводность, теплопередача конвекциейи лучистый теплообмен.

Передача тепла за счет теплопроводности осуществляется в результатедвижения молекул, атомов и электронов; она играет значительную роль притеплообмене в твердых и расплавленных полимерах. При конвекции, котораявозможна только в жидкостях и газах, тепло передается за счет относительногодвижения частиц нагретого тела. При лучистом теплообмене передача тепла междупространственно разделенными частями тела происходит за счет электромагнитногоизлучения.

2.1.1 Теплопроводность

Основной задачей теории теплопроводности является установлениераспределения температур внутри тела. Если распределение температур не зависитот времени, то задача теплопроводности является стационарной; еслираспределение температур зависит от времени, то задача становитсянестационарной.

Передача тепла происходит во всех случаях, когда в теле существуеттемпературный градиент. По закону Фурье, который лежит в основе всех расчетовтеплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового потока qпропорционален температурному градиенту:

                                               <img src="/cache/referats/17082/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1031">                                                    (2.1)

где q — количество тепла, проходящего через единичную поверхность,перпен­дикулярную направлению теплового потока;

k — коэффициент теплопроводности.

Полагая в уравнении энергетического баланса V = О, получим:

<img src="/cache/referats/17082/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1032">                                               (2.2)

Уравнение (2.2) представляет собой уравнение теплопроводности дляизотропного твердого тела.

Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение (2.2)необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение

<img src="/cache/referats/17082/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1033">                                 (2.3)

где <img src="/cache/referats/17082/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/17082/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> на <img src="/cache/referats/17082/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> в уравнении (2.3)возможна для несжимаемых твердых тел];

 <img src="/cache/referats/17082/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> — оператор Лапласа впрямоугольной системе координат

<img src="/cache/referats/17082/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1038">               (2.4)

G — интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице объема.

Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного излученияв полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических реакций и т. п.

2.1.2.Теплопередача в стационарном режиме.

Теплопередачу в непрерывно действующих нагревательных системахперерабатывающего оборудования можно рассматривать как независящую от времени. Следовательно,распределение температур носит установившийся характер и определяетсяинтегрированием дифференциального уравнения (2.5)

                                           <img src="/cache/referats/17082/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1039">                                           (2.5)

2.1.3.Нестационарная теплопроводность.

 Вбольшинстве случаев в реальных процессах переработки приходится иметь дело снестационарным режимом теплопроводности, когда полимер подвергают нагреву илиохлаждению (например, охлаждение в форме отлитого изделия). Теоретическиеисследования процесса нестационарной теплопроводности представляют собойобширный раздел математической физики. Решения, получаемые в результатеинтегрирования уравнения (2.5), представляют собой функции времени и пространственныхкоординат, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четырерода граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур наповерхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени; впростейшем случае, если положение границ определяется одним числом (например,расстоянием L), такие граничные условия математически определяются выражениемвида (2.6):

<img src="/cache/referats/17082/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1040">                                                    (2.6)

Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой точкиповерхности тела как функция времени:

                                      <img src="/cache/referats/17082/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1041">                                                           (2.7)

Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе итемпература контактирующей с граничной поверхностью среды:

                                      <img src="/cache/referats/17082/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1042">                                (2.8)

Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей средойпо закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся в тепловомконтакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):

<img src="/cache/referats/17082/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1043">                                                          (2.9)

<img src="/cache/referats/17082/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1044">                                               (2.10)

Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большимнабором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразиезадач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время полученыаналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусеи в сфере.

2.2. Нагревание иохлаждение тел простой геометрической формы2.2.1. Плоскаянеограниченная пластина.

Под неограниченной обычно понимают такую пластину,ширина и длина которой во много раз превышают толщину. Таким образом,неограниченная пластина (рис. 2.1) представляет собой тело, ограниченное двумяпараллельными плоскостями. Изменение температуры происходит только в одномнаправлении (х), в двух других направлениях (у и z) температура неизменна.

                                        <img src="/cache/referats/17082/image044.jpg" v:shapes="_x0000_i1045">

Рис. 2.1. Положение   координат  при исследовании теплового процесса в неограниченной пластине.

Следовательно, задача является одномерной. Для одномерного теплового потокабез внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится к виду:                                               <img src="/cache/referats/17082/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1046">                                                        (2.11)

Обычно используют граничные условия третьего рода:

<img src="/cache/referats/17082/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1047">                              (2.12)

Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во всехточках была одинакова и равна То. Это начальное условие записывается в виде:

                                      <img src="/cache/referats/17082/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1048">                                                            (2.13)

Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:

<img src="/cache/referats/17082/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1049">     (2.14)

Здесь  <img src="/cache/referats/17082/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1050">— безразмернаятемпература;

<img src="/cache/referats/17082/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1051">— критерий Фурье(критерий гомохронности для процессов чистой теплопроводности );

<img src="/cache/referats/17082/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

<img src="/cache/referats/17082/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1053">— функция  ошибок, где <img src="/cache/referats/17082/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1054">;

<img src="/cache/referats/17082/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданиюпостоянной температуры на стенке), уравнение (2.14) упрощается:

                                               <img src="/cache/referats/17082/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1056">                                         (2.15)

Для прикидочных расчетов удобно пользоваться номограммой зависимости <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">q

от <img src="/cache/referats/17082/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1057">  представленной нарис.2.2 

                              <img src="/cache/referats/17082/image070.jpg" v:shapes="_x0000_i1058">

Рис.2.2  Номограммадля определения безразмеоной температуры в сечении неограниченной пластины при <img src="/cache/referats/17082/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Если значение критерия Фурье велико, но не равно бесконечности, решениеимеет вид:

                                               <img src="/cache/referats/17082/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1060">                            (2.16)

Здесь                             <img src="/cache/referats/17082/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1061">                                  (2.17)

где <img src="/cache/referats/17082/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

<img src="/cache/referats/17082/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1063">                                                           (2.18)

где Bi= aw/<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

— критерий Био.

Уравнение (2.18) имеет бесчисленное множестводействительных положительных корней. Первые пять корней для различных значенийкритерия Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуютсяномограммами. Номограмма позволяющая определить безразмерную температуру при различных значениях критерях Био приведенана рис.2.3

                           <img src="/cache/referats/17082/image082.jpg" v:shapes="_x0000_i1064">

Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмернойтемпературы поверхности неограниченной пластины.

Ана­логичная номограмма, предназ­наченнаядля определения тем­пературы в центре пластины, при­ведена на рис.2.4.

                                               <img src="/cache/referats/17082/image084.jpg" v:shapes="_x0000_i1065">    

Рис. 2.4   Номограмма   для определения  безразмерной температуры в серединенеограниченной пластины

2.2.2 Неограниченныйцилиндр.

Рас­смотрим неограниченныйцилиндр радиуса R, температура поверх­ности которого остается неизмен­ной на протяжениивсего процес­са теплообмена. Радиальное рас­пределение температур в началь­ныймомент задано в виде некоторой функции Т(r). Необходимо найтираспределение температур определения в цилиндрев  любой  момент  времени. Задачитакого типа встречаются при расчетепроцессов охлаждения полимерного волокна, затвердевания литников литьевых форми т. п.

Дифференциальное уравнениетеплопроводности для цилиндра

имеетвид:                  <img src="/cache/referats/17082/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1066">                                                      (2.19)

Краевые условия:       

<img src="/cache/referats/17082/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1067">                                     

Решение, полученное методом разделения переменных,в без­размерной форме, имеетвид:

        <img src="/cache/referats/17082/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> (2.20)

Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определимсреднюю температуру как:

                                      <img src="/cache/referats/17082/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1069">                                                      (2.21)

Тогда безразмерная средняя температура определитсясоотноше­нием:                          <img src="/cache/referats/17082/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1070">                              (2.22)

где <img src="/cache/referats/17082/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> <img src="/cache/referats/17082/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> — корни функцииБесселя первого рода нулевого порядка определяемые выражением:

<img src="/cache/referats/17082/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1073">                                                        (2.23)

Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простымэкспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10 приведена номограмма зависимости между <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q

и Fo.

         <img src="/cache/referats/17082/image100.jpg" v:shapes="_x0000_i1074">

Рис. 2.5 Номограмма дляопределения зависимости   между  безразмерной средней избы­точной температуройи критерием Фурье в случае неограниченного цилиндра.

2.3. Теплопроводность    в   процессах,    сопровождающихсяизменением физического состояния

Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится встречаться сзадачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся изменениемфизического состояния (плавлением или затвердением). Теоретическое рассмотрениезадач такого типа впервые выполнено Нейманном.

Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором дляупрощения теплофизические характеристики расплава и твердого полимера будем считатьодинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна λ, а температураплавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и жидкойфазами через Х(t). Тогда одно из граничных условий которое должноудовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде:

                                               Ts= Tm= Tn   при X=X(t)                                       (2.24)

Индекс s указывает, что соответствующая величина относится к твердой фазе(например, ρs — плотность твердой фазы). Соответственно индексm указывает, что величина относится к жидкой фазе.

Второе граничное условие касается поглощения (или выделения) скрытойтеплоты на поверхности раздела. Предположим, что в области x>x(t) находитсяжидкость при температуре Тт(х, t), а в области x=x(t) —твердая фаза при температуре Ts(xtt).

Еслиповерхность раздела перемещается на расстояние dx, то в элементе объемавещества выделяется и должно быть отведено врезультатетеплопроводности количество тепла, в пересчете на единицу поверхности равное <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-fo