Реферат: Золотая пропорция – критерий гармонии и красоты
Министерство образования омской области
ГОУ СПО «Тарский педагогический колледж»
Золотая пропорция – критерий гармонии и красоты
Реферат
Штейнбах Антон Александрович
Специальность 050202
Информатика
Курс III, группа32
Научный руководитель:
Фролова Наталья Николаевна
Тара — 2009
/>Содержание
Введение
1. Об истоке золотой пропорции
2. Применение золотой пропорции в различныхвидах искусства
3. Закономерности золотой пропорции вархитектуре
Заключение
Библиография
Введение
Существуетнеразрывная связь между математикой и искусством. Для математики также как и дляискусства характерны красота и гармония. В этом можно убедиться при изучении такогоматематического понятия как «золотая пропорция».
С древнихвремен люди в своих творениях предпочитают правильные геометрические формы – квадрат,круг, пирамиду и т.д. Симметричные фигуры предпочтительнее, чем несимметричные.
Присоздании произведений искусства пользовались различными пропорциями. Но из многихпропорций, которыми издавна пользовался человек, существует одна, единственная инеповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целогона две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целогок большей части. Эту пропорцию называли по разному: «золотой», «божественной», «золотымсечением», «золотым числом».
Еслисимметричность в архитектуре придает зданиям величественность, совершенность, ноона «холодная», «неподвижная», то золотая пропорция придает зданиям грацию, неповторимуюиндивидуальность, особую гармонию – «подвижную» и «одухотворенную».
Еслиопределении золотой пропорции перевести на язык формул, то получим:
/>, т.к. x > 0, то
/>
Принятообозначать: />.Число /> носитназвание коэффициента золотого сечения; />=0,61803389… или />=0,618. Заметим, что:
/>
Принятообозначать:
/>.
Актуальностьвыбора темы обусловлена необходимостью эстетического развития, а также необходимостьюпоказать неразрывную связь математики и искусства.
Практическаяценность – данный материал может быть использован студентами, школьниками, педагогами.
1. об истоке золотой пропорции
Древнейшиесведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. Оней упоминается в трудах великих философов Греции: Пифагора, Платона, Евклида. Сведенияо геометрическом делении отрезка в крайнем и среднем отношении встречаются во второйкниге «Начал» Евклида (III в. дон.э.). После Евклида исследованием золотой пропорции занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп Александровский (III в. до н.э.) и другие исследователи.
Платонпривел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашеговремени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершеннымобразом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этомодна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части.
В эпохуитальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетическогопринципа. Леонардо да Винчи именует ее «Sectio autea», откуда и получил начало термин «золотое сечение». Помнению белорусского ученого Э.Сороко, термин «золотое сечение» идет от Клавдия Птоломея,который дал это название числу 0,618. Лука Пачоли в 1509г. Пишет первое сочинениео золотой пропорции, названной им «Божественной». Иоганн Кеплер говорит о ней како «бесценном сокровище», как об одном из двух сокровищ геометрии.
ПослеИ.Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто невспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова.
Сейчасневозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию,ни время, когда это произошло. Очевидно, ее неоднократно открывали, забывали и открывализаново в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателемзолотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.
Онродился в 570г. до н.э. на острове Самосее. В Кротоне основал «Пифагорейский союз».Музыка, гармония и числа – эти три понятия неразрывно связаны друг с другом в учениипифагорейцев. Математика являлась одной из основ их религии. Они сделали много открытий,написали труды по математике, музыке, философии, но эти труды не сохранились, оних можно судить лишь на основании более поздних публикаций ученых древности.
Ямвлихво «Введении в Никомахову арифметику» говорит, что Пифагор нашел золотую пропорциюи что этому … он научился у вавилонян.
Эстафетазнаний древности ведет от Греции к Египту, а от него к Вавилону. Но ведь и знаниянародов Двуречья не возникли на пустом месте, их корни также уходят в другие эпохии другие страны. В поисках истоков золотой пропорции следует прежде всего направитьсяв Древний Египет, к его загадочным пирамидам – хранилищам многих неразгаданных тайн.Их создание свидетельствует о значительном уровне знаний в области геометрии, которымивладели зодчие.
Невозможнос полной уверенностью утверждать, что египетские зодчие имели научное представлениео золотой пропорции и ее математических свойствах. Но бесспорно, что они знали исознательно применяли замечательные треугольники: священный со сторонами 3:4:5,треугольник со сторонами 1:2:/>, гармонический треугольник с отношениемсторон 1:/>и1:/>, а в нихсодержится золотая пропорция и «около нее нельзя было пройти мимо». [7]
Чембольше изучаешь древние культуры, тем больше убеждаешься в наличии глубоких корней,в преемственности многих знаний. Ведь и египетская наука не возникла на пустом месте.Она наследовала знания других народов, других эпох, и прежде всего Двуречья. Существуетгипотеза, что некоторые свои знания египтяне получили от жителей Атлантиды. Возможно,что истоки открытия золотой пропорции кроются в Двуречье, Атлантиде.
Однако,следы золотой пропорции удалось обнаружить />20-25 тыс. лет назад, при археологическихраскопках на реке Ангаре в Сибири. М.Герасимов обнаружил прямоугольную пластинку,изготовленную из бивня мамонта. Пластинка декорирована сложным рисунком спиральнойформы, в центре ее отверстие. Размеры пластинки 13,6 /> 8,2 см, что с точностью до />1мм отвечает золотойпропорции.
Около15 тыс. лет назад в пещерах Франции также обнаружены подобные пропорции. Макс Рафаэльв 1946г. Писал, что изображения бизонов, мамонтов и лошади в этих пещерах находятсяв размерах золотой пропорции.
А.Окладниковнашел на скалах возле села Шишкино на реке Лене палеолитические рисунки диких конейи козла, размеры которых таковы, что они находятся в соответствии с пропорцией золотогосечения.
Нетнеобходимости доказывать, что у людей палеолита не было научного представления озолотой пропорции. Применение ими золотой пропорции было итогом творческой интуиции,интуитивного познания мира, итогом стремления к гармонии и красоте.
2. Применение золотой пропорции в различныхвидах искусства
Искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии.От проявляются в пропорциях архитектуры и скульптуры, в расположении предметов ифигур, сочетании красок в живописи, в чередовании рифм и мерности ритма в поэзии,в последовательности музыкальных звуков. Одна из пропорций, которая чаще всего встречаетсяв искусстве — «золотое сечение».
Многие художники, поэты, скульпторы истинные ценители прекрасного,восхищались красотой человеческого тела.
Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармоническоготелосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов:Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастераиспользовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческоготела располагается точно в месте пупка. И не случайно величину золотой пропорциипринято обозначать буквой />; это сделано в честь Фидия – творцабессмертных скульптурных произведений.
Одним из высших достижений классического греческого искусстваможет служить статуя «Дорифор» (рис.1) («Копьеносец»), изваянная Поликтетом (рис.1).
Фигура юноши выражает единствопрекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Статуяполна спокойной уверенности; гармония линий, уравновешенность частей олицетворяютмогущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половинавысоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высотетела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.
Шедевром красоты считается АфродитаМилосская (III-II вв. до н.э.), созданная Александром. Статуябогини любви и красоты, изваянная Праксителем для храма на острове Книд, считаласьего современниками величайшим чудом, превосходящие все другие художественные произведениямира.
В таких работах Фидия, как Зевс Олимпийский, Афина Парфенос, АполлонБельведерский, золотое сечение заложено в различных пропорциях человеческого тела.Не только вся статуя, но и отдельные её части делятся в золотом отношении. [3]
В особый вид изобразительного искусства Древней Греции следуетвыделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме амфор и кратеров,а также в их росписи легко угадываются пропорции золотого сечения. [4]
/>
Например, для амфоры (рис 2а) выполняются отношения a/b=c/d=d/e=/>Амфора на (рис.2б) выдержанав следующих пропорциях: а/b=m/а=/>. Свои знания в искусстве греки перенялии развили из египетского искусства. Достижения египтян удивляли и восхищали художниковДревней Греции.
Они специально совершали путешествия в Египет, чтобы поучитьсяумению пользоваться каноном.
В живописи, скульптуре храмов, на предметах домашнего обиходадревние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Для этого они установилиспециальные каноны изображения стоящего человека, идущего, сидячего, коленопреклонённогои т.д. На основе золотого сечения созданы пропорции древнеегипетского канона — восемьпропорциональных величин, который также использовался для создания каноническихстатуй и рельефов.
В эпоху средневековья достижения античного искусства были преданызабвению. Безвозвратно погибли драгоценные рукописи, в которых содержались теорияи математические выкладки по композиции и рисунку величин мастеров.
Рисунок стал условным и схематическим. Нарушены все пропорциичеловеческой фигуры. (рис.З.)
/>
Наглядно убеждения, что, потеряв знания о математических соразмерностяхфигур, художники потеряли и изобразительную силу искусства. Чтобы возродить былыереалистические традиции, нужно было начинать всё сначала. Это выпало на долю художниковэпохи Возрождения.
Леонардо да Винчи предпринял ряд измерений, из которых он вычислилсредние размеры человека, рассчитал пропорции тела человека и опять приходит к «золотомусечению».
Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонахЛеонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция отвечаетне только делению тела на 2 неравные части линией талии, но и высота лица относитсяк вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояниемежду нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию междууглами губ и нижней частью подбородка; в строении костей пальцев человека, в соотношениичисел различных органов.
При возведении памятников наиболее распространено отношение наоснове золотого сечения. Общая высота памятника обычно относится к высоте фигуры,как высота фигуры к постаменту.
Даже в музыке огромное значение имеют пропорции, соотношение частеймежду собой и отношение каждой части к целому, т.е. и в музыке присутствует золотаяпропорция. Если «измерять» музыкальное произведение по времени его исполнения, тоточка золотого сечения служит ориентиром формообразования, часто на нее приходитсякульминация. Это может быть также самый яркий или самый тихий момент, самое плотноепо фактуре место или самое звуковысотное. Но случается и так, что в точке золотогосечения появляется новая музыкальная тема.
По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различныхкомпозиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобныхсечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачокв развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось3275 золотых сечений, в 1338 сочинениях наблюдалось хотя бы 1 золотое сечение. Наибольшееколичество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение у Аренского(95%),Бетховена(97%), Гайдна(97%), Моцарта(91%), Скрябина(90%), Шопена(92%), Шуберта(91%).
Проводя аналогию между математикой и литературой, опираясь наданные ученых, можно придти к следующему выводу: в строении стихотворений должнапроявляться закономерность музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.
В коротких стихотворениях размером 4-8 строк, как правило, выражается1 мысль, 1 эмоциональное состояние поэта. Но стихотворения большие, 12-14 строкили 20-22 строки, очень часто включают в себя 2 мысли, 2 эмоциональных состояния.Поэтому такие стихотворения состоят как бы из 2-х частей, часто эти части не равныпо размеру, ассиметричны, отношение большей части к меньшей очень часто близко кзолотой пропорции.
Так, например, некоторые стихотворения А.С.Пушкина очень четкоотвечают этой закономерности внутренней композиции. К таким стихотворениям относятся:притча «Сапожник» состоящая из 2-х частей 8 и 5 строк; стихотворение «Он между намижил» — 2 части 13 и 8 строк. Роман «Евгений Онегин» — произведение высочайшего художественногоуровня, а 8-я глава – драгоценная жемчужина. Эта глава наиболее совершенна, наиболееотточена, насыщена эмоциональная структура главы, многоплановая, с подъемами и спадами.Письмо Татьяны делит главу на 2 части 32 и 19 стихов, их отношение близко к золотойпропорции.
Рассматривая композицию «Пиковой дамы» приходишь к выводу, чтокульминационный момент – приходится на 535 строку из 853 строк. Эта строка расположенапочти точно в месте золотого сечения 853:535=1,6.
Наличие золотой пропорции определяет основной план композиции«Пиковой дамы», придает ей ассиметричность – медленное нарастание эмоциональногонапряжения, кульминация и постепенный спад накала. Повесть состоит из 6 глав, икаждая узловатая точка глав отвечает точке золотого сечения:
1 глава – 110 строк – узловатая точка 68 строка;
2 глава – 219 строк – кульминационный момент 135 строка;
3 глава – 212 строк – золотое сечение соответствует 131 строке;
4 глава – 113 строк – золотая пропорция приходится на 70 строку;
5 глава – 75 строк – 46-я строка соответствует золотому сечению.
Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведенийА.С.Пушкина: «Станционный смотритель», «Метель», «Гробовщик».
Совпадение кульминационных моментов в произведениях прозы у А.С.Пушкинас золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонииу него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великогопоэта и писателя.
Аналогично, золотую пропорцию можно обнаружить и в некоторых произведенияхВ.Брюсова, например «Сонет к форме».
Многие исследователи находили проявления золотой пропорции в произведенияхвеликих художников. Речь идет не только о пропорциях обнаженного тела, а о композиционныхосновах произведений живописи. Наличие золотой пропорции в композиции произведенийхудожников придавало им гармоническую законченность, совершенство и одновременноподвижность, динамизм, оживляло композицию. [10]
Характерным примером такого рода могут служить картины известногояпонского художника Хокусая: «Фудзи и путник», «Мост Парчового пояса», «Фудзи вгору», «Перевал Инуме в провинции Кай»; картина Сурикова «Барыня Морозова» и другие.
Изучая явления и объекты живой и неживой природы исследователипришли к выводу, что и здесь проявляется золотая пропорция.
Например, ее можно обнаружить в строении листа клена, в отношенияхдлин хвоста и корпуса стрекозы, в строении цветка розоцветных и другое.
Закономерности золотой пропорции широко распространены в природе,проявляются на самых различных уровнях – от атомных сочетаний до строения тел высшихживотных.
Проявление золотой пропорции в различных видах искусства даетоснование предполагать наличие единых критериев гармонии, общих как для творенийприроды, так и для произведений, созданных художниками, композиторами, поэтами,скульпторами. Это единство роднит произведения искусства и творения природы, определяетих преемственность, сущность прекрасного.
3.ЗАКОНОМЕРНОСТИЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ В АРХИТЕКТУРЕ
«Божественную пропорцию» использовали при возведении величественныхгреческих храмов, пирамид.
Одно из семи чудес света — египетские пирамиды. Эти фигуры поражаютсвоими размерами, совершенством геометрических фигур.
/>Исследователи довольно подробно изучали пирамиду Хеопса- угол наклона граней пирамиды равен 51051/, tg 51051/ = 1,27306 или отвечает отклонениювысот пирамиды к половине ее основания, что очень близко к корню квадратному золотойпропорции />=1,27202. Высота пирамиды ОН — 318 локтей, сторона основания АВ — 500 локтей, апофемабоковой грани ON = 404,5 локтя (рисунок 4).
MN=/>AB; />
/>
Как видно, отклонение длины апофемы боковой