Реферат: Число как сущее

Министерство образования РФ

Государственный УниверситетГуманитарных Наук

 

ЭССЕ

 

ПО МАТЕМАТИКЕЧИСЛО КАК СУЩЕЕ

Выполнила: студентка Iкурса факультетаполитологии

Николаевой Екатерины Алексеевны

   Проверил: Шикин Е. В.

Москва, 2003

ПЛАН:

1)<span Times New Roman"">  

Число как сущее;

2)<span Times New Roman"">  

Арифметика пифагорейцев;

3)<span Times New Roman"">  

Единица и двоица;

4)<span Times New Roman"">  

Мера. Математическое и идеальное число;

5)<span Times New Roman"">  

Число и величина;

6)<span Times New Roman"">  

Используемая литература.ЧИСЛО КАК СУЩЕЕ

         Числопонимается и принимается (многими) античными мыслителями как перваясущность, определяющая все многообразные внутрикосмические связи мира,основанного на мере и числе, соразмерного (симметричного) и гармоничного. Какимже мыслителям свойственен такой взгляд?

         Средигреческих мыслителей прежде всего пифагорейцы, а вслед за ними и академикиобращали особое внимание на роль числа в познании и конституировании мира:«Числу все вещи подобны», — утверждает Пифагор. Не следует, однако, пониматьэто утверждение так, как истолковывает его Аристотель, а именно, что все вещисостоят из числа, поскольку число допустимо лишь мыслить, но нельзя искатьсреди вещей. Как поясняет просвещенная Теано, «и многие эллины, как мнеизвестно, думают, будто Пифагор говорил, что все рождается из числа. Но этоучение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслитсяпорождающим? Между тем, он говорил, что все возникает не из числа, а согласночислу, так как в числе – первый порядок, по причастности которому и в счислимыхвещах устанавливается нечто первое, второе и т. д.»

         Такимобразом, число выступает как принцип познания и порождения, ибопозволяет нечто различать, мыслить как определенное, вносить предел в мир имысль. Поэтому число – первое из сущего, чистое бытие, — как таковое оноесть нечто божественное: «…Природа числа, — говорит Филолай, — познавательна,предводительна и учительна для всех во всем непонятном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни однаиз вещей – ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому, если быне было числа и его сущности». Число есть чистое идеальное бытие, первый образбезобразного Блага и первый прообраз всего существующего. Поэтому число –наиболее достоверное и истинное, первое во всей иерархии сущего, началокосмоса.

         Числоиграет первенствующую роль и в так называемом неписанном, или эзотерическом,учении Платона, незафиксированном в текстах самого Платона и дошедшем до наслишь в реконструированном виде из отдельных свидетельств его учеников ипоследователей. Согласно этому учению, следы которого мы находим у Аристотеля,его ближайшего ученика Теофраста и позднеантичных неоплатоников, в основе всеголежит единица – начало тождественности, принцип формы и неопределенная двоица –принцип инаковости, или материи, которыми и порождается вся иерархия сущего –эйдосы и числа, души и геометрические объекты, физические тела. Принцип числаоказывается тем основанием, на котором покоится (более позднее) античноемиросозерцание с его обостренным переживанием бытия, присутствующего в космосе,но не смешанного с ним.

АРИФМЕТИКА ПИФАГОРЕЙЦЕВ

 

         Варифметике пифагорейцев основным (и, может быть, первоначальным) следуетсчитать прежде всего деление чисел на четные, нечетные и четно-нечетноепервичное число (единица). Этому тройному делению составляют параллель три видачисел, открытых пифагорейцами: так называемые квадратные, прямоугольные итреугольные числа. Квадратные числа получаются через сложение нечетных: 1+3=4=22,1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42 и т.д. Прямоугольные числаполучаются через сложение четных: 2+4=6=2 х 3; 2+4+6=12=3 х 4 и т.д.Треугольные числа получаются через сложение по порядку четных и нечетных чисел:

1+2+3+…+n=

в пифагорейской школе рано было открыто такжевзаимоотношение квадратов чисел (учение о сумме квадратов чисел). Далее у нихмы находим учение о средних величинах, т.е. о пропорциях и отношениях величин.Насчитывалось всего десять видов «средних величин». Из них три вида: такназываемое арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее вошли всовременную математику под названием непрерывных пропорций (арифметическаянепрерывная пропорция а – с=с х b, геометрическая а: с=с: b,и гармоническая (а – b):(b — c)=a:c;таким образом, среднее арифметическое двух величин равно     , среднее геометрическое аbи среднее гармоническое     . из пифагорейской же школы вышла Пифагорова таблица умножения,вписанная в четырехугольник. Размышляя над основаниями математического счетапривели пифагорейцев к поклонению священной декаде. Все остальные числа сутьдля них простые повторения первых десяти. Декаду они отождествляли с четверкой,так как сумма первых четырех чисел равна 10. священными числами считались попреимуществу единица, как первоначало чисел, троица, так какистинное единство представлялось им триединством, четверица, какзаключающая в себе тайну декады, и, наконец, сама десятка.

         Кпифагорейским открытиям в геометрии принадлежит прежде всего так называемаяПифагорова теорема  (в прямоугольномтреугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Другая теорема,открытая Пифагором, говорит о сумме углов в треугольнике (=2d).Сам Пифагор открыл несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">[1].В стереометрии пифагорейцы первые открыли 5 правильных геометрических тел: куб,тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

ЕДИНИЦА И ДВОИЦА

 

         Какимже образом образуется само число? Главная роль здесь отводится единице. Единица– первое и наиболее точное отображение первоединого Блага. Единица и естьпервое начало – сущего, познания, самого числа. Единица – 1) перваяиз сущего, само мыслимое бытие. Единица – 2) вне становления,представляет единое – начало сущего, не подверженное возникновению, и посуществу есть начало объединяющее, сдерживающее и отъединяющее бытие отстановления. Далее, единица 3) проста, бесчастна и неделима, не имеетникаких частей.  По точномуопределению Евклида, 4) единица «есть то, через что каждое из существующихсчитается единым», т.е. само то обстоятельство, что вещи в мире текучего ипреходящего все же отдельны, единичны, обусловлено предшествованием импо бытию единицы. Потому-то 5) единица – проявление первоединого – и естьпервое начало всего, также и самого числа, и его мера. Итак, по словамлатинского неоплатоника Макробия, единица – образ единого, источник и началочисла, монада, прообраз, — начало и конец всех вещей.

         Нарядус одной-единственной единицей должно быть и начало множественности, отличное отединицы (ибо она одна), начало мультиплицирующее и размножающее. Подобноеначало пифагорейцы, а вслед за ними платоники называют неопределеннойдвоицей.

         И еслиединица – начало точности, определенности и неизменности, то двоица –неточности, неопределенности и изменчивости. Двоица представляетмножественность, чистую инаковость, неупорядоченность  и неоформленность. Поэтому-то двойка –1)вторая, последующая после единицы, есть самый принцип следования;более того, она представляет оконченность иерархии целого как материя. Двоица,или диада, 2) ответственна за наличие в мире неравного и становящегося,поэтому она – неопределенное, т.е. «большое и малое», «более или менее». Двойка– 3) составная, имеет части, делима. Кроме того, благодаря ей 4) всякоесуществующее стремится покинуть свое наличное состояние, превратиться во что-тодругое. Наконец, 5) диада не может служить мерой, хотя тоже являетсяначалом.

         Двоица– это принцип рефлексии (именно поэтому без нее, без инаковости, нет нибытия, ни познания), она как бы зеркало, зависящее от первого, от единицы,отражающее то, чем само не обладает, зависящее от первого, единицы и тем самым«расставляющее», размножающее ее, неумножимую саму на себя. Синтез же двухначал впервые проявляется в тройке.

         Междутем единица – не число, а основание числа. Единица выступает какформа числа (позитивный принцип), а двоица – его материя (негативный принцип).Принцип множественности, обращенный на саму первую и единственную единицу,умножает ее в две и в бесконечное множество единиц, ибо там, где положенодругое, второе, положено и все множество единиц. Из этих-то неделимых, нотеперь уже многих единиц и состоит число – не механическая их сумма, но органическое,синтетическое единство.

         Такимобразом, число – это синтез предела и беспредельного, тождественного иинакового, едино-множественное.

         Междутем, пифагорейцами было открыто свойство несоизмеримости величин;например, в отношении диагонали квадрата к его стороне неизбежно присутствуетнекая иррациональность, поскольку отношение это не может быть выражено ничислом, ни соотношением чисел, — стало быть, его нельзя помыслить (хотя и можнопредставить наглядно в воображении). Это не значит, что  числа сами по себе несоизмеримы: их меранеизменна – это неделимая единица, — но значит, что даже число оказываетсянеспособным всецело, до конца и без остатка измерить, определить и пронизатьсобой видимый мир. Помимо неизменных точных чисел и эйдоса, в мире всегдаприсутствует некая аберрация, искажение, которое не может быть отменено ипознано даже числом.

МЕРА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО

 

         Совершенноособое место в греческом умосозерцании занимает понятие меры. «Ничего слишком»,ничего сверх меры, — один из фундаментальных и в то же время наиболеесокровенных заветов античной культуры может служить тому подтверждением.Все, что превышает меру, уклоняется в ту или иную крайность, необузданное ичрезмерное, и представляет становящееся ко злу и обреченное смерти.

         Поэтомудля греков мудрый и свободный – тот, кто блюдет во всем меру. Мера же преждевсего связана с числом, ибо мера – точна, вне приблизительности инепознаваемости «более или менее», определенна, т.е. причастна пределу, и, каки истинное знание, не может быть иной.        

         Античныемыслители вводят разнообразные и весьма тонкие различения, связанные с числом,предпринимая попытки, особенно частные в поздней античности, в неопифагореизмеи неоплатонизме, истолкования значений тех или иных чисел (например, у Ямвлихаи Анатолия) в пределах первой десятки. Основываясь на пифагорейскойаритмологии, Платон в конце жизни развивает учение о разных типах числа –математическом и эйдетическом, или идеальном. Математическое число– это число, которое получается из предыдущего прибавлением единицы (греческиематематики признавали только натуральные числа). А для этого нужно наряду спервой и единственной единицей признать операцию прибавления единицы, т.е.фактически неопределенную двоицу, дающую нескончаемое множество единиц. Эйдетическоеже число – сущее само по себе и, хотя и находится в некотором числовомряду, тем не менее оно не связано с соседними числами через прибавление или отнятие единицы. В этом смыслеидеальное число – это принцип математического числа – это сама по себе«двойка», сама по себе «тройка» и т.д., и их можно рассматривать как началавсех возможных двоек, троек и т. д., причем единицами идеальных чисел нет нуждыбыть взаимно сопоставимыми, — они оказываются различенными как начала различныхидеальных чисел.

ЧИСЛО И ВЕЛИЧИНА

 

         Наличиедвойственности – пары начал: бытия и становления, — выражается также вразличении античностью понятий числа и величины. Число(математическое) – это такое множество, в котором можно различить неразложимыедалее дискретные составляющие, т.е. неделимые единицы. Величина же – этомножество, беспредельно делимое в каждой своей части, т.е. непрерывное. Числопоэтому в большей мере представляет единство, предел, логос и смысл,величина же – множество, беспредельное, стихию становления ( чтосоответствует разделению на счислимое и несчислимое множества). Это – одна изпричин отделения Платоном сферы дискретных в своей основе, неразложимых чисел иидей от сферы величин – геометрических фигур, которые хотя и несутумопостигаемые признаки, но также сродны телесным, физическим величинам в своейнаглядной представимости и беспредельной делимости.

         Междудискретным и непрерывным нет перехода: дискретное – признак идеальногобытийного мира, непрерывное – признак мира телесности, поэтому их ирассматривают в античности разные науки: арифметика – числа, геометрия и физика– величины. Число и величина взаимнодополнительны, но также ивзаимоисключающи. И если число идеально, то величина пространственновыражена. Можно говорить о символическом представлении чисел в величинах(например, единицы – в точке, двойки – в линии и т.д.), но только какизображении первых в последних, а никоим образом не их отождествлении: число ивеличина, бытие и небытие никогда не сойдутся, между ними античная мысль вотличие от европейской навсегда полагает водораздел.

         Нетолько тождественное, но и инаковое по-разному проявляется в числе и величине,что выражается в их разном отношении к бесконечности. Прежде всего, какдоказывает Аристотель, не может быть актуально бесконечного тела – актуальнаябесконечность вообще непознаваема. Но величина не может быть также ипотенциально бесконечной: хотя и причастная инаковости и становлению, она всеже представляет собой нечто цельное, охватное и единственное.

         Внекотором смысле тело, величина является «верхним пределом» самого себя, она –своего рода собственная непрерывная цельная «единица», которая может бытьтолько уменьшена, т.е. делима, но не увеличиваема (иначе это будет уже совсемдругая величина). Число же не может быть сколь угодно делимо, ибо его основа инаименьший элемент, единица, не имеет частей и неделима. Поэтому единица –дискретное целое, «нижний предел» числа, так что, по словам Стагирита, «длячисла имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большемуоно всегда превосходит любое множество, для величины же наоборот: в направлениик большему бесконечной величины не бывает». Таким образом, (математическое) числоможет быть бесконечно увеличиваемо, но не уменьшаемо, тогда как величина,наоборот, может быть беспредельно делима, но не увеличиваема. Пределом же,ограничивающим бесконечное, в одном случае в отношении прибавления-увеличения,в другом – в отношении уменьшения-деления, служит целое, в одном случае –дискретная единица, в другом – сама непрерывная величина. Тем самым задаетсятакже и разделение двух типов бесконечности: путем прибавления и путем отнятия,т.е. превосхождением дискретного и делением непрерывного, что Платон называетбесконечным в большом и в малом, связанным с операциями удвоения и половинногоделения, соответствующим опять-таки не сводимым друг к другу понятиямтождественного и инакового, единого и многого, дискретного и непрерывного.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1)<span Times New Roman"">   

Антология мировой философии.В 4 тт. Ч. 1. М., 1969.

2)<span Times New Roman"">   

Богомолов А. С. Античнаяфилософия. М., 1985.

3)<span Times New Roman"">   

Досократики. – Мн.: Харвест,1999.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">[1]

Отсюда вышло учение обиррациональных величинах.
еще рефераты
Еще работы по математике. философии