Реферат: Определение оптимальной цены

УДК 330.115

Кучма Г.В., научн.руков. ст. пр. Кучма Ю.В.

Определение оптимальной цены продажипри экспоненциальном спросе

Определена величина оптимальной цены продажи приэкспоненциальном спросе. На примере построена функция экспоненциального спроса.Показано, что при определении оптимальной цены на товар, спрос на него можносчитать экспоненциальным

            Пусть /> –доля покупателей, имеющих для покупки данного товара в течение некоторогопромежутка времени сумму денег />.Положим, что каждый из /> покупателейприобретает одну единицу этого товара, когда его сумма денег />, и не купит этот товар вслучае />. Тогда по цене /> за то же время будетпродано /> единиц этого товара.

            Замечание.При другом поведении покупателей соотношение между /> и/> иное. Например, еслипокупатель при /> купит ровно /> единиц товара, тогда

/>                                                                           (1)

            Определим, что прибыль /> от продажи /> единиц товара в течениеданного промежутка времени пропорциональна произведению количества проданноготовара на разность между ценой /> исебестоимостью />:

/>                                                                             (2)

            где /> независит от /> и учитывает возможныеиздержки, скажем налог на прибыль.

            Полагаем />, так как /> – возможные постоянныеиздержки, влияющие на величину прибыли, но не на оптимальную цену />, при которой прибыльмаксимальна. Будем считать, что для всех /> точноизвестна функция /> – кривая спроса.Величина /> в общем случаенеотрицательная и не возрастает с ростом />,а при указанном поведении покупателей пропорциональна />.

            Значение /> задает интенсивность(скорость) во времени числа продаж по данной цене />.Если интенсивность постоянна, то за период, вдвое больший естественно ожидать иудвоение числа продаж.

            Интенсивность может зависеть отвремени года, суток и других факторов. Заметим, что /> задаетскорость увеличения прибыли и оптимальная цена обеспечивает ее максимальновозможную величину />, необходимо найтимаксимум />. Приведем бездоказательства следующую теорему.

Теорема: Пусть имеются двефункции действительной переменной />:линейная /> и неотрицательная /> такие, что 1) />, где />, /> - произвольные постоянные;2) /> принимаетнеотрицательные значения при  />, а при /> удовлетворяет соотношению

/>                                                                                         (3)

с некоторымипостоянными />, />, />.

Тогда функция /> достигает строгого глобальногомаксимума на множестве всех действительных чисел в точке /> и справедливо равенство />

Если количествоединиц товара /> котороепотребители желают и имеют возможность купить по цене />, подчиняетсяэкспоненциальному закону, то есть уменьшается в /> разпри увеличении цены /> на />, где /> и /> не зависят от />, а саму цену продавец можетустанавливать произвольно, то теорема дает выражение для цены, при которойприбыль максимальна. При такой цене объем продаж /> составляет/> или 36.8 % от /> – возможного объема продажпри нулевой прибыли по цене равной себестоимости (рис. 1).

/>

Рисунок 1 Оптимальнаяцена продажи при экспоненциальном спросе.

Оценим /> – хвост функциираспределения доходов равной отношению количества людей имеющих доход не менее /> грн., к числу всехрассматриваемых индивидов. Для каждого /> изтаблицы 1 величина /> равна сумме всехпроцентов доходов, для которых />,например при /> = 150 грн.,/>.

            Нарис. 2 изображен график с точками, изображающий /> -функцию и экспоненциальный тренд аппроксимирующий эти точки.

            Использование МНК для логарифмовот /> дало в классе многочленовот /> не выше третей степениследующее не возрастающее непрерывное приближение для наблюдаемых значений /> грн.

            />  

Таблица 1 –Распределение дохода в месяц жителей города Киев

Доход человека, грн. Процент, %

/> - функция

до 50 27.00 0.97 100 41.00 0.70 150 14.00 0.29 200 9.25 0.15 250 3.00 0.06 более 250 3.00 0.03

           

Следовательно дляхвоста /> функции распределениянаселения по величине среднедушевого дохода справедлив закон (3). А есливеличина спроса />, то для /> также справедливо равенство(3).    

/>

Рисунок2 G(x)- хвост функции распределения доходов жителей города Киев осенью 1997 г.

Так же при оптимальной цене продажи товара более150 грн. спрос на него можно считать строго экспоненциальным.

Литература

1.  Брыскин В.В.Математические модели маркетинга. – Новосибирск: ВО «Наука», 1992. –156 с.

2.  Цацулин А.Н.Ценообразование в системе маркетинга – М.: Информационно-издательский дом«Филинъ», 1997. – 296 с.